复变函数绪论

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1、绪论 课程设置的背景 一 的引出 二 复数与复变函数 三 复变函数论的发展 四 复变函数论的应用 五 课程教材 授课内容及要求 引言 2 引言 1 复变函数论 数学物理方程 统称为 数学物理方法 它既是数学课程 又是物理课程 2 作为数学课程 不应该将数学的严谨性置之不顾 而作为物理课程 不必在数学理论上花费太多功夫 而应该以鲜明的思路引导读者迅速掌握这些数学工具 并应用于物理疑问 3 3 数学物理方法 是搭接基础数学和基础物理学的桥梁 同时又是一种横向的 粘合剂 在基础数学和基础物理学的基础上 固化了 四大力学 理论力学 材料力学 弹性力学和流体力学 的知识大厦 在 四大力学 的支撑下 才有

2、了航空发动机和火箭发动机的问世 才有了现代航空宇航科学技术的进步 也才有了人类航空航天事业的的蓬勃发展 4 一 的引出 十六世纪中叶 意大利人卡尔丹 Cardan 1545 在解三次方程时 首先产生了负数开平方的思想 他把40看做是两个数的乘积 即 然而以上只不过是一种纯形式上的表示而已 当时谁也说不上这样表示究竟有什么好处 5 考察三次方程有几个根 显而易见 是上述方程的一个根是x 1 是否还有根 设存在另外两个根 6 对比原方程可知 7 为了使负数开平方有意义 也就是要使上述这类方程有解 需要再一次扩大数系 自然数 整数 正整数零负整数 有理数 整数分数 实数 有理数无理数 复数 实数虚数

3、 由此引进虚数的概念 使实数域扩大到复数域 8 关于复数理论最系统的叙述 是由瑞士数学家欧拉 Euler 作出的 他在1777年系统的建立了复数理论 发现了复指数函数与三角函数之间的关系 创立了复变函数论的一些基本定理 并开始把它们用到水力学和地理制图学上 用符号 i 作为虚数的单位 也是他首创的 此后 复数才被人们广泛承认和使用 9 二 复数与复变函数 我们将形如的数称为 复数 其中 i 称为 虚数单位 并规定 x和y是任意实数 依次称为复数z的实部 Real 和虚部 Imaginary 分别表示为 10 例如 对复数有 即可看作是实数0 也可看作是纯虚数0i 11 对于两个复数 如果则称

4、两个复数的相等 12 一个复数x iy可以唯一的对应一个有序实数对 x y 而有序实数对与坐标平面上的点是一一对应的 所以 复数z全体与坐标平面上的点的全体形成一一对应 现在我们直接把坐标平面上的点写成x iy 那么 横轴上的点就表示实数 纵轴上的点就表示纯虚数 整个坐标平面称为复平面 13 今后 我们将复数与复平面的点不加区分 这种点 数等同将给我们带来许多方便 在点 数等同的观点下 一个复数集合就是一个平面点集 因此 很自然地 某些特殊的平面点集就可以用复数所满足的某种关系式来表示 例如 14 最初 由于对复数的有关概念及性质了解的不清楚 用它们进行计算又得到一些矛盾 因而 长期以来 人们

5、把复数看做不能接受的函数 直到17世纪和18世纪 随着微积分的发明与发展 情况才逐渐有了改变 另外的原因 是由于这个时期复数有了集合解释 并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故 15 复数与平面上的点是一一对应的 这是将复数实部和虚部分别看作直角坐标系下点的横坐标和纵坐标 除此以外 复数还可以同平面向量一一对应 只要将复数的实部和虚部分别看作向量的水平分量和垂直分量就行了 所以我们也可以把复数与平面向量等同起来 不过要注意 向量具有 平移不变性 即其起点可在任意一点 如果把向量的起点放在 复平面的 坐标原点 则此向量及向量的终点在上述两种对应下恰好对应同一个复数 16 设G是复平面上一点集

6、 如果对于G中任意一点z 有确定的 一个或多个 复数w同它对应 则说在G定义了一个 复变函数 记做 复变函数的定义域与值域等名称都可以从高等数学中移植过来 17 18 以上是复变函数要比实变函数复杂的根本所在 19 例1 将定义在全平面上的复变函数化为一对二元实变函数 解 20 例2 将定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对二元实变函数化为一个复变函数 解 21 一个复变函数也可看作一个映射 变换 设f z 的定义域为G f z 的值域为D 则f z 将点集G的点映射为点集D的点 设f z 将G中的点z映射为D中的点w 集合G映射为集合D 则称点w为点z的像 点z为点w的原像 同样称D为G的像

7、 G为D的原像 22 因x y u和v均为变数 为避免采用四维空间的困难 我们用两个平面 一个是z平面 将G的点描在z平面上 另一个是w平面 将D的点描在w平面上 如图 23 三 复变函数论的发展 复变函数理论创立于19世纪 是19世纪数学发展史上的最独特的创造 到了20世纪还在不断发展 是两个世纪中一门优美的学科 这个学科时常称为函数论 被誉为19世纪的数学享受 我们在享受数学的美妙成果时 可能会忽略了创造这些成果的数学家们每迈出一步所付出的艰辛 我们想简要回忆一下复变函数的发展历史 因为当我们了解一些这样的内容后 也许会更深一步地感受到它的魅力 增强对它的学习兴趣和研究勇气 24 从所做出

8、的贡献来看 复变函数理论的奠基人是法国数学家柯西 Cauchy 德国数学家威尔斯特拉斯 Weierstrass 和黎曼 Riemann Cauchy是把复函数当做基本实体来研究的第一人 他自1821年起 花了约25年 以导数和积分为出发点 发展了复变函数理论 在复函数有连续导数的情形下建立了Cauchy定理 引入了留数 建立了留数定理 并用留数来计算实积分 等等 到了1843年 AlphonseLaurent继续Cauchy的工作 建立Laurent级数展开 这是Taylor级数展开得一个推广 25 也许起初Cauchy研究复函数时是考虑实积分的计算 但到后期他改变了这个观点 不再关心这种计算

9、 而是转到复变函数理论本身的研究上 Cauchy不等式 26 从柯西不等式可以推出另一个重要的定理 刘维尔 Liouville 定理 设函数f z 在全平面上解析且有界 则f z 为一常数 证明 27 Liouville定理的一个重要应用就是用来证明 代数基本定理 这个重要定理的第一个实质性正确的证明是由高斯 Gauss 于1799年在哥廷根大学完成的著名博士论文中给出的 随后 人们不断钻研希望能给出简捷的证明 但这项工作以 代数基本定理 作为Liouville定理的一个简单推论而画上了圆满的句号 28 柯西 Cauchy 1789年 1857年 法国数学家 力学家 他可称得上是第一个系统研究

10、单复变函数论的人 他的工作奠定了此门学科的基础 并使其更深入的发展 积分是他研究的出发点 他于1814年发表了第一篇涉及到通过分别计算复变函数的实部和虚部沿一个矩形边界的积分的文章 从而建立起矩形区域上的Cauchy定理 此后他一直不懈的研究复变函数论 直到生命终止 建立了积分明确定义 计算留数以及它们在其它学科中的应用 Cauchy的著作非常丰富 他的全集从1882年开始出版 知道1974年才出齐 共计28卷 29 刘维尔 Liouville 1809年 1897年 法国数学家 他于1836年创办了 纯粹数学与应用数学学报 这个延续百余年的专业学术杂志通常称为 Liouville学报 他在L

11、iouville定理的优先权问题上与Cauchy有争议 但现在普遍接受的是以Liouville来命名这个定理 30 高斯 Gauss 1777年 1855年 德国数学家 物理学家 他出生于德国布伦瑞克的一个贫苦农民家庭 幼时家境贫苦 聪敏异常 受一贵族资助才进入学校受教育 1795年 1798年在哥廷根大学学习 1799年获得博士学位 1807年开始任哥廷根大学数学教授和天文台台长 1833年和物理学家韦伯共同建立地磁观测台 组织磁学学会以及联系全世界的地磁台站网 1855年2月23日在哥廷根逝世 31 洛朗 Laurent 1813年 1845年 法国人 Laurent级数是继续Cauchy

12、的工作而于1843年建立起来的 是我们研究孤立奇点的重要工具 这项结果Weierstrass在1841年就已经知道了 但未公开发表 与Cauchy采用的研究方法不同 Weierstrass开辟了一条新的探索途径 在幂级数的几乎上建立起解析函数理论以及解析开拓的方法等 32 威尔斯特拉斯 Weierstrass 1815年 1897年 德国数学家 曾是一位中学教师 他不像Riemann那样有直觉的闪光 而是凭着他的有条理的勤奋 使得他在数学研究中取得辉煌的成就 是他对极限引入了 语言 一致收敛的概念 是他于1872年举出了处处不可导的连续函数的例子 而Cauchy认为连续函数都是可导的 Weie

13、rstrass的例子在微积分的研究中是 病态 的 但他是当今兴起的分形几何的研究对象之一 他研究复变函数的出发点是幂级数 并以幂级数为基本元进行解析开拓 这不同于Cauchy从导数和积分出发的研究途径 33 黎曼 Riemann 1826年 1866年 德国数学家 他毕业于哥廷根大学 是Gauss晚年的学生 Riemann的映射定理就是在Gauss的指导下于1851年完成的博士论文中的最后一个结论 Riemann具有极高的数学天赋和最具独创的精神 他的研究涉及面之广超过任何前人 而且在所涉足的每个数学领域都留下了深深的足迹 如在复函数论 黎曼几何 解析数论 组合拓扑 代数几何及数学物理等方面都

14、做出了奠基性和创造性的工作 在生活上 Riemann的一生是艰辛的 他博士毕业三年之后才成为哥廷根大学的一位私教员 1859年 Riemann接替Dirichlet成为哥廷根大学的教授 34 四 复变函数论的应用 几种简单的流型变换 1 直匀流流过圆的绕流变换或流过平行于来流的平板流动 2 绕无迎角的对称儒科夫斯基翼型的流动 3 一般的儒科夫斯基翼型 4 35 复变函数有着较长的发展历史 已经形成非常系统的理论 并且深刻的渗入到代数学 解析数论 微分方程 概率统计 计算数学和拓扑学等数学分支 同时 它在热力学 流体力学 理论物理 弹性理论 电学 天体力学有广泛的应用 Gauss 36 五 课程教材 授课内容及要求 教材 工程数学 复变函数 第四版 西安交通大学高等数学教研室 编 高等教育出版社 1996年5月第4版教学参考书 工程数学 复变函数 第四版 学习辅导与习题选解 王锦森编 高等教育出版社 2003年12月第1版 37 课程讲授内容及学时分配 第0章课程设置的背景 绪论 1学时第1章复数与复变函数5学时第2章解析函数6学时第3章复变函数的积分6学时第4章级数4学时第5章留数理论及其应用4学时第6章共形映射6学时 38 习题要求 按学号分单 双数完成 带 的习题可以不做 考核 平时作业占20 试卷考试占80