《初数学平行线分线段成比例定理（5.28）.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初数学平行线分线段成比例定理（5.28）.pptx（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、书山有路 初二数学 教学进度 几何第二册第五章 5 2 教学内容 平行线分线段成比例定理 重点难点剖析 一 主要知识点平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 三角形一边平行线的性质定理 即平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 三角形一边的平行线的判定定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 三角形一边的平行线的性质定理2 即课本例6 平行于三角形的一边 并且和其他两边 或两边的延长线 相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
2、 二 重点剖析1 平行线分线段成比例定理 是研究相似的最重和最基本的理论 同时 它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一 定理的基本图形 l1 l2 l3 BCEF BCEFACDFACDF ABDEABDE 对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应 为了强调对应和记忆 可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式 BCEF ABDE ABDEACDFBCEFACDF 可以说成 上比下等于上比下 可以说成 上比全等于上比全 可以说成 下比全等于下比全 等 2 三角形一边平行线的性质定理1 即平行线分线段比例定理的推论 基本图形 图1 1 C F
3、 A B D 图1 2 L3 L1 EL2 图1 3 DAL1EBL2CFL3 图1 4 CFL3CFL3 L2 A D L1DAL1 BEL2B E 1 书山有路 B C D E F l1l2l3 图3 图4 A B C DE 图5 C B E GF A D DE BC ADAEDBCE DBECABACABAC ADAE 图2 1 图2 3 称为 A 型 图2 2 称为 X 型 推论中 或两边的延长线 是指三角形两边在第三边同一侧的延长线3 三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题 这个定理可以用来判定两条直线平行 使用时 一定要注意这个定理的前提 截三角形的两边 或两
4、边的延长线 所得对应线段成比例 A 4 平行线分线段成比例定理的逆命题 三条直线截两条直线 截得的对应线段成比例 那么这三条直线平行 它是一个假命题 如图3 其中AB BC BCEF 123 DE EF 则AB DE 1 但L L L不平行 5 三角形一边的平行线的性质定理2 即课本例6 这个定理也叫做相似三角形预备定理 ADDEAE DE BC ABBCAC 这时 成比例的线段已经不一定分布在两条直线上 当平行于三角形一边的直线截两边的延长线时 这个定理也成立 图4是最基本的 A 型 课本例6中有 A 型时常作平行线 把所要研究的线段中 与其它线段关系不明显的线段平移到关系明显的线段上去 典
5、型例题 例1 如图5 在 ABC中 D是BC上的点 E是AC上的点 AD与BE交于点F 若AE EC 3 4 BD DC 2 3 求BF EF的值 GEAE 分析 求两条线段的比值 可通过平行线截得比例线段定理和已知线段的比发生联系 而图形本身并没有平行线 故需添加辅助线 平行线去构造比例线段 进而求出比值 解 过E作EG BC交AD于G 则在 ADC中 DCAC 又 EC4 AC7 AE3AE3 DC7 EG3 极EG 3X DC 7X X 0 则 DC3 3 14 3 2 3 BD22 DB DC 7x x 14x EG3x9 BD314 A D E B C E D A A BC E 图2
6、 1 BCD图2 2 图2 3 2 书山有路 A B C D FE 图6 又 EG BC FEEG9 BFBD14 例2 如图6 DE AB EF BC AF 5cm FB 3cm CD 2cm 求BD 分析根据条件可知BDEF为平行四边形 由EF BC 应用相似三角形的预备定理 得 AF EF再应用比例性ABBC 质 即可求出EF即BD 解 DE AB EF BC 四边形BDEF为平行四边形 BD EF AFEF 又 EF BC ABBC AFBD AF BFBD DC 5 3BD 2 5BD 10 解之 得BD cm 3例3 如图7 A C E和B F D分别是 O的两边上的点 且AB E
7、D BC FE 求证 AF CD 分析要证明AF CD 应推导出能使AF CD的比例线段 由题中图形可知 应证明OA OF 而由AB ED OCODBC FE 容易得到此关系 OEOD OAOB 证明 AB ED OFOE OBOC BC FE 由 得OA OD OB OE 由 得OC OF OB OE OA OD OC OF OCOD 则OA OF AF CD 点评 本题是采用的是 公比过渡 的方法来解决问题的 公比 是指两个或两个以上的比例式中均有一个公共比 有时公比是采用乘积式的形式 例4如图8梯形ABCD中 AB CD M为AB的中点 分别连结AB BD MD MC 且AC与MD交于E
8、 DB与MC交于F 求证EF CD分析 要证EF CD 可根据三角形一边平行线的判定定理证明 首先观察EF CD截哪个三角形 然后证明它截得两边上的对应线段成比例即可 证明 AB CD MBFM CDDECDCF AMEMEMFM 又 AM BM DE CF EF CD 点评利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为 1 首先观察欲证平行线截哪个三角形 2 再观察它们截这个三角形的哪两边 3 最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可当已知中有相等线段时 常利用它们和同一条线段 或其它相等线段 的比作为中间比例5如图9 A B C 分别在 ABC的三边BC AC AB上 或其延长线
9、上 且AA BB CC 求证 AA BB CC 111 分析所证结论中出现的三条线段的倒数 解决此类问题 一般情况下 要将其转化为线段比的形式 证明 CC AA CC BC CC BB AA BA BB AB CC AC 图7 C O B A F D E D 图8 C M A E F B 图9 A C B A C B 3 书山有路 4 图11 B D E A M FNC AA BB BAABABAA BB CC CC C C BC AC BC AC 1111 点评对于线段倒数和的证明 常见的方法是化倒数形式为线段的比的形式 再利用平行线或相似三角 形有关性质进行求解 如本题中 要证 AA BB
10、 CC 1 11 AA BB 只需证CC CC 1 即将倒数和的形式化 为线段比的形式 例6如图10四边形ABCD中 BAD的平分线交BD于E EF CD交BC于F 求证 BC AD 1BFAB分析结论是两个线段比的差 可分别求出每一组线段的比 再进行减法运算 证明 AE平分 BAD ABBE AD DE DBCB 在 BCD中 EF CD BEBF 得 BFABBEBEBFAB BC AD DB DE 1 BC AD 1 例7如图11 AD为 ABC的角平线 BF AD的延长线于F AM AD于A交BC的延长线于M FC的延长线交AM于E 求证 AE EM分析要证AE EM 可利用比例缎来证
11、明 而由BF AF 可延长BF交AC延于N 构造等腰三角形 利用等腰三角形性质有BF FN 再由BN AM 得比例线段 即可得出结论 证明 延长BF交AC的延长线于N AF BF BFA NFA 900又 BAF NAF AF AF ABF ANF BF NF BF AFAM AF BF AM EMECAECE BFFCENFC EMAE BF FN 又 BF FN EM AE 点评 1 有和角平分线垂直线段时常把它延长 构造等腰三角形 利用等腰三角形性质证题 2 利用比例证明线段相等主要有以下形式 a 1 a bb a c a cbb a c bd a c bd b d b d a c a
12、c 例8如图12把线段AB分成2 3两部分分析利用平行线分线段成比例定理作图作法 1 以点A为端点 作射线AM在AM上顺次截AD 2a DE 3a a为任意长 连结BE 过点D作DC BE交AB于C 则点C即为所求 练习与测试 如图 ABC中 D E F分别在AB AC BC上 且DE BC EF AB AD 9 EF 6 CF 5 则BF 直线DE分别交 ABC的边AB AC于点D E 且AD 4cm AE 6cm AB 12cm AC 那么DE BC F 图10 C B E A D 图12 2aD C 3a AB E M B D C F 第1题 E A 第3题 C A B DE 第4题 B
13、 F C AED 书山有路 BC 第13题 2 NEFMAD AD E F M N BC 第13题 2 3 如图DE BC DB3 AD 2 那么AC BC DE EC4 如图在ABCD中 E在AD上 DF 且4AE 5DE CE交BD于F 则BF 5 如图 梯形ABCD中 AD BC 对角线AC BD相交于O CE AB交BD的延长线于E 若OB 6 OD 3 则DE 如图 已知DC EF GH AB AB 30 CD 6 且DE EG GA 1 2 3 则EF GH 如图 在ABCD中 O1 O2 O3分别为对角线BD上三点 且BO1 O1O2 O2O3 O3D 连结AO1 并延长交BC于
14、E 连结EO3 并延长交AD于点F 则AD FD 5 12 8 图 l l AF 2GB BC 4CD 若AE k EC 则k 如图 CD是 ABC的角平分线 点E在AC上 AD AE 2 AC 10 求DEABAC5如图 CD是 ABC中 E为AC的中点 D为BC上的点 且BD AB 求证 BC AGABGD已知 C是线段AB上一点 分别以AC BC为边 在AB的同侧作两个等边三角形ACD和BCE AE交CD于F BD交CG于G 求证FG AB已知 BD为 ABC的角平分线 DE BC ABBCDE 11 交AB于E 求证 1 13 已知 如图 1 梯形ABCD中 AD BC E F分别在A
15、B CD上 且EF BC EF分别交BD AC于M N 求证ME NF 当EF向上平移图 2 各个位置其他条件不变时 的结论是否成立 请证明你的判断 练习与测试参考解答或提示 AD B O 第5题 C E 第6题 G A B H EF DC 第7题 E B O1 O2 C O3 AFD GAFE BCD 第8题 l2 l1 B 第9题 C DE A A E B C G D 第10题 AD EFMN B C A第13题 1 D BC 第13题 2 E FM N 5 书山有路1 15 2 18cm 3 5 2 4 9 4 5 9 6 10 18 7 9 1 8 2 9 6235提示 过D作DH AC交BG于H点 则AG AE BC EC 又AE EC BD AB 即可GDDHBDDH得结论 略证 由 DCA EBA 600 有CD BE 则BE EG 同理EF CE 而EB CE CD AD CDCGAFAD 则EG EF 所以FG ABCGAF12 略证 由DE BC 有 EDB DBC BCAB DEAE 又 ABC DBC 所以 EDB ABD 则BE DE 所以DE DE BE AE AB 1ABBCABABAB13 由AD EF BC 有EM BE CF NF EM NF 仍成立 证明同 ADABCDAD 6
