《《近世代数》模拟试题1及答案（5.28）.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《近世代数》模拟试题1及答案（5.28）.pptx（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 书山有路近世代数模拟试题一 单项选择题 每题5分 共25分 1 在整数加群 Z 中 下列那个是单位元 A 0B 1C 1D 1 n n是整数2 下列说法不正确的是 A G只包含一个元g 乘法是gg g G对这个乘法来说作成一个群 B G是全体整数的集合 G对普通加法来说作成一个群 C G是全体有理数的集合 G对普通加法来说作成一个群 D G是全体自然数的集合 G对普通加法来说作成一个群 如果集合M的一个关系是等价关系 则不一定具备的是 A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性对整数加群Z来说 下列不正确的是 Z没有生成元 1是其生成元 1是其生成元 Z是无限循环群 下列叙述正确的是 群G是指
2、一个集合 环R是指一个集合 群G是指一个非空集合和一个代数运算 满足结合律 并且单位元 逆元存在 环R是指一个非空集合和一个代数运算 满足结合律 并且单位元 1 书山有路逆元存在 2 二 计算题 每题10分 共30分 1 设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 2 3 的群 试求中G中下列各个元素c 1 01 0 1 d 1 cd 的阶 2 试求出三次对称群S3 1 12 13 23 123 132 的所有子群 书山有路 3 若e是环R的惟一左单位元 那么e是R的单位元吗 若是 请给予证明 3 三 证明题 第1小题10分 第2小题15分 第3小题20分 共45分 1 证明 在群中
3、只有单位元满足方程 书山有路x2 x 2 设G是正有理数乘群 G是整数加群 证明 2nbna是群G到G的一个满同态 其中a b是整数 而 ab 2 1 4 书山有路 3 设S是环R的一个子环 证明 如果R与S都有单位元 但不相等 则S的单位元必为R的一个零因子 5 书山有路近世代数模拟试题答案2008年11月 6 一 单项选择题 每题5分 共25分 1 A2 D3 D4 A 5 C 二 计算题 每题10分 共30分 1 解 易知 c的阶无限 d的阶为2 3分 3分 但是 1 cd 1 0 1 2分 的阶有限 是2 2分 2 解 S3的以下六个子集H1 1 H2 1 12 H3 1 13 H4
4、1 23 H5 1 123 132 H6 S3 7分 对置换乘法都是封闭的 因此都是S3的子集 3分 3 解 e是R的单位元 事实上 任取a b R 则因e是R的左单位元 故 ae a e b a eb ab eb ab ab b b 即ae a e也是R的左单位元 故有题设得ae a e e ae a 即e是R的单位元 三 证明题 每小题15分共45分 书山有路1 证明 设e是G的单位元 则e显然满足所说的方程 3分 另外 设a G且a2 a 则有a 1a2 a 1a 即a e 5分 即只有e满足方程x2 x 2分 2 证明 显然是G到G的一个满射 3分 又由于当 ab 2 1 cd 2 1时有 abcd 2 1 4分 且 2n b 2m d 2n m bd n macac 6分 2n b 2m d ac故 是群G到G的一个同态满射 2分 3证明 分别用e和e 表示R与S的单位元 且e e 于是e 不是R的单位元 3分 因此 存在0 a R 使ae a或e a a 5分 如果ae a 则ae a 0 且 ae a e ae ae 0 4分 即e 是R的 右 零因子 3分 同理 如果e a a 则e 是R的 左 零因子 5分 7
