《利息理论》复习提纲（5.28）.pptx

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1、书山有路 利息理论 复习提纲第一章利息的基本概念第一节利息度量一 实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比 通常用字母i来表示 利息金额In A n A n 1 对于实际利率保持不变的情形 i I1 A 0 对于实际利率变动的情形 则in In A n 1 例题 1 1 1二 单利和复利考虑投资一单位本金 1 如果其在t时刻的积累函数为a t 1 i t 则称这样产生的利息为单利 a n a n 1 ia n 1 1 i n 1 实际利率i n 2 如果其在t时刻的积累函数为a t 1 i t 则称这样产生的利息为复利 实际利率in i例题 1

2、 1 3三 实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比 通常用字母d来表示实际贴现率 等价的利率i 贴现率d和贴现因子 折现因子 v之间关系如下 1 i d 1 i i d d1 d i1 i v 1 d d iv v i d id 1 i 例题 1 1 6四 名义利率与名义贴现率用i m 表示每一度量期支付m次利息的名义利率 这里的m可以不是整数也可以小于1 所谓名义利率 是指每1 m个度量期支付利息一次 而在每1 m个度量期的实际利率为i m m 与i m 等价的实际利率i之间的关系 1 i 1 i m m m 名义贴现率d m 1 d 1 d m

3、 m m 1 名义利率与名义贴现率之间的关系 mmmm 书山有路i m d m i m d m 例题 1 1 9五 利息强度 t A t a t 定义利息强度 利息力 为 A t a t 0 t s ds a t e i m m d p mp 1 1 p 一个常用的关系式如下 1 1 i v 1 d 1 e 例题 1 1 12要求 i d i m d p 之间的计算 习题 1 2 3 4 15 16 19 24 第二节利息问题求解一 价值等式例题 1 2 1二 投资期的确定计算利息的基本公式是 利息 金额 利率 年数 其中年数 投资期天数 基础天数 三 未知时间问题72律 利率为i时 使得积累

4、值是本金的2倍所需的时间大致是72 i 例题 1 2 4四 未知利率问题1 线性插值法2 迭代法例题 1 2 7重点 价值等式 利用线性插值法求利率 习题 37 40 46 第二章年金第一节年金的标准型一 期末付年金 2 n i n 1n 1 vn 现值为a v v v v 2 n i 1 i n 1 终值为s 1 1 i 1 i 1 i n 2 1 i n 1 a与s的关系 nn nn 2 1 1 i na s 书山有路 2 nn as 1 1 i 例题 2 1 2 2 13二 期初付年金 2 d n 2n 1 1 vn 现值为an 1 v v v v 2 d 1 i n 1 终值为sn 1

5、 i 1 i 1 i n 1 1 i n an与sn的关系 nn 1 1 i na s 2 n n a s 1 1 d 期初付与期末付年金现值与终值之间的关系 n n n n a 1 i a s 1 i s n n n 1n 1 a a 1 s s 1 例题 2 1 5三 永续年金 1 期末付永续年金的现值 n i n n 1 2n 1na v v v v lim1 vn1 i v 2 期初付永续年金 n a d n 1 v v2 vn 1 vn lim1 vn1 d v n 1例题 2 1 6 3 四 年金的未知时间问题还款方式 书山有路标准式付款 按照规则的付款期进行支付上浮式还款 最后一

6、期规则付款的额度上外加一个根据等价原则计算出来的零头扣减式付款 最后一期规则付款的下一期支付一个根据等价原则计算出来的零头这三种方式付款的最后零头一般都不一致 五 年金的未知利率问题有关年金时间的计算方法 对于n较小的情形 求解一元n次方程 其有效根即为利率对于n较大的情形 可用已知的年金值以及其倒数进行展开 再利用线性插值法求未知利率的有效数值解对于n较大的情形 利用迭代法获得任意精度的数值解 此方法最为常用只要求 1 迭代法不要求 例题 2 1 10习题 4 5 7 8 22 第二节年金的一般型一 付款频率与计息频率不同的年金付款频率低于计息频率 1 期末付年金年金现值为 k a s nk

7、 k nkvk v2k vk v vk v 1 v kkn 1 vk1 vk1 vn 1 vn i 1 i k 1i 1 i k 1 n k i s 年金积累值为 1 i n k 1 i n 2k 1 i k 1 1 1 i n 1 1 i n i1 1 i k 1 1 i k ns 例题 2 2 3 2 2 4 2 期初付年金 4 书山有路 年金现值为 k a ak n 1 k 1 vk v2k vknk 1 vk 1 vn1 vk1 vk 1 vn ii1 vk an an i a ak 年金积累值为 1 i n 1 i n k 1 i k 1 i k 1 1 i n 1 1 i n1 1

8、 i kvk 1 1 i n 1 i1 vk snk sn 3 永续年金其现值为 k vk is vk v2k vnk 1 1 vk 1 i k 11 2 付款频率低于计息频率设m为每个计息期内的付款次数 n为计息期数 i为每个计息期的利率 m n为正整数 总付款次数为mn次 1 期末付年金假设每个付款期期末付款额为1 m 每个计息期付款为m 1 m 1 这种情形下的年金现值 n 5 记为a m 类似这种情形的期初付 期末付的年金现值 积累值的年金符号类似 书山有路 n 1 m m 1 mn 1 m a m 1 v1 m v2 m v mn 1 m vn 1 v v m 1 v1 m 1 1

9、vn m 1 i 1 n i m 1 vni m n时刻的年金积累值为s m a m 1 i nnn 1 vn 1 i 1 i n 1i m 显然 m n i m i m i m n 1 vn1 vnii a a n n i iii m i m s m 1 i n a m nn a 1 i n s n 例题 2 2 7 2 期初付年金假设每个付款期期初付款额为1 m 每个计息期付款为m 1 m 1 这种情形下的年金现值 记为a m 类似这种情形的期初付 期末付的年金现值 积累值的年金符号类似 n 1 m 1m mn 1 m a m 1 v1 m v2 m v 1 1 vn m1 v 1 vnd

10、1 mn时刻的年金积累值为 6 m m nn n n d m 1 vn s a 1 i 1 i 1 i n 1d m 显然 书山有路 n a d m d d m d m n 1 vn1 vndd a m m n m n n n dd d m nd m n s 1 i a 1 i a s 例题 2 2 8 永续年金的现值分别为a m 1 m 1i m nd m a 二 连续年金连续付款 付款频率无限大 的年金叫做永续年金 连续付款n个计息期 每个计息期的付款额之和为1的年金现值为 0 n n t vtlnv t 0 1 vn a vdt n 其中vt为时刻t到时刻0的折现因子 连续年金的积累值为

11、 0 0 n n s nn n t s 0 1 i sn 1 i n 1 s a 1 i dt 1 i ds ln 1 i 三 基本变化年金1 各年付款额成等差数列关系 n i i i ni i n 1 a nvn1 vn a nvn 1 vn Ia n n 1 a n 1 vn a n 1 vn an nvni nn i a nvn Is Ia 1 i n n 1 i n sn ni同理可得 ii i a nvnn nvn a nvnn a Da nann n n n nn 7 i n 1 i n s Ds Da 1 i n n 书山有路要求计算它们的值 2 各年付款额成等比数列关系假设期末

12、付款 第一次付款额为1 并且每次付款额都是前一次付款额的1 k倍 共支付n次 每个付款期的利率为i 则该年金的现值为 n V 0 v v2 1 k v3 1 k 2 v 1 v 1 k v2 1 k 2 vn 1 k n 1 vn 1 1 k n 1 v i k 1 v 1 k n1 v 1 k 1 k 1 1 i i k四 更一般变化年金1 付款频率小于计息频率的情形 an a mvn V 0 kis k2 付款频率大于计息频率的情形 1 每个计息期内的m次付款额保持不变 m n n ivi m di m ivi m i m nivn 1 1 vn nivn 11 vn Ia a nvn n

13、 i m 2 每个计息期内的m次付款额按等差数列递增a m nvn I m a m n 五 连续变化年金 8 0 n t V 0 f t vdt 注 四 五 部分不要求 习题 28 31 36 第三章收益率第一节收益率一 收益率的定义 n t t 假设V 0 0 即V 0 vR 0 从中求出满足该式的i 其值就是该项投资的收益 t 0率 也就是使投资支出现金和回收现值相等的利息率 在金融保险实务中 也称为内部收益率 二 再投资收益率 书山有路例题 3 1 8第二节收益率的应用一 基金收益率 投资额加权收益率 0 t 1 i IA Ct 1 t 例题 3 2 2二 时间加权收益率定义这个时期内的

14、时间加权投资收益率为 mm k Bk k 1k 1 k 1k 1 i 1 i 1 1 C B 例题 3 2 4习题 4 6 7 19 23 第四章债务偿还第一节分期偿还计划一 贷款余额1 过去法L Pani ki ki ni a 贷款余额为L 1 i k Ps L 1 i k Ls 2 未来法在k时刻的贷款余额现值为 Pa n ki例题 4 1 2二 分期偿还表若每期还款额为 P L an k 若每期还款额为1 第k次偿还款中利息部分为 I 1 vn k 1 本金部分P vn k 1 k若每期还款额为P 则表中各列同比例增长为P倍 例题 4 1 4 4 1 7 第二节偿债基金一 偿债基金表 n

15、j L D s 即 nj 9 L s D 书山有路 ni j anj 定义a njni j L 1 i j aa 则有P 第k次利息支付及向基金存款后的贷款净余额为NBk L Dskj 第k期内的净利息支出为NIk Li jDsk 1j例题 4 2 2习题 1 7 10 29 第五章第一节债券一 债券价格债券价格 息票收入的现值 偿还值的现值P rNan C vnP C 1 g i an 例题 5 1 1二 溢价与折价第k期末的账面价值为 BVk rNan k Cv C 1 g i a nn k 第一年末的票息收入为gC 利息收入为期初的帐面值P C 1 g i a 与收益率i的乘积 n 对其

16、溢价购买债券的补偿为 gC iC 1 g i a C g i vnn 例题 191 193页要求 1 债券的价格 2 第k年末的账面值 3 第k年的利息收入 习题 1 2 4教学大纲第一章 利息的概念与问题本章课时 9一 学习的目的和要求1 必须掌握以下基本概念 利息 现值 终值 实际利率 实际贴现率 名义利率 名义贴现率 利息强度等 2 理解实际利率 实际贴现率 名义利率 名义贴现率 利息强度之间的关系 3 掌握常见利息问题的求解原理 根据不同的情况运用不同的表达形式 二 主要内容第一节 利息的基本概念第二节 利息问题求解第二章年金本章课时 9一 学习的目的与要求1 必须掌握以下基本概念 标准年金 一般年金 期初年金 期末年金 连续年金 永久年金 递增年金 递减年金 年金现值 年金积累值等 2 理解期初年金 期末年金 连续年金之间的关系以及递增年金 递减年金之间的关系 5 能够求解常见年金的现值和积累值问题 与年金有关的利率或期限等利息问题 二 主要内容第一节 标准年金第二节 一般年金第三章收益率本章课时 9 10 书山有路一 学习目的与要求1 必须掌握以下基本概念 收益率 净现值法