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1、 书山有路2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题本试卷共22题 共150分 考试时间120分钟 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 注意事项 答题前 考生先将自己的名字 考生号 考场号和座位号填写清楚 将条形码准确粘贴在条形码区域内 选择题必须使用2B铅笔填涂 非选择题必须使用0 5毫米黑色字迹的签字笔书写 字体工整 笔迹清楚 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答 超出答题区域书写的答案无效 在草稿纸 试卷上答题无效 作图可先使用铅笔作画出 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑 保持卡面清洁 不要折叠 不要弄破 弄皱 不准使用涂改液 修正笔 刮纸刀 一 选择题 本大题共8小题
2、每小题5分 共40分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合A x 2 x 4 x Z 则A B C 2 2 4 D 2 4 A 0 2 4 B 2 0 2 4 2 设复数z 2 ai 若z z 则实数a 1 A 0B 2 C 1 D 23 设命题p 存在a R 3a a3 则 p为 存在a R 3a a3不存在a R 3a a3对任意a R 3a a3对任意a R 3a a3 4 cos2 cos2 2 105 书山有路 A 1B 2C 12 D 32 5 科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线 一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到 任意画一条线段 然后把它分成三等
3、分 以中间一段为边向外作正三角形 并把中间一段去掉 这样 原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线 称为 一次构造 用同样的方法把每条小线段重复上述步骤得到16条更小的线段构成的折线称为 二次构造 如此进行 n次构造 就可以得到一条科赫曲线 若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍 则至少需要通过构造的次数是 取 lg3 0 4771 lg2 0 3010 A 16B 17C 24D 25 33 6 已知直线ax y 1 0将圆C x 1 2 y 2 2 4平分 则圆C中以点 a a 为 中点的弦的弦长为 A 2 B 22C 23 D 4 7 关于函数f x xsinx x
4、 有下列三个结论 4 fx为偶函数 fx有3个零点 f f 其中所有正确结论的编号是3 A B C D 8 已知抛物线C x2 2py p 0 的焦点为F C的准线与对称轴交于点H 直线 y 3x p与C交于A B两点 若 AH 43 则 AF 23 A 3 B 83 2 C 2D 4 二 多项选择题 本题共4小题 每小题5分 共20分 在每小题给出的四个选项中 有多项是符合题目要求 全部选对的得5分 部分选对的得3分 有选错的0分 9 下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况 关于 书山有路 这5次统计 下列说法错误的是 私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的
5、年份是2018年公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25 7万台公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23 12万台从2017年开始 我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50 10 若 2x 1 10 a ax ax2 ax10 x R 则 01210A a0 1B a0 0 310 012 10 C a0 a1 a2 a10D a a a a 3 11 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD是边长为4的正方形 AA1 3 则 A 异面直线AB与BD所成角的余弦值为2111 2 5 111 B 异面直线AB与BD所成角的余弦值为3 5 C A1B 平面B1D1C 111 D 点B到平
6、面ABD的距离为12 5 1 2 lnx 2 x 0 12 已知f x 2x x 0 存在实数m有如满足2f f m 1 2f m 1 则 A f x 0 B f m 可能大于0 C m 1 D m 1 0 e2 3 书山有路三 填空题 本题共4小题 每小题5分 共20分 把答案填在答题卡中的横线上 x 13 曲线f x ex 1在x 1处的切线斜率为 14 如图 在平行四边形ABCD中 E为BC的中点 F为DE 2 的中点 若AF 1AB nAD 则n 已知圆锥SC的底面半径 高 体积分别为2 3 V 圆柱OM的底面半径 高 体积分别为1 h V 则h 圆锥SC的外接球的表面积为 本题第一空
7、2分 第二空3分 x2y2已知双曲线C 1 b 0 的左 右顶点分别为A B 点P在双曲线C上 4b2且直线PA与直线PB的斜率之积为1 则双曲线C的焦距为 四 解答题 本题共6小题 共70分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分10分 在 b3 a4 a3 3b3 a2 4b2这三个条件中任选一个 补充在下面问题中 再判断 cn 是否是递增数列 请说明理由 已知 an 是公差为1的等差数列 bn 是正项等比数列 a1 b1 1 c ab n N 判断 c 是否是递增数列 并说明理由 nnnn注 如果选择多个条件分别解答 按第一个解答计分 18 本小题满分12分 已知 AB
8、C的内角A B C的对边分别为a b c 3sinAsin A cos2A 122求角A的大小 若 ABC的面积为3a 周长为3a 求a的值 4 4 书山有路 19 本小题满分12分 如图 在四棱锥M ABCD中 AB AD AB AM AD 2 MB MD 22 证明 AM 平面ABCD 若E是BM的中点 CD AB 2CD AB 求平面ECD与平面ABM所成锐二面角的余弦值 62 20 本小题满分12分 x2y2 已知直线l与椭圆C 1交于不同的两点A B 1 2 1 若线段AB的中点为 1 求直线l的方程式 2 若l的斜率为k 且l过椭圆C的左焦点F AB的垂直平分线与x轴交于点N 求
9、证 FN AB 为定值 21 本小题满分12分 已知函数f x alnx x 其中a为常数 1 讨论函数y f x 的单调性 x 1 2 当a e e为自然对数的底数 x 1 时 若方程f x b 1 x有两个不等实 数根 求实数b的取值范围 5 书山有路 22 本小题满分12分 小芳 小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏 规则如下 若掷出的点数之和为4的倍数 则由原投掷人继续投掷 若掷出的点数之和不是4的倍数 则由对方接着投掷 规定第1次从小明开始 求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率 设游戏的前4次中 小芳投掷的次数为X 求随机变量X的分布列与期望 若第1次从小芳开始 求第n次由小芳投掷的
10、概率Pn 2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题答案1 5BACCD6 8CDC9ABC10AC11ACD12AD x2 13 e 1本题考查导数的几何意义 f x ex 1 f 1 e 1 由导数的几何意义 知曲线f x ex 1在x 1处的切线斜率为e 1x 6 书山有路 14 34 本题考查平面向量的基本定理 连接 1 1113 2224 34 AE AF AD AE AD AB AD AB AD 则n 15 4 9 2169 本题考查圆锥 圆柱的体积以及圆锥的外接球问题 依题有 3 V 1 22 3 12 h h 4 设圆锥SC的外接球的半径为R 则有 222 2 3 R
11、2 R 解得R 则圆锥SC的外接球的表面积为4 6 1313169 9 16 42 6本题考查双曲线的性质 kPA kPB 1 设点 0 0 0 y y y2 P x0 y0 0 0 0 1 x 2x 2x2 4 点P 在双曲线C上 0 x2y2y2b2b2 b2 0 0 1 0 4x2 444 1 b 2 双曲线C的焦距为24 b2 42 17 解 本题考查数列 因为 an 是公差为1 首项为1的等差数列 所以an 1 n 1 n 3分设 bn 的公比为q 若选 由b a 得b a 4 q 2 b 2n 1 c n 2n 1 6分3434nn c n n 1 n 2n 1 n c n 1 2
12、n2 n 1 nn 1n 1 则c c 所以 c 是递增数列 10分 若选 由a3 3b3 3 得b3 1 q 1 bn 1 cn n 6分则cn n cn 1 n 1 所以 cn 是递增数列 10分 222 22 n n 1n 2n 1 2n 1 若选 由a 4b 2 得b 1 q 1 b c 6分 c 7 nn 1 n 1 n 2n2n n c n 1 2n 1n 1 1 则c c n 所以 c 不是递增数列 10分 18 本题考查解三角形 书山有路 2 1 22 6 1 因为3sinAsin A cosA 所以sin 2A 1 11 66662 3 因为A 0 所以2A 所以2A A 6
13、分 133 2 因为S ABC 2bcsinA 4bc 4a 所以a bc 222222 又因为a b c 2bccos b c bc b c 3bc a b c 3a 所以3b c 2a a2 4a2 3a 解得a 1或a 0 舍 故a 1 12分19 解 本题考查线面垂直的证明与二面角 因为AB2 AM2 8 BM2 所以AB AM 同理得AD AM因为ADAB A 所以AM 平面ABCD 4分因为AB AD 所以AD AM AB两两垂直 以A为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 因为AB AM AD 2 所以A 0 0 0 D 2 0 0 M 0 2 0 B 0 0 2 因为E是BM
14、的中点 所以E 0 1 1 因为CD AB 2CD AB 所以C 2 0 1 因为CE 2 1 0 DC 0 0 1 设平面ECD的一个法向量为m x1 y1 z1 由 111 m DC x1 y1 z1 0 0 1 0 z1 0 2x y 0 m CE x y z 2 1 0 0 11 得 取x1 1 得m 1 2 0 易知平面ABM的一个法向量为n AD 2 0 0 设平面ECD与平面ABM所成锐二面 角的平面角为 所以cos m n 1 2 0 2 0 0 55 m n 12 22 2 8 书山有路 所以平面ECD与平面ABM所成锐二面角的余弦值为 55 12分 20 本题考查直线与椭圆
15、的位置关系 1122 2 2 y2 x2 1 1 1 1 设A x y B x y 则 6 x2y2 2 1 62 两式相减得 22 22 12 12 6 2 x x y y 0 12 12 AB x x6 y y 6 1323 则k y1 y2 2 x1 x2 2 2 2 故直线l的方程式为y 1 2 x 1 即4x 6y 7 0 5分 2 由题知点F 2 0 故可设直线l的方程式为y k x 2 AB 6 当直线l的斜率k 0时 AB 26 FN 2 此时 FN 6 当直线l的斜率k 0时 联立 x2 y2 62 1 可得 1 3k2 x2 12k2x 12k2 6 0 y k x 2 1
16、2k212k2 6设A x1 y1 B x2 y2 由韦达定理知x1 x2 1 3k2 x1x2 1 3k2 x x 6k2 则AB的中点为M x0 y0 则x0 1221 3k2 2k 又y0 k x0 2 1 3k2 2k16k2 4k2故直线MN的方程为y x 令y 0 得x 1 3k2k1 3k2N1 3k2 4k22 k2 1 则 FN 2 1 3k21 3k2 FN 6 所以 AB 6 综上所述 FN 9 AB 为定值 12分 21 本题考查函数的单调性以及利用导数研究函数的零点 书山有路 aa xxx 1 函数f x 的定义域为 0 f x 1 当a 0时 f x 0 f x 在 0 上单调递减 当a 0时 由f x 0 得0 x a 由f x 0 得x a 则f x 在 0 a 上单调递增 f x 在 a 上单调递减 4分 2 当a e时 f x elnx x 则由f x b 1 x 可得elnx elnx x b b 1 x 则方程f x x 1 elnx x x 1有两个不等实数根等价于函数y elnx xx x 1 的图像 与直线y b有两个不同交点 elnx x
