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1、难点 21 直线方程及其应用 直线是最简单的几何图形 是解析几何最基础的部分 本章的基本概念 基本公式 直线方程的各种形式以及两直线平行 垂直 重合的判定都是解析几何重要的基础内容 应 达到熟练掌握 灵活运用的程度 线性规划是直线方程一个方面的应用 属教材新增内容 高考中单纯的直线方程问题不难 但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手 的 难点磁场 已知 a 1 b 1 c 1 求证 abc 2 a b c 案例探究 例 1 某校一年级为配合素质教育 利用一间教室作为学生绘画成果展览室 为节约 经费 他们利用课桌作为展台 将装画的镜框放置桌上 斜靠展出 已知镜框对桌面的倾 斜角为 90
2、180 镜框中 画的上 下边缘与镜框下边缘分别相距am b m a b 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳 命题意图 本题是一个非常实际的数学问题 它不仅考查了直线的有关概念以及对三 角知识的综合运用 而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力 属 级题目 知识依托 三角函数的定义 两点连线的斜率公式 不等式法求最值 错解分析 解决本题有几处至关重要 一是建立恰当的坐标系 使问题转化成解析几 何问题求解 二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值 如果坐标系选择不当 或选择求 sinACB的最大值 都将使问题变得复杂起来 技巧与方法 欲使看画的效果最佳 应使 ACB取最大值 欲求角
3、的最值 又需求角 的一个三角函数值 解 建立如图所示的直角坐标系 AO为镜框边 AB为画的宽度 O为下边缘上的一点 在x轴的正半轴上找一点C x 0 x 0 欲使看 画的效果最佳 应使 ACB取得最大值 由三角函数的定义知 A B两点坐标分别为 acos asin bcos bsin 于是直线 AC BC的斜率分别为 kAC tanxCA xa a cos sin cos sin tan xb b xCBkBC 于是 tanACB ACBC ACBC kk kk 1 cos sin cos sin 2 bax x ab ba xxbaab xba 由于 ACB为锐角 且 x 0 则tanACB
4、 cos 2 sin baab ba 当且仅当 x ab x 即 x ab 时 等号成立 此时 ACB取最大值 对应的点为C ab 0 因此 学生距离镜框下 缘abcm处时 视角最大 即看画效果最佳 例 2 预算用 2000元购买单件为 50元的桌子和 20元的椅子 希望使桌椅的总数尽可能 的多 但椅子不少于桌子数 且不多于桌子数的1 5倍 问桌 椅各买多少才行 命题意图 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用 本 题主要考查找出约束条件与目标函数 准确地描画可行域 再利用图形直观求得满足题设 的最优解 属 级题目 知识依托 约束条件 目标函数 可行域 最优解 错解分析
5、解题中应当注意到问题中的桌 椅张数应是自然数这个隐含条件 若从图 形直观上得出的最优解不满足题设时 应作出相应地调整 直至满足题设 技巧与方法 先设出桌 椅的变数后 目标函数即为这两个变数之和 再由此在可行 域内求出最优解 解 设桌椅分别买x y张 把所给的条件表示成不等式组 即约束条件 为 0 0 5 1 20002050 yx xy xy yx 由 7 200 7 200 20002050 y x xy yx 解得 A点的坐标为 7 200 7 200 由 2 75 25 5 1 20002050 y x xy yx 解得 B点的坐标为 25 2 75 所以满足约束条件的可行域是以A 7
6、200 7 200 B 25 2 75 O 0 0 为顶点的三角形区域 如右图 由图形直观可知 目标函数z x y在可行域内的最优解为 25 2 75 但注意到 x N y N 故取 y 37 故有买桌子 25张 椅子 37张是最好选择 例 3 抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后 沿平行于抛物线对 称轴的方向射出 今有抛物线y2 2px p 0 一光源在点 M 4 41 4 处 由其发出的光线沿平行 于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P 折射后又射向抛物线上的点Q 再折射后 又沿 平行于抛物线的轴的方向射出 途中遇到直线l 2x 4y 17 0上的点 N 再折射后又射回 点M
7、如下图所示 1 设P Q两点坐标分别为 x1 y1 x2 y2 证明 y1 y2 p2 2 求抛物线的方程 3 试判断在抛物线上是否存在一点 使该点与点M关于 PN所在的直线对称 若存在 请求出此点的坐标 若不存在 请说明理由 命题意图 对称问题是直线方程的又一个重要应用 本题是一道与物理中的光学知识相 结合的综合性题目 考查了学生理解问题 分析问题 解决问题的能力 属 级题目 知识依托 韦达定理 点关于直线对称 直线关于直线对称 直线的点斜式方程 两 点式方程 错解分析 在证明第 1 问题 注意讨论直线PQ的斜率不存在时 技巧与方法 点关于直线对称是解决第 2 第 3 问的关键 1 证明 由
8、抛物线的光学性质及题意知 光线 PQ必过抛物线的焦点F 2 p 0 设直线 PQ的方程为 y k x 2 p 由 式得 x k 1 y 2 p 将其代入抛物线方程y2 2px中 整理 得 y2 k p2 y p2 0 由韦达 定理 y1y2 p2 当直线 PQ的斜率角为 90 时 将 x 2 p 代入抛物线方程 得y p 同样得到 y1 y2 p2 2 解 因为光线QN经直线 l反射后又射向M点 所以直线MN与直线 QN关于直线 l对称 设点 M 4 41 4 关于 l的对称点为 M x y 则 017 2 4 4 2 4 41 2 1 2 1 4 41 4 y x x y 解得 1 4 51
9、 y x 直线 QN的方程为 y 1 Q点的纵坐标 y2 1 由题设 P点的纵坐标 y1 4 且由 1 知 y1 y2 p2 则4 1 p2 得p 2 故所求抛物线方程为y2 4x 3 解 将 y 4代入 y2 4x 得x 4 故 P点坐标为 4 4 将y 1代入直线 l的方程为 2x 4y 17 0 得x 2 13 故N点坐标为 2 13 1 由P N两点坐标得直线PN的方程为 2x y 12 0 设M点关于直线 NP的对称点 M1 x1 y1 1 4 1 012 2 4 2 4 41 2 1 2 4 41 4 1 1 1 1 1 1 y x y x x y 解得则 又M1 4 1 1 的坐
10、标是抛物线方程y2 4x的解 故抛物线上存在一点 4 1 1 与点 M关 于直线 PN对称 锦囊妙计 1 对直线方程中的基本概念 要重点掌握好直线方程的特征值 主要指斜率 截距 等问 题 直线平行和垂直的条件 与距离有关的问题等 2 对称问题是直线方程的一个重要应用 中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点 关于点或点关于直线的对称 中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工 具 3 线性规划是直线方程的又一应用 线性规划中的可行域 实际上是二元一次不等式 组 表示的平面区域 求线性目标函数z ax by的最大值或最小值时 设t ax by 则此直线往右 或左 平移时 t值随之增大
11、或减小 要会在可行域中确定最优解 4 由于一次函数的图象是一条直线 因此有关函数 数列 不等式 复数等代数问题 往往借助直线方程进行 考查学生的综合能力及创新能力 歼灭难点训练 一 选择题 1 设M 120 110 110 110 2002 2001 2001 2000 N 则 M与N的大小关系为 A M NB M N C M ND 无法判断 2 三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为 A 15 B 30 C 36 D 以上都不对 二 填空题 3 直线 2x y 4 0上有一点 P 它与两定点 A 4 1 B 3 4 的距离之差最 大 则 P点坐标是 4 自点 A 3 3 发出的光线
12、l射到 x轴上 被 x轴反射 其反射光线所在直线 与圆 x2 y2 4x 4y 7 0相切 则光线l所在直线方程为 5 函数 f 2cos 1sin 的最大值为 最小值为 6 设不等式 2x 1 m x2 1 对一切满足 m 2 的值均成立 则x的范围为 三 解答题 7 已知过原点 O的一条直线与函数y log8x的图象交于 A B两点 分别过点 A B作y轴的平行线与函数y log2x的图象交于 C D两点 1 证明 点 C D和原点 O在同一直线上 2 当BC平行于 x轴时 求点 A的坐标 8 设数列 an 的前 n项和 Sn na n n 1 b n 1 2 a b是常数且 b 0 1
13、证明 an 是等差数列 2 证明 以 an n Sn 1 为坐标的点 Pn n 1 2 都落在同一条直线上 并写出此直线的方 程 3 设a 1 b 2 1 C是以 r r 为圆心 r为半径的圆 r 0 求使得点 P1 P2 P3都落在圆 C 外时 r的取值范围 参考答案 难点磁场 证明 设线段的方程为y f x bc 1 x 2 b c 其中 b 1 c 1 x 1 且 1 b 1 f 1 1 bc 2 b c 1 bc 1 b 1 c 0 f 1 bc 1 2 b c 1 b 1 c 0 线段 y bc 1 x 2 b c 1 x 1 在x轴上方 这就是说 当 a 1 b 1 c 1时 恒有
14、 abc 2 a b c 歼灭难点训练 一 1 解析 将问题转化为比较A 1 1 与 B 102001 102000 及 C 102002 102001 连线的斜率大小 因为B C两点的直线方程为y 10 1 x 点 A在直线的下方 kAB kAC 即M N 答案 A 2 解析 设三角形的另外两边长为x y 则 11 110 110 yx y x 点 x y 应在如右图所示区域内 当x 1时 y 11 当 x 2时 y 10 11 当x 3时 y 9 10 11 当 x 4时 y 8 9 10 11 当x 5时 y 7 8 9 10 11 以上共有 15个 x y对调又有 15个 再加上 6
15、6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 六组 所以共有 36个 答案 C 二 3 解析 找 A关于 l的对称点 A A B与直线 l的交点即为所求的P点 答案 P 5 6 4 解析 光线 l所在的直线与圆x2 y2 4x 4y 7 0关于 x轴对称的圆相切 答案 3x 4y 3 0或4x 3y 3 0 5 解析 f 2cos 1sin 表示两点 cos sin 与 2 1 连线的斜率 答案 3 4 0 6 解析 原不等式变为 x 2 1 m 1 2x 0 构造线段 f m x2 1 m 1 2x 2 m 2 则f 2 0 且f 2 0 答案 2 13 2 17 x 三 7 1 证明
16、 设 A B的横坐标分别为x1 x2 由题设知 x1 1 x2 1 点A x1 log8x1 B x2 log8x2 因为 A B在过点 O的直线上 所以 2 28 1 18 loglog x x x x 又点 C D的坐标分别为 x1 log2x1 x2 log2x2 由于 log2x1 3log8x1 log2x2 3log8x2 则 2 28 2 22 1 18 1 12 log3log log3log x x x x k x x x x k ODOC 由此得 kOC kOD 即O C D在同一直线上 2 解 由 BC平行于 x轴 有 log2x1 log8x2 又log2x1 3log8x1 x2 x13 将其代入 2 28 1 18 loglog x x x x 得x13log8x1 3x1log8x1 由于 x1 1知log8x1 0 故x13 3x1x2 3 于是 A 3 log83 9 1 证明 由条件 得a1 S1 a 当n 2 时 有an Sn Sn 1 na n n 1 b n 1 a n 1 n 2 b a 2 n 1 b 因此 当 n 2 时 有 an an
