《高考数学复习课件(理)：第9讲二次函数与一元二次方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习课件(理)：第9讲二次函数与一元二次方程（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 新课标高中一轮总复习 2 第二单元函数 3 第9讲 二次函数与一元二次方程 4 掌握二次函数的概念 图象特征 掌握二次函数的性质 会求二次函数在给定区间上的最值 掌握二次函数 二次方程 二次不等式之间的联系 提高综合解题的能力 5 1 已知f x x2 ax b f 1 0 f 2 0 则f 1 6 由f 1 0 f 2 0 得方程x2 ax b 0的两根是1 2 所以a 3 b 2 故f x x2 3x 2 所以f 1 6 6 2 如果不等式f x ax2 x c 0 a c R 的解集为 2 1 那么函数y f x 的大致图象是 C 7 由ax2 x c 0的解集为 2 1 知a 0
2、且有 1 2 a 1 c 2 所以f x x2 x 2 选C 3 关于x的二次方程x2 ax a2 4 0的两根异号 则a的取值范围是 2 2 4 函数y 4x 2x 1 5的值域是 6 令t 2x 则y t2 2t 5 t 1 2 6 t 0 所以y 6 8 5 当x 1 2 时 x2 mx 4 0恒成立 则m的取值范围是 5 方法一 设f x x2 mx 4 则f 1 0m 5 0f 2 0 4 2m 4 0 方法二 m x 1 x 2 因为g x x 4x在 1 2 上是递减的 所以4 g x 5 所以m 5 m 5 9 1 函数 叫做二次函数 它的定义域是R 这是二次函数的一般形式 另
3、外 还有顶点式 其中 h k 是抛物线顶点的坐标 两根式 其中x1 x2是抛物线与x轴交点的横坐标 2 二次函数的图象是一条 经过配方 可得y ax2 bx c 顶点为 对称轴为直线 其图象及主要性质如下表 y ax2 bx c a 0 y a x h 2 k a 0 y a x x1 x x2 a 0 抛物线 a x 2 x 10 最小值 最大值 减 增 增 减 11 3 一元二次方程根的分布 1 方程ax2 bx c 0 a 0 两根 一正一负 ac0 x1 x2 0 x1 x2 0 0 x1 x2 0 两正根 两正根 一零根 c 0 12 2 实系数二次方程ax2 bx c 0 a 0
4、的两根x1 x2的分布范围与二次方程系数之间的关系 如下表所示 13 14 题型一二次函数及它在闭区间上的值域 例1 已知二次函数f x 满足f 1 x f 1 x 且f 0 0 f 1 1 1 求f x 的解析式 2 若f x 在区间 m n 上的值域是 m n 求m n的值 15 1 设f x ax2 bx c a 0 由已知得 1c 0 解得a b c 1所以f x x2 2x 2 f x x 1 2 1 显然n 1 所以区间 m n 在函数的对称轴x 1的左边 所以f m mf n n 即m n是方程 x2 2x x的两根 又m n 所以m 0 n 1 a 1b 2c 0 16 1 求
5、二次函数的解析式 常用待定系数法 若能恰当选择其形式 将可化繁为简 2 条件二次问题 注意一看开口方向 二看轴的位置 三算端点数值 若盲目分类 前途 将很渺茫 17 已知函数f x ax2 bx 2 a 0 1 判断函数f x 的奇偶性 2 当a 4 题型二二次函数的性质及二次方程根的分布 例2 18 1 当b 0时 f x f x 则f x 是偶函数 当b 0时 f x f x f x f x 所以f x 是非奇非偶函数 2 证明 方程f x x 化为ax2 b 1 x 2 0 设g x ax2 b 1 x 2 a 0 19 因为x10a b 1 2 0 g 2 0 因为a 4 一元二次方程
6、根的分布 即二次函数零点的分布 关键在于作出二次函数的草图 由此列出不等式组 要注意二次函数的对称轴与 与方程根的关系 20 题型三二次函数的综合问题 例3 已知二次函数y f x 在x 处取得最小值 t 0 且f 1 0 1 求y f x 的表达式 2 若函数y f x 在区间 1 上的最小值为 5 求此时t的值和对应的x的值 21 1 设f x a x 2 a 0 因为f 1 0 所以 a 1 0 又t 0 所以a 1 所以f x x 2 t 0 2 因为f x x 2 t 0 当 1 即t 4时 f x min f 1 1 2 5 所以t 当 1 即 4 t 1时 22 f x min
7、f 5 所以t 舍去 当 即t 1时 f x min f 2 5 所以t 舍去 综上得 所求的t 对应的x 1 定区间上二次函数的最值问题需要分段考查区间端点与对称轴的关系 分别求最值 23 设函数f x x2 4x 5 1 在区间 2 6 上画出函数f x 的图象 2 设集合A x f x 5 B 2 0 4 6 试判断集合A和B之间的关系 并给予证明 3 当k 2时 求证 在区间 1 5 上 y kx 3k的图象位于函数f x 图象的上方 24 1 将函数解析式变形为f x x2 4x 5 x 5或x 1 x2 4x 5 1 x 5 f x 在区间 2 6 上的图象如下 2 方程f x 5
8、的解分别是2 0 4和2 由于f x 在 1 和 2 5 上单调递减 在 1 2 和 5 上单调递增 25 因此 A 2 0 4 2 由于2 2 所以B A 3 证法一 最值法 当x 1 5 时 f x x2 4x 5 g x k x 3 x2 4x 5 x2 k 4 x 3k 5 因为k 2 所以 1 又 1 x 5 当 1 1 即2 k 6时 取x 26 g x min k 10 2 64 因为16 k 10 20 当6时 取x 1 g x min 2k 0 由 可知 当k 2时 g x 0 x 1 5 因此 在区间 1 5 上 y k x 3 的图象位于函数f x 的图象的上方 证法二
9、判别式法 当x 1 5 时 f x x2 4x 5 27 由y k x 3 y x2 4x 5 得x2 k 4 x 3k 5 0 令 k 4 2 4 3k 5 0 解得k 2或k 18 在区间 1 5 上 当k 2时 y 2 x 3 的图象与函数f x 的图象只交于一点 1 8 当k 18时 y 18 x 3 的图象与函数f x 的图象没有交点 由图可知 由于直线y k x 3 过点 3 0 当k 2时 直线y k x 3 是由直线y 2 x 3 绕点 3 0 逆时针方向旋转得到 因此 在区间 1 5 上 y k x 3 的图象位于函数f x 的图象的上方 28 1 二次函数 一元二次不等式和
10、一元二次方程是一个有机的整体 要深刻理解他们之间的关系 运用函数与方程的思想将他们进行转化 这是准确迅速解决此类问题的关键 29 30 3 二次函数f x ax2 bx c 当a 0且 0成立 当a 0且 0时 对 x R f x 0成立 31 2009 福建卷 函数f x ax2 bx c a 0 的图象关于直线x 对称 据此可推测 对任意的非零实数a b c m n p 关于x的方程m f x 2 nf x p 0的解集都不可能是 D A 1 2 B 1 4 C 1 2 3 4 D 1 4 16 64 32 若方程m f x 2 nf x p 0的解集是 1 4 16 64 则该方程化为f
11、 x t1和f x t2 每个方程有不同的实根 而由f x ax2 bx c的对称轴性知f x t1和f x t2的两个根也应关于x 对称 即这四个数1 4 16 64中必有两对数的和相等 这是不可能的 33 2009 江苏卷 设a为实数 函f x 2x2 x a x a 1 若f 0 求a的取值范围 2 求f x 的最小值 1 若f 0 1 则 a a 1a 1 故a的取值范围是 1 a 0a2 1 34 f a a 0 f a 0 当x a时 f x x2 2ax a2 f a a 0 2a2 a 0 f a a 0 2a2 a 0 2a2 a 0 a 0 2a2 a 0 a 0 则 f x min 则f x min 综上 f x min 2 当x a时 f x 3x2 2ax a2 35 本节完 谢谢聆听
