《高考数学复习全套课件(理) 第二章 第七节 幂函数与二次函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习全套课件(理) 第二章 第七节 幂函数与二次函数（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 了解幂函数的概念 2 结合函数y x y x2 y x3 y y 的图象 了解它们的变化情况 1 幂函数的定义如果一个函数 底数是 指数是 即y x 这样的函数称为幂函数 自变量x 常数 思考探究1 幂函数与指数函数有何不同 提示 本质区别在于自变量的位置不同 幂函数的自变量在底数位置 而指数函数的自变量在指数位置 2 幂函数的图象 思考探究2 在上图第一象限中如何确定y x3 y x2 y x y y x 1的图象 提示 画出直线x x0 当x0 1时 即当x 1时 从上到下依次为y x3 y x2 y x y y x 1的图象 在 1 1 点处相交 当x0 1时 即当x 1时 从上到下
2、依次为y x 1 y y x y x2 y x3的图象 在上减 在上增 0 3 幂函数的性质 特征 函数 性质 y x y x2 y x3 y y x 1 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 在上减 在上减 幂函数的图象过定点 R R R R R 0 x x 0 0 0 y y 0 奇 偶 奇 奇 非奇非偶 增函数 0 增函数 增函数 0 0 1 1 4 二次函数 1 下列函数中 y y 3x 2 y x4 x2 y 是幂函数的个数为 A 1B 2C 3D 4 解析 由幂函数定义可知 y x 3 y 为幂函数 答案 B 2 已知点M 3 在幂函数f x 的图象上 则f x 的表达式为 A f
3、x x2B f x x 2C f x D f x 解析 设幂函数的解析式为y x 则3 2 y x 2 答案 B 3 函数y 2x2 6x 3 x 1 1 则y的最小值是 A B 3C 1D 不存在 解析 函数y 2x2 6x 3的图象的对称轴为x 1 函数y 2x2 6x 3 在x 1 1 上为单调递减函数 ymin 2 6 3 1 答案 C 4 若二次函数f x 满足f x 1 f x 2x f 0 1 则f x 解析 设函数f x ax2 bx c a 0 f 0 1 c 1 即f x ax2 bx 1 又f x 1 f x 2x a x 1 2 b x 1 ax2 bx 2x 2ax
4、a b 2x a 1 b 1 即f x x2 x 1 答案 x2 x 1 5 若函数f x x2 a 2 x b x a b 的图象关于直线x 1对称 则f x max 解析 由题知 f x x2 2x 6 x 4 6 当x 4或6时 f x max 30 答案 30 幂函数y x 的性质和图象 由于 的取值不同而比较复杂 一般可从三方面考查 1 的正负 0时图象经过 0 0 点和 1 1 点 在第一象限的部分 上升 0时图象不过 0 0 点 经过 1 1 点 在第一象限的部分 下降 2 曲线在第一象限的凹凸性 1时曲线下凹 0 1时曲线上凸 0时曲线下凹 3 函数的奇偶性 一般先将函数式化为
5、正指数幂或根式形式 再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性 特别警示 无论 取何值 幂函数的图象必经过第一象限 且一定不经过第四象限 已知幂函数f x m N 的图象关于y轴对称 且在 0 上是减函数 求满足 a 1 3 2a 的a的范围 思路点拨 课堂笔记 函数在 0 上递减 m2 2m 3 0 解得 1 m 3 m N m 1 2 又函数的图象关于y轴对称 m2 2m 3是偶数 而22 2 2 3 3为奇数 12 2 1 3 4为偶数 m 1 而f x x在 0 0 上均为减函数 a 1 3 2a 等价于a 1 3 2a 0 或0 a 1 3 2a或a 1 0 3 2a 解得a 1或 a
6、 故a的范围为 a a 1或 a 一元二次函数的三种不同解析式实质上是一样的 用哪种形式的解析式 取决于不同的条件 求其解析式时一般用待定系数法 经过三点用一般式 给出顶点坐标 用顶点式 已知与x轴的两交点 用双根式 特别警示 二次函数解析式的确定 应视具体问题 灵活地选用其形式 再根据题设条件列方程组 即运用待定系数法来求解 在具体问题中 常常会与图象的平移 对称 函数的周期性 奇偶性等知识有机地结合在一起 已知函数f x x2 mx n的图象过点 1 3 且f 1 x f 1 x 对任意实数都成立 函数y g x 与y f x 的图象关于原点对称 1 求f x 与g x 的解析式 2 若F
7、 x g x f x 在 1 1 上是增函数 求实数 的取值范围 思路点拨 课堂笔记 1 由题意知 解得 f x x2 2x 设函数y f x 图象上的任意一点Q x0 y0 关于原点的对称点为P x y 则x0 x y0 y 点Q x0 y0 在y f x 的图象上 y x2 2x y x2 2x g x x2 2x 2 F x x2 2x x2 2x 1 x2 2 1 x F x 在 1 1 上是增函数 F x 2 1 x 2 1 0在 1 1 上恒成立 即 在 1 1 上恒成立 令u 1 由u 1在 1 1 上为减函数可知 当x 1时u取最小值0 故 0 即所求 的取值范围是 0 若将例
8、 2 中的 增函数 改为 单调函数 求实数 的取值范围 解 F x 1 x2 2 1 x 当1 0 即 1时 F x 4x在 1 1 上为单调函数 当1 0时 函数图象的对称轴为x 则 1或 1 解之得 1或 1 0 综上所述 的取值范围为 0 二次函数求最值问题 首先采用配方法化为y a x m 2 n的形式 得顶点 m n 和对称轴方程x m 结合二次函数的图象求解 常见有三种类型 1 顶点固定 区间也固定 2 顶点含参数 即顶点为动点 区间固定 这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内 何时在区间之外 3 顶点固定 区间变动 这时要讨论区间中的参数 讨论的目的是确定对称轴和区间的关系 明确函数
9、的单调情况 从而确定函数的最值 已知函数f x 4x2 4ax a2 2a 2在区间 0 2 上有最小值3 求a的值 思路点拨 课堂笔记 f x 4 x 2 2a 2 对称轴为x 当 0 即a 0时 函数f x 在 0 2 上是增函数 f x min f 0 a2 2a 2 由a2 2a 2 3 得a 1 a 0 a 1 当0 2 即0 a 4时 f x min f 2a 2 由 2a 2 3 得a 0 4 舍去 当 2 即a 4时 函数f x 在 0 2 上是减函数 f x min f 2 a2 10a 18 由a2 10a 18 3 得a 5 a 4 a 5 综上所述 a 1 或a 5 二
10、次函数是一种常考常新的 老函数 特别是二次函数的图象以及单调性是高考的常考内容 09年江苏高考将二次函数的概念 性质 图象与一元二次不等式的解法相结合 考查学生灵活运用数形结合 分类讨论的思想方法进行探索 分析与解决问题的能力 符合新课标的要求 是一个新的考查方向 考题印证 2009 江苏高考 12分 设a为实数 函数f x 2x2 x a x a 1 若f 0 1 求a的取值范围 2 求f x 的最小值 3 设函数h x f x x a 直接写出 不需给出演算步骤 不等式h x 1的解集 解 1 因为f 0 a a 1 1分 所以 a 0 即a 0 2分 由a2 1知a 1 因此 a的取值范
11、围为 1 2 记f x 的最小值为g a 我们有f x 2x2 x a x a i 当a 0时 f a 2a2 3分 由 知f x 2a2 此时g a 2a2 4分 当aa 则由 知f x a2 5分 若x a 则x a 2aa2 6分 此时g a a2 综上得g a 7分 3 当a 时 解集为 a 9分 当a 时 10分 解集为 当a 时 11分 解集为 a 12分 自主体验 设二次函数f x x2 ax a 方程f x x 0的两根x1和x2满足0 x1 x2 1 1 求实数a的取值范围 2 试比较f 0 f 1 f 0 与的大小 并说明理由 解 令g x f x x x2 a 1 x a
12、 则由题意可得 0 a 3 故所求实数a的取值范围是 0 3 或a 3 2 法一 f 0 f 1 f 0 g 0 g 1 2a2 令h a 2a2 当a 0时h a 单调增加 当0 a 3 时 0 h a h 3 2 2 3 2 2 2 17 12 2 即f 0 f 1 f 0 法二 2 f 0 f 1 f 0 g 0 g 1 2a2 由 1 知0 a 3 1 17 0 又 1 0 于是2a2 32a2 1 1 1 0 即2a2 0 故f 0 f 1 f 0 1 若幂函数y m2 3m 3 的图像不经过原点 则实数m的值等于 A 1B 2C 1或2D 0 解析 由于函数y m2 3m 3 是幂
13、函数 所以m2 3m 3 1 解得m 1或2 当m 1时y m2 3m 3 x 2 定义域是 x x R x 0 图像不经过原点 当m 2时 y m2 3m 3 xm2 m 2 x0 定义域是 x x R x 0 图像不经过原点 答案 C 2 设 则使函数y x 的定义域为R且为奇函数的所有 值为 A 1 3B 1 1C 1 3D 1 1 3 解析 y x 1的定义域为 0 0 1不合题意 排除B C D 故选A 答案 A 3 已知2x2 3x 0 那么函数f x x2 x 1 A 有最小值 但无最大值B 有最小值 有最大值1C 有最小值1 有最大值D 无最小值 也无最大值 解析 2x2 3x
14、 0 0 x 又 f x x 2 f x min f 0 1 f x max f 答案 C 4 方程mx2 2mx 1 0有一根大于1 另一根小于1 则实数m的取值范围是 解析 令f x mx2 2m 1 当m 0时 f 1 3m 1 0 即m 舍去 当m 0时 3m 1 0 即m m 0 答案 m 0 5 已知函数f x x a x b 2 a b 若 是方程f x 0的两个根 则实数a b 之间的大小关系是 解析 已知函数f x x a x b 2 a b 若 是方程f x 0的两个根 则实数a b 之间的大小关系是若令g x x a x b 显然函数g x 的两个零点是a b函数f x
15、的两个零点是 而函数f x 的图象是由函数g x 的图象向上平移两个单位得到的 结合图象可知 a b 答案 a b 6 函数f x x2 4x 4在闭区间 t t 1 t R 上的最小值记为g t 1 试写出g t 的函数关系式 2 作出g t 的大致图象 并写出g t 的最小值 解 1 f x x2 4x 4 x 2 2 8 当t 2时 f x 在 t t 1 上是增函数 g t f t t2 4t 4 当t 2 t 1 即1 t 2时 g t f 2 8 当t 1 2 即t 1时 f x 在区间 t t 1 上是减函数 g t f t 1 t2 2t 7 综上可知 2 g t 的大致图象如图所示 由图象易知g t 的最小值为 8
