《昆明理工数值分析大作业最小二乘法 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《昆明理工数值分析大作业最小二乘法 .pdf（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数值分析实验报告 课题八 曲线拟合的最小二乘法 一 问题提出 从随机的数据中找出其规律性 给出其近似表达式的问题 在生产 实践和科学实验中大量存在 通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲 线 在某冶炼过程中 根据统计数据的含碳量与时间关系 试求含 碳量 y 与时间 t 的拟合曲线 二 实验要求 t 分 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 y 10 4 0 1 27 2 16 2 86 3 44 3 87 4 15 4 37 4 51 4 58 4 02 4 64 1 用最小二乘法进行曲线拟合 2 近似解析表达式为 t a1t a2t 2 a3t 3 3 打印出拟合函
2、数 t 并打印出 tj 与 y tj 的误差 j 1 2 12 4 另外选取一个近似表达式 尝试拟合效果的比较 5 绘制出曲线拟合图 三 实验目的 1 掌握曲线拟合的最小二乘法 2 最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组 3 探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系 四 实验原理 最小二乘法拟合 在函数的最佳平方逼近中f x a b 对已知函数f x 的一组离散数据 xi yi i 0 1 m yi f xi 求函数拟合 S x 记误差 i S xi yi 要求一个函数 xSy与所给数据miyx ii 1 0 的曲线拟合 这 里mixfy ii 1 0 要 求 一 个 函 数 xSy与 所 给 数
3、据 miyx ii 1 0 拟合 若记误差 T miii miyxS 1 0 210 设xxx n 10是 baC 上线性无关函数族 在xxxspan n 10中找一函数 xS 使误 差平方和 2 000 2 2 2 2 min m i ii xS m i m i iii yxSyxS 4 1 这里 mnxaxaxaxS 111100 4 2 这就是一般的最小二乘逼近 用几何语言说 就称为曲线拟合的 最小二乘法 用最小二乘法求拟合曲线时 首先要确定xS的形式 这不单纯 是数学问题 还与所研究问题的运动规律及所得观测数据 ii yx 有关 通常要从问题的运动规律或给定数据描图 确定 i xS的形
4、式 并通过 实际计算选出较好的结果 这点将从下面的例题得到说明 xS的一 般表达式为 4 2 式表示的线性形式 若x k是k次多项式 xS就 是n次多项式 为了使问题的提法更有一般性 通常在最小二乘法中 2 2 都考虑为加权平方和 2 0 2 2 ii m i i xfxSxw 4 3 这里0 xw是ba 上的权函数 它表示不同点 ii xfx 处的数据比重 不同 例如 i xw可表示在点 ii xfx 处重复观测的次数 用最小二 乘法求拟合曲线的问题时 就是在形如 4 2 式的xS中求一函数 xSy 使 4 3 式取得最小 它转化为求多元函数 2 00 10 n j iijj m i in
5、xfxaxwaaaI 4 4 的极小点 1 0 n aaa的问题 由求多元函数极值的必要条件 有 1 0 02 00 nkxxfxaxw a I ik n j iijj m i i k 五 实验设计和实验步骤 本实验利用最小二乘法和题目所给函数形式对所给数据进行拟合 而 后选用不同函数形式对所给数据进行拟合得到拟合数据和所给数据 的相对误差 而后在正交多项式函数组的基础上建立相对最佳基函数 选择指标 P并且记录了相对最佳拟合函数 现将实验步骤陈述如下 1 建立正交多项式函数族建立的程序思路和拟合函数系数求解 2 编辑程序进行计算记录实验结果 3 对所得结果进行总结和分析 找出存在的问题 探索拟
6、合函数 的选择与拟合精度间的关系 评价本次实验的结果 六 编程思路 实 验 使 用matlab工 具 编 写 了 计 算 使 用 正 交 函 数 族 span 0 x 1 x n x 进行最小二乘法拟合的拟合函数各项系 数的函数程序 这是比较简单的 并计算了其误差 现将编程思路陈 述如下 一 按照不同和拟合多项式求拟合函数及其误差 1 利 用 已 知 条 件 生 成 相 应 正 交 多 项 式 函 数 族 span 0 x 1 x n x 2 求格拉姆矩阵 即求其对角线元素 G 3 求 k x f x 4 对应除以相应格拉姆矩阵对角线元素得到拟合函数 系数向量 a 5 生成拟合函数绘图并且计算
7、原来拟合数据中对应x点的函数 值 求其误差 6 改变所选择拟合函数的类型进行拟合如上过程求其拟合函 数误差及相应图像 4 探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系 利用已经建立的最小二乘法拟合函数来建立相应的最佳拟合函数 寻找函数 是一个比价复杂的过程 这里我们仅仅使用上面的正交多 项式生成的函数族 span 0 x 1 x n x 来寻找适宜的基函数 值个数 通过误差是否达到某一个极值来反应其适宜度的变化情况 现将该程序的建立思路简述如下 1 利用拟合数据和拟合函数值的相对误差建立判断指标P 2 利用判断指标 P随着基函数个数的变化找出拟合数据范围内的 最大值 最小值和峰值 3 记录峰值处的拟合
8、函数个数 4 在一定范围内画出判断指标P随基函数个数变化的函数图 七 程序建立及实验结果 利用正交多项式求最小二乘法拟合函数 function w zjdxsnh n x y m length x mf zeros 1 n mp zeros 1 n P ones n m aw 0 af zeros 1 n 2 bf zeros 1 n 2 for i 1 m aw x i aw end af 1 aw m for i 1 m P 2 i x i af 1 end for i 3 n d i 2 sump1 sum P i 1 2 sump2 sum P i 2 2 sump3 sum P i
9、1 2 x af i 1 sump3 sump1 bf i 2 sump1 sump2 P i x P i 1 af i 1 P i 1 bf i 2 P i 2 end for j 1 n for k 1 m mf j mf j P j k 2 mp j mp j P j k y k end end 正交多项式的系数计算 A zeros n n 2 A 3 1 A 2 4 af 1 A 1 zeros A 2 zeros for i 3 n d i 1 for j 4 n 2 A i j A i 1 j 1 af i 2 A i 1 j bf i 2 A i 2 j 2 end end 最终
10、系数计算 AY zeros 1 n a mp mf AX zeros n n 2 for z 1 n AX z a z A z end for b 1 n for t 1 b AY b AX n t 1 b 3 t AY b end end w AY 由于使用的是课本上的正交多项式进行拟合 其系数的计算会带来巨 大的误差 故最终的拟合多项式和原来的拟合数据发生了很大误差 这说明利用以上这一思路和实验设计来求解题目是不适合的 即 采用生成多项式的方法和思路去寻找最小二乘法拟合是不合理的 至于后面探索精度和拟合多项式类型之间关系的工作至此无法做起 由此本实验转换思路利用matlab 强大的拟合功能
11、来进行 所使用的代码如下 x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 y 0 1 27 2 16 2 86 3 44 3 87 4 15 4 37 4 51 4 58 4 02 4 64 plot x y hold on p polyfit x y n xx 0 1 55 yy polyval p xx plot xx yy 分别采用 5 次多项式 4 次多项式和 3 次多项式所得拟合曲线如下 5 次 4 次 3 次 下面是误差反应的图形 五次 四次 三次 对比拟合曲线得知采用五次多项式来拟合曲线其趋势相对较符合 七 实验结果分析 本 次实验尝试采用自编程序的方法来进行相应的最小二乘法拟合及探 索工作 但是由于选取的方法不当带来了巨大误差导致了实验的失败 最终采用已经有的成熟技术得到了实验结果
