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1、 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学（理） 20195（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合，则A. B. C. D.且开始结束输出 是否2. 复数的虚部为A. B. C. D. 3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求的方法绘制的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出的值为A.B.C.D.4.在中，,则A. B. C. D. 5. 已
2、知等差数列的首项为，公差.则“成等比数列” 是“”的. 充分而不必要条件 . 必要而不充分条件 . 充要条件 . 既不充分也不必要条件6. 已知函数若函数存在零点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 7. 在棱长为1的正方体中，分别为线段和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值 B.有最大值 C. 为定值 D. 为定值8.在同一平面内,已知为动点,为定点,且, ,为中点.过点作交所在直线于,则在方向上投影的最大值是A. B. C. D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5
3、分，共30分把答案填在答题卡上 9. 已知，则，中最小的是 .10.已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离是 .11.圆(为参数)上的点到直线(为参数)的距离最小值是 . 12. 已知实数满足能说明“若的最大值为，则”为假命题的一组值是 .13.由数字组成没有重复数字的三位数，偶数共有 个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有 个.14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，.线段上的动点满足；线段上的动点满足.直线与直线交于点，设直线的斜率记为，直线的斜率记为，则的值为_；当变化时，动点一定在_（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上. 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字
4、说明，演算步骤或证明过程15.（本小题满分13分）已知函数.（）求函数的最小正周期；（）当时，求证：.16.（本小题满分13分）某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照分组，绘成频率分布直方图如下：0.5a0.278910评分O频率组距专家ABCDE评分9.69.59.68.99.7 （）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（）从5名专家中随机选取3人，表示评
5、分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，表示评分不小于9分的人数；试求与的值； （）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分.方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系.17.（本小题满分14分）在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面. ，分别是边，的中点，线段与交于点，且，.() 求证：平面；() 求证：平面；() 求二面角的余弦值. 18. （本小题满分13分）已知函数(,且).（）求曲线在点处的切线方程;（）若函数的极小值为，试求的值.19. （本小题满分14分）已知椭圆的离心率为.（）求椭圆的方程；（）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过轴上的定点.20.（本小题满分13分）对于由有限个自然数组成的集合,定义集合, 记集合的元素个数为. 定义变换，变换将集合变换为集合.（）若, 求;（）若集合有个元素，证明:“”的充要条件是“集合中的所有元素能组成公差不为的等差数列”;（）若且，求元素个数最少的集合.5
