《2018年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 利用导数研究函数的极值课件8 新人教B版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 利用导数研究函数的极值课件8 新人教B版选修1-1（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、利用导数研究函数的极值 一 复习与引入 利用函数的导数来研究函数y f x 的单调性这个问题 其基本的步骤为 求函数的定义域 求函数的导数f x 解不等式f x 0得f x 的单调递增区间 解不等式f x 0得f x 的单调递减区间 利用导数画函数y 2x3 6x2 7的图象 二 新课 函数的极值 一般地 设函数y f x 在x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都大 我们说f x0 是函数y f x 的一个极大值 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都小 我们说f x0 是函数y f x 的一个极小值 极大值与极小值统称极值 在定义中 取得极值的点称为极值点
2、 极值点是自变量的值 极值指的是对应的函数值 如上图所示 若x0是f x 的极大值点 则x0两侧附近点的函数值必须小于f x0 因此 x0的左侧附近f x 只能是增函数 即f x 0 x0的右侧附近f x 只能是减函数 即f x 0 同理 如上图所示 若x0是f x 极小值点 则在x0的左侧附近f x 只能是减函数 即f x 0 一般地 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么 f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧f x 0 那么 f x0 是极小值 例1 已知函数y x3 4x 4 1 求函数的极值
3、并画出函数的大致图象 2 求函数在区间 3 4 上的最大值和最小值 解 1 y x3 4x 4 x2 4 x 2 x 2 令y 0 解得x1 2 x2 2 当x变化时 y y的变化情况如下表 当x 2时 y有极大值且y极大值 当x 2时 y有极小值且y极小值 2 f 3 7 f 4 9 与极值点的函数值比较得到该函数在区间 3 4 上最大值是9 最小值是 如何求函数的最大 小 值呢 假设y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不间断的曲线 则该函数在 a b 一定能够取得最大值与最小值 函数的最值必在极值点或区间端点取得 由于可导函数在区间 a b 内的极值只可能在使f x 0的点取得
4、 因此把函数在区间端点的值与区间内使f x 0的点的值作比较 最大者必为函数在 a b 上的最大值 最小者必为最小值 求函数y f x 在 a b 的最大 小 值步骤如下 1 求函数f x 在开区间 a b 内所有使f x 0的点 2 计算函数f x 在区间内使f x 0的所有点和端点的函数值 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 例2 下列命题 真命题的个数为 函数不存在极值点 x 0是函数y x 的极小值点 x 0不是y x3的极值点 函数不存在极值点 A 0B 1C 2D 3 D 练习1 下列说法正确的是 A 可导函数必有极值B 函数在极值点一定有定义C 函数的极小值不会超过极大值D 函数在极值点处的导数一定存在 B 练习2 若函数y x3 ax2 bx 27在x 3时有极大值 在x 1时有极小值 则a b 3 9 例3 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值为10 求a b的值 例3 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值为10 求a b的值 解 3x2 2ax b 0有一个根x 1 故3 2a b 0 又f 1 10 故1 a b a2 10 由 解得或 当a 3 b 3时 此时f x 在x 1处无极值 不合题意 当a 4 b 11时 3 111时 此时x 1是极值点 从而所求的解为a 4 b 11
