离散系统的数学模型PPT演示课件

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1、1 本节主要内容 1 离散系统的数学定义2 线性常系数差分方程及其解法3 脉冲传递函数4 开环系统脉冲传递函数5 闭环系统脉冲传递函数6 Z变换法的局限性及修正Z变换 四 离散系统的数学模型 2 1 离散系统的数学定义将输入序列 变换为输出序列的一种变换关系 称为离散系统 记作如果上式所示的变换关系是线性的 则称为线性离散系统 如果这种变换关系是非线性的 则称为非线性离散系统 四 离散系统的数学模型 1 3 线性离散系统如果离散系统满足叠加原理 则称为线性离散系统 即有如下关系式 线性定常离散系统输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统 称为线性定常离散系统 四 离散系统的数学模型 2 4

2、2 线性常系数差分方程及其解法线性定常离散系统可通过n阶后向差分方程描述即 四 离散系统的数学模型 3 K时刻输出与k时刻输入 K时刻前输出 k时刻前输入均有关 5 线性定常离散系统也可以用如下n阶前向差分方程来描述 或表示为差分方程的求解方法 经典法 迭代法 Z变换法经典法 解微分方程通解 特解困难 四 离散系统的数学模型 4 6 迭代法若已知差分方程 并且给定输出序列的初值 则可以利用递推关系 在计算机上一步一步地算出输出序列 例7 16已知差分方程输入序列 初始条件为 试用迭代法求输出序列 解根据初始条件及递推关系 得 四 离散系统的数学模型 5 7 四 离散系统的数学模型 6 8 Z变

3、换法利用Z变换的实数位移定理 得到以Z为变量的代数方程 然后对代数方程的解取Z反变换 求得输出序列 例7 17试用变换法解下列二阶差分方程或设初始条件 解对差分方程的每一项进行Z变换 根据实数位移定理 四 离散系统的数学模型 7 9 得Z代数方程 四 离散系统的数学模型 8 拉式反变换 脉冲传递函数 10 11 3 脉冲传递函数 脉冲传递函数定义开环离散系统如下图所示 线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为系统的初始条件为零时 输出c t 的Z变换C z 与输入r t 的Z变换R z 之比 脉冲传递函数用G z 表示 记作 四 离散系统的数学模型 9 离散系统的传递函数 12 在零初始条件下 线

4、性定常散系统的输出采样信号为然而 对大多数实际系统来说 其输出往往是连续信号 而不是采样信号 则在系统输出端虚设一个理想采样开关 它与输入采样开关同步工作 虚设的采样开关是不存在的 它只表明了脉冲传递函数所能描述的 只是输出函数在采样时刻上的离散值 四 离散系统的数学模型 10 13 脉冲传递函数意义输入单位序列 单位脉冲响应序列 即脉冲传递函数的含义是 系统脉冲传递函数 就等于系统加权序列的Z变换 四 离散系统的数学模型 11 14 脉冲传递函数求法连续系统或元件的脉冲传递函数 可以通过其传递函数来求取 脉冲过渡函数的采样拉氏变换记作习惯表示为 四 离散系统的数学模型 12 脉冲传递函数求法

5、系统加权序列的Z变换查表直接换算 15 四 离散系统的数学模型 12 16 例7 18设某环节的差分方程为试求其脉冲传递函数 解对差分方程取Z变换 并由实数位移定理得当时 在离散系统中其物理意义是代表一个延迟环节 它把其输入序列右移一个采样周期后再输出 四 离散系统的数学模型 13 17 例7 19设图7 23所示开环系统中的试求相应的脉冲传递函数 解将展成部分分式查Z变换表得 四 离散系统的数学模型 14 G z Z G s 例已知开环离散控制系统如图 r t r t y t y t 求脉冲传递函数 解由式 5 61 可知 18 19 4 开环系统脉冲传递函数 采样拉氏变换的两个重要性质1

6、采样函数的拉氏变换具有周期性 即其中 为采样角频率 2 若采样函数的拉氏变换与连续函数的拉氏变换相乘后再离散化 则可以从离散符号中提出来 即 四 离散系统的数学模型 15 20 有串联环节时的开环系统脉冲传递函数1 串联环节之间有采样开关设开环离散系统如图 a 所示 由图可得于是有 四 离散系统的数学模型 16 2 串联环节之间无采样开关设开环离散系统 四 离散系统的数学模型 17 r t r t Y t Y t 等价开环离散系统 21 22 将记为G1G2 z 23 注意 显然 在串联环节之间有无同路不采样开关隔离时 其总的脉冲传递函数和输出Z变换是不相同的 但是 不同之处仅表现在其零点不同

7、 极点仍然一样 这也是离散系统特有的现象 四 离散系统的数学模型 19 24 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数设有零阶保持器的开环离散系统如下图所示 四 离散系统的数学模型 20 r t r t Y t Y t 由脉冲传递函数的定义有 25 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数设有零阶保持器的开环离散系统如下图 a 所示 四 离散系统的数学模型 20 26 由图 b 可得根据实数位移定理及采样拉氏变换性质 可得 四 离散系统的数学模型 21 27 例7 21设离散系统如前图所示 已知试求系统的脉冲传递函数 解因为因此 有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数 四 离散系统的数学模型 22 5 闭

8、环离散控制系统的脉冲传递函数 r t e t e t d t b t Y t Y t 图5 23带干扰的闭环线性离散控制系统 假定d t 0 得到如图5 24所示的结构图 28 r t e t Y t Y t 图7 24线性闭环离散控制系统 根据脉冲传递函数的定义可知 5 70 5 71 29 5 72 将 5 72 代入 5 71 有 5 73 于是得到 5 74 定义误差脉冲传递函数Ge z 为 30 5 75 将式 5 75 代入式 5 70 有 5 76 于是得到闭环系统的脉冲传递函数GB z 为 5 77 31 32 写出下图的闭环系统脉冲传递函数下图是一种比较常见的误差采样闭环离散

9、系统结构图 四 离散系统的数学模型 23 33 由上图可见 连续输出信号和误差信号的拉氏变换为因此有所以 四 离散系统的数学模型 24 34 定义为闭环离系统对于输入量的误差脉冲传递函数 定义为闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数 闭环离散系统的特征方程 四 离散系统的数学模型 25 35 需要指出 闭环离散系统脉冲传递函数不能从和求变换得来 即这是由于采样器在闭环系统中有多种配置之故 四 离散系统的数学模型 26 36 r t e t e t d t b t Y t Y t 求闭环离散控制系统的扰动脉冲传递函数 37 e t Y t Y t d t 扰动输入的离散控制系统 38 例已知采样系

10、统结构 如图所示 写出脉冲传递函数 r t b t Y t Y t 离散控制系统 由脉冲传递函数定义及串连环节的连接方式 可列写出如下式子 所以 因为 39 40 6 变换法的局限性及修正变换 变换法的局限性理想脉冲采样丢失信息极点必须多于零点2个以上 修正变换法自学 四 离散系统的数学模型 28 41 42 本节主要内容 1 s域到z域的映射2 离散系统稳定的充分必要条件3 离散系统的稳定性判据4 采样周期与开环增益对稳定性的影响5 离散系统的稳态误差6 离散系统的型别与静态误差系数 五 离散系统的稳定性与稳态误差 s域到z域的映射 43 44 1 s域到z域的映射s域到z域的基本映射关系式

11、为 五 离散系统的稳定性与稳态误差 1 45 等线映射 五 离散系统的稳定性与稳态误差 2 46 等线映射 五 离散系统的稳定性与稳态误差 3 47 等线映射 五 离散系统的稳定性与稳态误差 4 收敛的对数螺旋曲线 离散系统稳定的充分必要条件 48 49 2 离散系统稳定的充分必要条件定义若离散系统在有界输入序列作用下 其输出序列也是有界的 则称该离散系统是稳定的 时域中离散系统稳定的充分必要条件设线性定常差分方程差分方程的特征方程如下 五 离散系统的稳定性与稳态误差 5 50 设特征方程有各不相同的特征根当特征方程的根时 必有 故系统稳定的充分必要条件是 当且仅当差分方程所有特征根的模 则相

12、应的线性定常离散系统是稳定的 五 离散系统的稳定性与稳态误差 6 51 z域中离散系统稳定的充分必要条件设典型离散系统结构图如图所示 其特征方程为 五 离散系统的稳定性与稳态误差 7 假定在s平面上任有一点 s j 5 86 则通过Z变换 映射到Z平面为 5 87 当 0 即s平面的虚轴 对应Z平面的单位圆 当 0 即左半s平面对应Z平面的单位圆内 Z平面单位圆内为稳定区域 52 Re Re Im Im 53 54 在z域中 线性定常离散系统稳定的充分必要条件是 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内 或者所有特征的模均小于1 即 相应的线性定常离散系统是稳定的 五 离散系

13、统的稳定性与稳态误差 8 r t y t y t 图5 32离散控制系统 解 闭环特征方程 例已知离散控制系统结构如图所示 采样周期T 1秒 分析系统的稳定性 55 1 G z 0z2 4 952z 0 368 0z1 0 076z2 4 876 系统特征方程的根有一个在单位圆外 因此 该离散系统不稳定 56 57 例7 27设离散系统如图所示 其中试分析该系统的稳定性 解所以该离散系统不稳定 五 离散系统的稳定性与稳态误差 9 离散系统的稳定性判据 58 59 3 离散系统的稳定性判据 w变换与劳思稳定判据双线性变换显然 五 离散系统的稳定性与稳态误差 10 Re Re Im Im Z平面到

14、W平面的映射 60 61 例7 28设闭环离散系统如图所示 其中采样周期 试求系统稳定时K的临界值 解 五 离散系统的稳定性与稳态误差 11 62 闭环特征方程令 得得W域特征方程 五 离散系统的稳定性与稳态误差 12 63 列出劳思表为了保证系统稳定 必须使和 即 故系统稳定的临界增益 五 离散系统的稳定性与稳态误差 13 64 朱利稳定判据朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程的系数 判别其根是否位于Z平面上的单位圆内 从而判断该离散系统是否稳定 设离散系统n阶闭环特征方程可以写为利用特征方程的系数 按照下述方法构造行 列朱利阵列 见下表 五 离散系统的稳定性与稳态误差 14 65 朱利判据

15、表 五 离散系统的稳定性与稳态误差 15 66 这里 五 离散系统的稳定性与稳态误差 16 67 朱利稳定判据特征方程的根 全部位于Z平面上单位圆内的充分必要条件是以及下列个约束条件成立 五 离散系统的稳定性与稳态误差 17 T K对稳定性的影响 68 69 由例可见 K与T对离散系统稳定性有如下影响 1 采样周期一定时 加大开环增益会使离散系统的稳定性变差 甚至使系统变得不稳定 2 当开环增益一定是 采样周期越长 丢失的信息越多 对离散系统的稳定性及动态性能均不利 甚至可使系统失去稳定性 五 离散系统的稳定性与稳态误差 22 70 4 采样周期与开环增益对稳定性的影响举例说明例7 30设有零

16、阶保持器的离散系统如下图所示 试求 1 当采样周期分别为1s和0 5s时 系统的临界开环增益2 当 分别为时 系统的输出响应 五 离散系统的稳定性与稳态误差 18 71 解 开环脉冲传递函数闭环特征方程为当时 有 五 离散系统的稳定性与稳态误差 19 72 W域特征方程根据劳思判据易得 当时 W域特征方程为根据劳思判据得 令 分别为可由的反变换求出 分别画于下张图之中 五 离散系统的稳定性与稳态误差 20 73 图 阶跃响应 五 离散系统的稳定性与稳态误差 21 离散系统稳态误差 1 终值定理2 稳态误差系数 74 75 5 离散系统的稳态误差介绍利用Z变换的终值定理方法 求取误差采样的离散系统在采样瞬时的稳态误差 设单位单馈误差采样系统如下图所示 五 离散系统的稳定性与稳态误差 23 76 其中为系统误差脉冲传递函数 若离散系统是稳定的 则可用Z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差 五 离散系统的稳定性与稳态误差 24 77 例7 31设离散系统如下图所示 其中 输入连续信号分别为和 试求离散系统相应的稳态误差 五 离散系统的稳定性与稳态误差 25 78 解 系统的误差脉冲传递函数因