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1、 一元二次方程应用题 一 几何与方程 5 x x x x 8 2x 5 2x 8 例1 一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图 它的长为8cm 宽为5cm 如果镜框中央长方形图案的面积为18cm2 则花边多宽 解 设镜框的宽为xcm 则镜框中央长方形图案的长为cm 宽为cm 得 8 2x 5 2x m2 宽为cm 得 8 2x 5 2x 18 例1 镜框有多宽 一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图 它的长为8cm 宽为5cm 如果镜框中央长方形图案的面积为18cm2 则镜框多宽 解 设镜框的宽为xcm 则镜框中央长方形图案的长为cm 8 2x 5 2x 即2X2 13X 11 0 解得X1
2、1 X2 5 5 不合题意 答 镜框的宽为1m 审 设 答 解 列 例2 如图 一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮 要在它的四角截去四个相等的小正方形 折成一个无盖的长方体水槽 使它的底面积为800平方厘米 求截去正方形的边长 答 截去正方形的边长为10厘米 例3 如图 在长为40米 宽为22米的矩形地面上 修筑两条同样宽的互相垂直的道路 余下的铺上草坪 要使草坪的面积为760平方米 道路的宽应为多少 40米 22米 例4 学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚 为节约经费 一边利用18米长的教学楼后墙 另三边利用总长为35米的铁围栏围成 求自行车棚的长和宽 解 设与教学楼
3、后墙垂直的一条边长为x米 则与教学楼后墙平行的那条边长为 35 2x 米 根据题意 得x 35 2x 150解得当时 35 2x 20 18不合题意 舍去 当x 10时 35 2x 15 符合题意 答 自行车棚的长和宽分别为15米和10米 例5 一直角三角形的斜边长7cm 一条直角边比另一条直角边长1cm 求两条直角边长度 常见的图形有下列几种 1 如图 有长为24米的篱笆 一面利用墙 墙的最大可用长度a为10米 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃 设花圃的宽AB为x米 面积为S米2 1 求S与x的函数关系式 2 如果要围成面积为45米2的花圃 AB的长是多少米 解析 1 设宽AB为x米 则BC
4、为 24 3x 米 这时面积S x 24 3x 3x2 24x 2 由条件 3x2 24x 45化为 x2 8x 15 0解得x1 5 x2 3 0 24 3x 10得14 3 x 8 x2不合题意 AB 5 即花圃的宽AB为5米 2 如图 用长为18m的篱笆 虚线部分 两面靠墙围成矩形的苗圃 要围成苗圃的面积为81m2 应该怎么设计 解 设苗圃的一边长为xm 则 化简得 答 应围成一个边长为9米的正方形 列一元二次方程解应题 小结 解决这类问题的关键是掌握常见几何图形的面积体积公式 并能熟练计算由基本图形构成的组合图形的面积 一元二次方程应用题 二 增长率与方程 例1 甲公司前年缴税40万元
5、 今年缴税48 4万元 该公司缴税的年平均增长率为多少 2 某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19 那么平均每年需降低百分之几 3 某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同 已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台 6月份比5月份多生产了12000台 求该厂今年产量的月平均增长率为多少 4 某厂今年一月的总产量为500吨 三月的总产量为720吨 平均每月增长率是x 列方程 A 500 1 2x 720B 500 1 x 2 720C 500 1 x2 720D 720 1 x 2 5005 某校去年对实验器材的投资为2万元 预计今明两年的投资总额为8万元 若设该校今明两年在实验器
6、材投资上的平均增长率是x 则可列方程为 B 6 小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行 到期后取出50元用来购买学习用品剩下的450元连同应得的税后利息又全部按一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变 且到期后可得税后本息约461元 那么这种存款的年利率大约是多少 精确到0 01 一元二次方程应用题 三 数字与方程 1 两个数的差等于4 积等于45 求这两个数 2 一个两位数 它的十位数字比个位数字小3 而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数 求这个两位数 3 有一个两位数 它的十位数字与个位数字的和是5 把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数 两个两位数的积为736
7、 求原来的两位数 4 三个连续偶数 已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大332 求这三个连续偶数 3 十位数字为a 个位数字为b的两位数是10a b 4 百位数字为a 十位数字为b 个位数字为c的三位数是100a 10b c 1 偶数个连续偶数 或奇数 一般可设中间两个为 x 1 和 x 1 2 奇数个连续偶数 或奇数 自然数 一般可设中间一个为x 如三个连续偶数 可设中间一个偶数为x 则其余两个偶数分别为 x 2 和 x 2 又如三个连续自然数 可设中间一个自然数为x 则其余两个自然数分别为 x 1 和 x 1 一元二次方程应用题 四 传染 握手 比赛送礼问题 例1 有一人患了流感
8、 经过两轮传染后共有121人患了流感 每轮传染中平均一个人传染了几个人 分析 1 第一轮传染后 1 x 第二轮传染后 1 x x 1 x 解 设每轮传染中平均一个人传染了x个人 1 x x 1 x 121 解方程 得 答 平均一个人传染了 个人 10 12 不合题意 舍去 10 如果按照这样的传染速度 三轮传染后有多少人患流感 121 121 10 1331人 练习 1 某种植物的主干长出若干数目的支干 每个支干又长出同样数目的小分支 主干 支干和小分支的总数是91 每个支干长出多少小分支 主干 支干 支干 小分支 小分支 小分支 小分支 x x x 1 解 设每个支干长出x个小分支 则1 x
9、 x x 91 即 解得 x1 9 x2 10 不合题意 舍去 答 每个支干长出9个小分支 例1 一次会议上 每两个参加会议的人都互相握了一次手 有人统计一共握了66次手 这次会议到会的人数是多少 2 要组织一场篮球联赛 赛制为单循环形式 即每两队之间都赛一场 计划安排15场比赛 应邀请多少个球队参加比赛 3 要组织一场篮球联赛 每两队之间都赛2场 计划安排90场比赛 应邀请多少个球队参加比赛 4 参加一次聚会的每两人都握了一次手 所有人共握手10次 有多少人参加聚会 一元二次方程应用题 五 例 某果园有100棵桃树 一棵桃树平均结1000个桃子 现准备多种一些桃树以提高产量 试验发现 每多种
10、一棵桃树 每棵棵桃树的产量就会减少2个 如果要使产量增加15 2 那么应种多少棵桃树 1 某商场销售一批名牌衬衫 现在平均每天能售出20件 每件盈利40元 为了尽快减少库存 商场决定采取降价措施 经调查发现 如果这种衬衫的售价每降低1元时 平均每天能多售出2件 商场要想平均每天盈利1200元 每件衬衫应降价多少元 2 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品 若每件商品售价为x元 则每天可卖出 350 10 x 件 但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20 商店要想每天赚400元 需要卖出多少年来件商品 每件商品的售价应为多少元 例 新华商场销售某种冰箱 每台进货价为2500元 调查发现
11、当销售价为2900元时 平均每天能售出8台 而当销售价每降低50元时 平均每天就能多售出4台 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元 每台冰箱的定价应为多少元 思考 本题若设定价为x元 应怎么列方程 一元二次方程应用题 六 例 某汽车在公路上行驶 它的路程s m 和时间t s 之间的关系为 s 10t 3t2 那么行驶200m需要多长时间 二 有关 动点 的面积问题 1 关键 以静代动把动的点进行转换 变为线段的长度 2 方法 时间变路程求 动点的运动时间 可以转化为求 动点的运动路程 也是求线段的长度 由此 学会把动点的问题转化为静点的问题 是解这类问题的关键 3 常找的数量关系
12、 面积 勾股定理 例1 在矩形ABCD中 AB 6cm BC 12cm 点P从点A开始以1cm s的速度沿AB边向点B移动 点Q从点B开始以2cm s的速度沿BC边向点C移动 如果P Q分别从A B同时出发 几秒后 PBQ的面积等于8cm2 解 设x秒后 PBQ的面积等于8cm2根据题意 得整理 得解这个方程 得 所以2秒或4秒后 PBQ的面积等于8cm2 例2 等腰直角 ABC中 AB BC 8cm 动点P从A点出发 沿AB向B移动 通过点P引平行于BC AC的直线与AC BC分别交于R Q 当AP等于多少厘米时 平行四边形PQCR的面积等于16cm2 回味无穷 列方程解应用题的一般步骤是 1 审 审清题意 已知什么 求什么 已 未知之间有什么关系 2 设 设未知数 语句要完整 有单位 同一 的要注明单位 3 列 列代数式 列方程 4 解 解所列的方程 5 验 是否是所列方程的根 是否符合题意 6 答 答案也必需是完事的语句 注明单位且要贴近生活 列方程解应用题的关键是 找出相等关系 关于两次平均增长 降低 率问题的一般关系 a 1 x 2 A 其中a表示基数 x表表示增长 或降低 率 A表示新数
