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1、回归分析法培训教材 龍元2014 01 18 回归分析从各种事物之间的因果关系出发 通过对与研究对象有联系的事物与现象的变化趋势进行分析 在此基础上预测研究对象未来数量状态的一种方法 回归分析的主要内容是 1 从一组数据出发 确定这些变量 参数 间的定量关系 回归模型 2 对模型的可信度进行统计检验 3 从有关的许多变量中 判断变量的显著性 即哪些是显著的 哪些不是 显著的保留 不显著的忽略 4 应用结果是对实际问题作出的判断 回归分析概述 回归分析概述 回归分析的类型 1 按模型中自变量数划分 一元线性回归模型和多元线性回归模型 2 按模型中变量关系划分 线性回归模型和非线性回归模型 3 按
2、模型中有无虚拟变量划分 普通回归模型和虚拟变量回归模型 4 按自变量与时间关系划分 与时间无关的相关关系 相对时间的滞后性的相关关系 时间序列关系 回归分析法的应用步骤 1 根据对客观现象的定性认识确定变量之间是否存在相关关系 2 判断相关关系的大致类型 3 绘制散点图 并初步推测回归模型 4 进行回归分析并拟合出回归模型 5 对回归模型的可信度进行检验 6 运用模型进行预测 回归分析概述 一元线性回归模型式中 yi 第i组的预测目标 称为因变量 yi的估计值 xi 第i组可以控制或预先给定的影响因素 称为自变量 a b 回归模型参数 即a表示截距 b表示斜率 ei 第i组随机误差项 呈正态分
3、布 一元线性回归分析法 确定模型参数 最小二乘法 1 求离差平方和 2 由微积分的极值原理 分别对a和b求一阶偏导数 并令其等于零 一元线性回归分析法 3 求解出回归参数a和b 一元线性回归分析法 一元线性回归分析法 回归检验1 R检验 即相关系数的显著性检验 检验规则 当 R 1 表示x和y完全相关 当0 R 1 表示x和y完全相关 当 R 0 表示x和y不相关 一元线性回归分析法 回归检验2 T检验T检验的一般步骤如下 计算T值 对于给定的显著水平a 查自由度为n 2的T分布的临界值表 得临界值 比较T值与值的大小 如果则认为线性回归显著 一元回归模型成立 否则认为线性回归不显著 一元回归
4、模型不成立 一元线性回归分析法 回归检验3 F检验F检验的一般步骤如下 计算F值 对于给定的显著水平a 查自由度为1 n 2的F分布的临界值表 得临界值 比较T值与值的大小 如果则认为线性回归显著 一元回归模型成立 否则认为线性回归不显著 一元回归模型不成立 一元线性回归分析法 实例5 1已知某汽车的2002 2008年的年销售额如表5 1所示 试用一元线性回归法预测2010年和2012年的销售额 一元线性回归分析法 画散点图分析得知变量之间存在相关关系 并据此选择一元线性回归模型 一元线性回归分析法 计算一元线性回归的相关数据如表5 2所示 一元线性回归分析法 计算出参数a b 得出一元线性
5、回归模型 求出相关系数R为0 961 说明x与y有很强的正相关关系 F检验 给定显著水平 0 05 查F分布表F0 05 1 5 6 61 则F F0 05 1 5 所以 建立一元线性回归模型成立 计算预测值 多元线性回归模型式中 yi 第i组的预测目标 称为因变量 yi的估计值 xi 第i组可以控制或预先给定的影响因素 称为自变量 b0 bi 回归模型参数 即b0表示回归常数 bi表示回归系数 ei 回归余项 实际观测值与回归估计值之间的离差 呈正态分布 多元线性回归分析法 确定模型参数 最小二乘法 1 求离差平方和 2 由微积分的极值原理 分别对b0 b1 b2 bi 求一阶偏导数 并令其
6、等于零 然后求解含有k 1个未知参数的线性方程组得出参数估计值 多元线性回归分析法 多元线性回归分析法 回归检验1 R检验检验规则 复相关系数检验根据给定的显著性水平查出相关系数的临界值 然后与复相关系数进行比较 以判断回归方程的有效性 多元线性回归分析法 回归检验2 T检验T检验的一般步骤如下 计算T值 对于给定的显著水平a 查自由度为n k 1的T分布的临界值表 得临界值 比较ti值与值的大小 如果 ti ta 则认为认为回归系数bi与0有显著差异 相应的自变量xi必须保留在回归方程中 否则相应的自变量xi必须从回归方程中删除 多元线性回归分析法 回归检验3 F检验F检验的一般步骤如下 计
7、算F值 对于给定的显著水平a 查自由度为k n k 1的F分布的临界值表 得临界值 比较F值与值的大小 如果则认为线性回归显著 多元线性回归模型成立 否则认为线性回归不显著 多元线性回归模型不成立 多元线性回归分析法 实例5 2某地区的蔬菜消费量与许多因素有关 如与该地区的人口数 可支配收入 蔬菜价格 副食年人均消费量等有关 经分析决定保留人口数 蔬菜价格和副食年人均消费量三个因素 对蔬菜未来三年的消费量进行预测 明确预测目的 即预测要解决什么问题 包括弄清预测对象及可以定量描述它的指标 在本例中 预测对象是某地区的蔬菜需求量 选择合适的自变量 根据对相关自变量 即对销售量影响的因素 的显著性
8、影响的评价 确定三个自变量 人口数 蔬菜年平均价格 副食品年人均消费量 根据相关判断建立三元线性回归模型 并计算三元线性回归模型的相关数据 填入表5 4中 建立三元线性回归方程 多元线性回归分析法 多元线性回归分析法 回归检验 1 R检验 相关系数计算如表5 5所示 将相关数据代入R中 相关系数R为0 9323 表明自变量与因变量之间高度正相关 三元线性回归方程可以用于对蔬菜未来的需求量进行预测 多元线性回归分析法 2 F检验 回归方程显著性检验 若以显著性水平a 0 05 查自由度为3 6的F分布临界值表 得临界值Fa 4 76 因为F Fa 所以F检验通过 确定预测值 若根据科学方法测算
9、2009年时消费人口达到570万 蔬菜年平均价格为14 5角 副食年人均消费量为52 5千克 那么2009年的蔬菜消费量可以预测为 多元线性回归分析法 多元线性回归分析法 非线性回归分析法 非线性回归模型 1 双曲线回归模型 2 对数曲线回归模 非线性回归分析法 非线性回归模型 3 指数曲线回归模型有时 参数b也可以写成自然数e为底的指数形式 即 4 对数曲线回归模型 非线性回归分析法 模型变换与参数估计 非线性回归分析法 实例5 3某企业1999年 2008年的商品零售额和商品流通费用水平yi如表5 8所示 试根据表中的资料 拟合适当的回归分析模型分析商品零售额和商品流通费用水平关系 在对未
10、来几年零售额预测的基础上预测相应的商品流通水平 非线性回归分析法 绘制散点图 并据其分析两者都呈双曲线规律变化 因此 建立双曲线模型 对双曲线模型进行线性变换 得一元线性回归模型 yi a bxi 非线性回归分析法 模型参数估计 将双曲线模型变换后的模型 可以像前面的一元线性回归模型采用最小二乘法对模型参数进行估计 得回归模型为 y 1 321 135 163x 将其转换后代回得预测模型 非线性回归分析法 回归检验 R检验 相关系数为0 98 说明本问题中研究的商品流通费用水平与商品零售额之间存在高度相关关系 用双曲线回归模型来描述它们之间的关系是恰当的 非线性回归分析法 据此 可以在对2009年 2018年的经济预测基础上预测出相应的商品流通费用水平如表5 9 本章小结 回归分析法主要用于研究事物之间不确定的因果关系 通过分析事物的变化趋势 据此对事物的未来状况作出预测 从不同的角度划分 其类型主要有 一元线性回归分析法 多元线性回归分析法和非线性回归分析法 在利用回归分析法解决问题时 先要根据变量的个数和变量之间的关系 选择合适的回归模型并建立回归模型 在建立模型之后 还要进行回归检验 以确保所选择模型的有效性和科学性
