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1、连云港市四星高中2020届高三下学期联合模拟考试高三数学模拟试题命题单位： 江苏省连云港市老六所四星高中江苏省海州高中 江苏省赣榆高中 江苏省海头中学 江苏省东海高中 江苏省新海高中 江苏省灌云高中一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 已知集合,则集合中元素的个数为 （第4题图）T 1i 1While T10TTiii2End WhilePrint i2. 复数，则 3. 已知一组数据4,6,5,8,6,7,那么该组数据的方差为 4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为 5. 的定义域为 6从长度分别为的四条线段中，任取
2、三条的不同取法共有n 种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则等于 7若双曲线的一条渐近线方程为，则 8已知是等差数列的前项和，若，则 9. 若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是 10. 已知等边三角形ABC的边长为，D为BC边的中点，沿AD将ABC折成直二面角BADC，则三棱锥ADCB的外接球的表面积为 11. 若，是方程的两个根，则 12. 设为正实数，则的最小值为 13. 已知点，均位于同一单位圆上，且，若，则的取值范围为 14. 已知函数，若有两个零点，则的取值范围 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明
3、、证明过程或演算步骤）15.(本题满分14分） 设函数（1）当时，求的值域；（2）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求 面积的最大值.16. (本题满分14分） 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD BC，G为PA上一点（1）求证：平面PCD平面ABCD；（2）若PC平面BDG，求证：G为PA的中点( 第16题 )CBPGDA 17. (本题满分14分） 如图，在宽为14m的路边安装路灯，灯柱OA高为8m，灯杆PA是半径为r m的圆的一段劣弧路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10m，到灯柱所在直线的距离为2m设Q为灯罩轴线与路面的交点，圆心C在线段PQ上（1）
4、当r为何值时，点Q恰好在路面中线上?（2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段OQ上，求HQ的最大值18. (本题满分16分） 如图，椭圆C1：（）和圆C2：，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B（1）求椭圆C1的方程；（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M. 求证：直线MP经过一定点； 试问：是否存在以(m，0)为圆心，为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出实数m的范围；若不存在，请说明理由（第18题图）xyOABEMP19.
5、(本题满分16分） 已知函数（a，）.（1）若，且在内有且只有一个零点，求a的值；（2）若，且有三个不同零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；（3）若，试讨论是否存在，使得.20. (本题满分16分） 设数列（任意项都不为零）的前项和为，首项为，对于任意，满足.（1）数列的通项公式；（2）是否存在使得成等比数列，且成等差数列？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列，若由的前项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数的最大值.来源:Zxxk.Com连云港市四星高中2020届高三下学期联合模拟考试高三数学模拟试题（附加题）21A. 已
6、知矩阵，向量.（1）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；（2）求.21B已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是: （是参数）.（1）若直线与曲线相交于、两点，且，试求实数值.（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.21C已知a2，xR.求证：|x1a|xa|3.2 2 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）若点是棱上一点，且，求的值2 3棋盘上标有第0、1、2、100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出
7、一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n站的概率为Pn.（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋手所走步数之和X的分布列与数学期望；（2）证明：；（3）求、的值.连云港市四星高中2020届高三下学期联合模拟考试高三数学模拟试题参考答案1.4； 2.1; 3.略 4.7; 5.； 6. ；7. ；8.； 9.或；10.；11. ；12.；13.；14.15. 解：（1）因为所以即，所以的值域为；（2）由，得，又，在中，由余弦定理，得，把，代入得：，当且仅当时取等号，的面积，则面积的最大值为16. （1）底面为矩形，又，平面，又，平面平面；（
8、2）连接，交于，连接，平面，平面平面，底面为矩形，是的中点，即，为的中点.17. （1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，8），P（2，10），Q（7，0），直线PQ的方程为2x+y140设C（a，b），则，两式相减得：a+b100，又2a+b140，解得a4，b6，当时，点Q恰好在路面中线上（2）由（1）知a+b100，来源:Z_xx_k.Com当a2时，灯罩轴线所在直线方程为x2，此时HQ0当a2时，灯罩轴线所在方程为：y10（x2），令y0可得x12，即Q（12，0），H在线段OQ上，12a，解得2a10|HQ|12a12（+a）1212，当且仅当a即a时取等
9、号|HQ|的最大值为（12）m【点睛】本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题18. ）依题意，则，又，则，椭圆方程为（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，由得或，用去代，得，方法1：，：，即，直线经过定点方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，当时，此时直线经过轴上的点，、三点共线，即直线经过点，综上所述，直线经过定点由得或，则直线：，设，则，直线：，直线：，假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，则由（）得对恒成立，则，由（）得，对恒成立，当时，不合题意；当时，得，
10、即，存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，所有的取值集合为解法二：圆，由上知过定点，故；又直线过原点，故，从而得考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.椭圆的标准方程19. （1）若，则，若，则在，则，则在上单调递增，又，故在上无零点，舍；若，令，得，在上，在上单调递减，在上，在上单调递增，故，若，则，在上无零点，舍；若，则，在上恰有一零点，此时；若，则，则在和上有各有一个零点，舍；故a的值为.（2）因为，则，若有三个不同零点，且成等差数列，可设，故，则，故，.此时，故存在三个不同的零点. 故符合题意的a的值为.（3）若，若存在，使得，必须在上有解.，方程的两根为：，只能是，依题意，即
11、，即，又由，得，故欲使满足题意的存在，则，当时，存在唯一的满足，当时，不存在使.【点睛】本题考查了函数的零点问题，解方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.（1）数列是非零数列，.当时，；当且时，是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公差为的等差数列，.（2）设存在，满足题意，来源:Z*xx*k.Com成等比数列，；成等差数列，消去可得：，解得：，.（3）若是单调递增数列，则为偶数时，恒成立，两边取自然对数化简可得：，显然，设，则，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，当时，是递减数列，又，是的最大值，；设，则，是递减数列，当时，当时，当时，存在，使得恒成立；当时
12、，不成立，至多前项是递增数列，即正整数的最大值是.【点睛】本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难题.21A.（1）矩阵的特征多项式为，令，可求得特征值为，设对应的一个特征向量为，则由，得，可令，则，所以矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为，同理可得矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为（2）来源:学科网, 所以【点睛】本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生
13、对这些知识的理解掌握水平21B 解：曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为：，直线的直角坐标方程为：.圆心到直线的距离（弦心距）,圆心到直线的距离为 ：,或.曲线的方程可化为，其参数方程为： （为参数）为曲线上任意一点， 的取值范围是.【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.22试题解析：（1）以点为原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，故，与所成角的余弦值为（2）解：设，则，即，又，即，故， 考点：空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用.23.（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、.，.所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，随机变量的数学期望为；来源:学科网ZXXK（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，其概率为 ，也可以由第站跳站得到，其概率为，所以，.等式两边同时减去得；（3）由（2）可得，.由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，又，则，由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.【点睛】本题考查
