2010年华约自招——数学

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1、2010 年华约自招 数学2010 年华约自招 数学 即 2010 年五校合作自主选拔通用基础测试 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 3 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 设复数其中为实数 若的实部为 2 则的虚部为 2 1 ai w i aww A B C D 3 2 1 2 1 2 3 2 2 设向量满足则的最小值为 ab 1aba bm atb t R A 2B C D 2 1m 1 2 1m 3 如果平面直线点满足 mn AB 且与所成的角为与mnAB AB 4

2、 mABn 所成的角为那么与所成角的大小为 AB 3 mn A B C D 3 4 6 8 4 在四棱锥中 分别为侧棱的中点 则四面体的VABCD 11 BD VBVD 11 ABCD 体积与四棱锥的体积之比为 VABCD A B C D 1 61 51 41 3 5 在中 三边长满足则的值为 ABC abc 3acb tantan 22 AC A B C D 1 5 1 4 1 2 2 3 6 如图的两条高线交于其外接圆圆心为ABC ADBE H 过作垂直于与相交于则O OOFBCF OHAFG 与面积之比为 OFG GAH A B C D 1 41 32 51 2 7 设过点且平行于轴的直

3、线与曲线 0 ax f xea 0P a y 的交点为曲线过点的切线交轴于点则的面积 C yf x Q CQxR PQR 的最小值是 A 1B C D 2 2 e 2 e 2 4 e 8 设双曲线椭圆若的短轴长与 22 1 2 20 4 xy Ck ak a 22 2 2 1 4 xy C a 2 C 的实轴长的比值等于的离心率 则在的一条准线上截得线段的长为 1 C 2 C 1 C 2 C FD B C O G H E A A B C D 42 2k 24 1k 9 欲将正六边形的各边和各条对角线都染为种颜色之一 使得以正六边形的任何n 3 个顶点作为顶点的三角形有 3 种不同颜色的边 并且

4、不同的三角形使用不同的 3 色组合 则的最小值为 n A 6B 7C 8D 9 10 设定点是以点为中心的正四面体的顶点 用表示空间以直线ABCD o 为轴满足条件的旋转 用表示空间关于所在平面的镜面反射 OA BC OCD 设 为过中点与中点的直线 用表示空间以 为轴的 180 旋转 设lABCD l 表示变换的复合 先作 再作 则可以表示为 A B C D 二 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 二 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 11 本题满分 14 分 在中 已知外接圆半径 ABC 2 2sincos21 2 AB C 2R 求角的大小 C 求面积的最大值

5、ABC 12 本题满分 14 分 设为抛物线上不同的四点 关于该抛物线的对称轴对ABCD 2 4xy AD 称 平行于该抛物线在点处的切线 设到直线直线的距离分BCDlDAB AC 别为已知 12 dd 12 2ddAD 判断是锐角三角形 直角三角形 钝角三角形中的哪一种三角形 并说ABC 明理由 若的面积为 240 求点的坐标及直线的方程 ABC ABC 13 本小题满分 14 分 正四棱锥的体积求正四棱锥的表面积的最小值 2 3 V 一般地 设正棱锥的体积为定值 试给出不依赖于的一个充分必要条件 nVn 使得正棱锥的表面积取得最小值 n 14 本小题满分 14 分 假定亲本总体中三种基因型式 的比例为AAAaaa 2 0002uv w uvwuv 且数量充分多 参与交配的亲本是该总体中随机的两个 1 w 求子一代中 三种基因型式的比例 子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗 并说 明理由 15 本小题满分 14 分 设函数且存在函数 1 xm f x x 1 0 2 statb ta 满足 2121ts f ts 证明 存在函数满足 0tscsd s 2121st f st 设证明 11 312 nn xxf xn 1 1 2 3 n n x