2012年华约自招——数学

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1、2012 年华约自招 数学2012 年华约自招 数学 即 2012 年高水平自主选拔学业能力测试 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 3 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 3 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 在锐角中 已知 则的取值范围为 ABC ABC cosB A B C D 2 0 2 12 22 0 1 2 1 2 2 红蓝两色车 马 炮棋子各一枚 将这 6 枚棋子排成一列 其中每对同字的棋子 中 均为红旗子在前 蓝棋子在后 满足这种情况的不同条件的不同排列方式共 有 A 36 种B

2、60 种C 90 种D 120 种 3 正四棱锥中 侧棱与底面所成角为 侧面与底面所成二面角为 SABCD 侧棱与地面正方形的对角线所成角为 相邻两侧面所成二面角为 SBABCDAC 则 之间的大小关系是 A B C D 4 向量 若 则 ae 1e tR ateae A B ae aae C D eae aeae 5 若复数的实部为 0 是复平面上对应的点 则点的轨迹是 1 1 Z 1 1 Z x y A 一条直线B 一条线段C 一个圆D 一段圆弧 6 椭圆长轴为 4 左顶点在圆上 左准线为轴 则此椭圆离心 22 4 1 4xy y 率的取值范围是 A B C D 1 1 8 4 1 1 4

3、 2 1 1 8 2 1 3 2 4 G H E D C B A 7 已知三棱锥的底面为正三角形 点在侧面上的射影是 SABC ABC A SBC H 的垂心 二面角为 且 则此三棱锥的体积为 SBC HABC o 302SA A B C D 1 2 3 2 3 4 3 4 8 如图 在锐角中 边上的高于边上的 ABC AB CEAC 高交于点 以为直径作圆与的另一个交点BDHDE AC 为 已知 则的边长为 G25BC 20BD 7BE AG A 8 B C 10 D 42 5 54 5 9 已知数列的通项公式为 n a 2 2 lg 1 3 n a nn 是数列的前项和 则 1n 2 n

4、S nlim n n S A 0B C D 3 lg 2 lg2lg3 10 已知 当取得最大值时 在 610 i x 1 2 10 i 10 1 50 i i x 10 2 1 i i x 1 x 这是个数种等于的数共有 2 x 10 x 6 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 二 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 二 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 11 本小题满分 14 分 在中 的对边分别为 已知 ABC AB Cabc 2 2sin1cos2 2 AB C 1 求的大小C 2 若 求的值 222 22cba cos2cos2AB 12 本小题满分

5、14 分 已知两点 动点在轴上的射影是 2 0 A 2 0 B P y H 且 2 2 PA PBPH A 1 求动点的轨迹的方程 P C 2 已知过点的直线交曲线于轴下方不同的两点 设的中 B Cx M NMN 点为 过与点作直线 求直线斜率的取值范围 RR 0 2 Q RQRQ 13 本小题满分 14 分 系统中每个元素正常工作的概率都是 各元件 01 pp 正常工作的事件相互独立 如果系统中有多于一半的元件正常工作 系统就能给 你正常工作 系统正常工作的概率称为系统的可靠性 1 某系统配置有个元件 为正整数 求该系统正常工作概率的表达 21k k 式 2 现为改善 1 中系统的性能 拟增加两个元件 试讨论增加两个元件后 能否提高系统的可靠性 14 本小题满分 14 分 记函数 证明 当 2 1 2 n n xx fxx n 1 2n 是偶数时 方程没有实根 当是奇数时 方程有唯一的实n 0 n fx n 0 n fx 根 且 n 2nn 15 本小题满分 14 分某兵乓球培训班共有位学员 在班内双打训练赛期间 每两n 名学员都做为搭档恰好参加过一场双打比赛 试确定的所有可能值并分别给出n 对应的一种安排比赛的方案