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1、课 题：2.9.3函数应用举例3教学目的： 1使学生适应各学科的横向联系.2.能够建立一些物理问题的数学模型.3.培养学生分析问题、解决问题的能力.教学重点：数学建模的方法教学难点：如何把实际问题抽象为数学问题.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程： 一、复习引入：上一节课，我们主要学习了有关增长率的数学模型，这种模型在有关产量、产值、粮食、人口等等增长问题常被用到.这一节，我们学习有关物理问题的数学模型二、新授内容：例1（课本第86页 例2）设海拔 x m处的大气压强是 y Pa，y与 x 之间的函数关系式是 ，其中 c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为
2、Pa，1000 m高空的大气压为Pa，求：600 m高空的大气压强（结果保留3个有效数字）解：将 x = 0 , y =；x = 1000 , y =， 代入 得： 将 (1) 代入 (2) 得： 计算得： 将 x = 600 代入, 得： 计算得：0.943105(Pa)答：在600 m高空的大气压约为0.943105Pa.说明：（1）此题利用数学模型解决物理问题；（2）需由已知条件先确定函数式；（3）此题实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题；（4）此题要求学生能借助计算器进行比较复杂的运算.例2在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到, 共n个数据，我们规
3、定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小.依次规定，从, 推出的a=_.(1994年全国高考试题)分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值问题.解：由题意可知，所求a应使y=(a-)+(a-)+(a-) 最小由于y=na-2(+)a+(+)若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.因为n0,二次函数f(a)图象开口方向向上.当a= (+)，y有最小值.所以a= (+)即为所求.说明：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景
4、，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即y=(a-)+(a-)+(a-)，然后运用函数的思想、方法去解决问题，解题关键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用.例3某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=,其中，是正的常数.（1）说明函数是增函数还是减函数；（2）把t表示成原子数N的函数；（3）求当N=时，t的值.解：（1）由于0,0，函数N=是属于指数函数y=类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减少（2）将N=写成=根据对数的定义有-t=ln所以t=- (lnN-ln)= (ln-ln
5、N) (3)把N=代入t= (ln-lnN)得t= (ln-ln)= (ln-ln+ln2)= ln2.三、练习：1如图，已知O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP设AP=x写出AP+2PM关于x的函数关系式 求此函数的最值解：过P作PDAB于D，连PB 设AD=a则 当时 当时2距离船只A的正北方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿北偏西60角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相 距最近？解：设t小时后A行驶到点C，B行驶到点D，则BD=20 BC=100-15t过D作DE
6、BC于E DE=BDsin60=10t BE=BDcos60=10tEC=BC+BE=100-5t CD=t=时CD最小，最小值为200，即两船行驶小时相距最近3一根均匀的轻质弹簧，已知在600N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100N的拉力作用下，长度为0.55m,在300N拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？解：设拉力是 x N (0x600) 时，弹簧的长度为 y m 设：y = k x + b 由题设： 所求函数关系是：y = 0.0005 x + 0.50 当 x = 0时，y = 0.50 , 即不受拉力作用时，弹簧自然长
7、度为 0.50 m四、小结 ：通过本节学习，进一步熟悉数学建模的方法，能运用数学模型解决一定的关于物理的实际问题，提高解决数学应用题的应变能力.五、课后作业：要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600m如果某段铁路两端相距156m，弧所对的圆心角小于180o,试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围分析：以弓形的高x为自变量，半径R为孙函数，求出R关于x的函数关系式 解：如图，设圆弧的半径OA=OB=Rm,圆弧弓形的高CD=xm,在RtBOD中，DB=78，OD=R-xAOBCD则依题意 R600 即 600 0 解得 5.1 或 1194.9(不合题意) 答：圆弧弓形的高的允许值范围是（0，5.1）. 六、板书设计（略）七、课后记：4用心 爱心 专心
