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1、高三数学（理）一轮复习 教案 第九编 解析几何 总第48期9.6 椭圆基础自测1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 .答案 2.若椭圆=1的离心率为，则实数m= .答案 或3.已知ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 .答案 44.已知方程+=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为 .答案 (-,-1)5.(2008天津文)设椭圆+=1(m0,n0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 . 答案 =1例题精讲 例1 一动圆与已知圆O1：(x+3）2+y2=1外切，与圆O
2、2：(x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.解 两定圆的圆心和半径分别为O1（-3，0），r1=1； O2（3，0），r2=9.设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.|MO1|+|MO2|=10.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3.b2=a2-c2=25-9=16，故动圆圆心的轨迹方程为=1.例2（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0），求椭圆的方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1）、P2（-，-），求椭圆的方程.解 （1）若焦点
3、在x轴上，设方程为=1 (ab0).椭圆过P（3，0），=1.又2a=32b,a=3,b=1,方程为.若焦点在y轴上，设方程为=1(ab0).椭圆过点P（3，0），=1，又2a=32b,a=9,b=3.方程为=1. 所求椭圆的方程为或=1.（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0且mn).椭圆经过P1、P2点，P1、P2点坐标适合椭圆方程，则 、两式联立，解得所求椭圆方程为.例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=60.（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.（1）解 设椭圆方程为=1 （ab0）, |PF1|=m,|PF2
4、|=n.在PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2=m2+n2-2mncos60.m+n=2a，m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，4c2=4a2-3mn.即3mn=4a2-4c2.又mn=a2（当且仅当m=n时取等号）,4a2-4c23a2，即e.e的取值范围是.（2）证明 由（1）知mn=b2,=mnsin60=b2,即PF1F2的面积只与短轴长有关.例4 如图所示，已知A、B、C是椭圆E：=1（ab0)上的三点，其中点 A的坐标为（2，0）,BC过椭圆的中心O，且ACBC，|BC|=2|AC|.（1）求点C的坐标及椭圆E的方程；（2）若椭圆E上存在两点P、Q，使得PCQ的平分
5、线总是垂直于x轴，试判断向量与是否共线，并给出证明.解 （1）|BC|=2|AC|，且BC经过O（0，0）,|OC|=|AC|.又A（2，0），ACB=90,C（，）,a=2，将a=2及C点坐标代入椭圆方程得=1,b2=4,椭圆E的方程为:=1.（2）对于椭圆上两点P、Q，PCQ的平分线总垂直于x轴，PC与CQ所在直线关于直线x=对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，直线PC的方程为y-=k(x-),即y=k(x-)+. 直线CQ的方程为y=-k(x-)+, 将代入=1,得(1+3k2)x2+6k(1-k)x+9k2-18k-3=0,C(,)在椭圆上，x=是方程的一个根.xP=，
6、xP=，同理可得,xQ=,kPQ=.C（，），B（-，-），又A（2，0），kAB=，kAB=kPQ，向量与向量共线.巩固练习 1.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|=1，则|MF1|的长等于 .答案 62.根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（2）经过两点A（0，2）和B.解 （1）设椭圆的标准方程是=1或=1，则由题意知2a=|PF1|+|PF2|=2，a=.在方程=1中令x=c得|y|=在方程=1中令y=c得|x|=依题意并结合图形知=
7、.b2=.即椭圆的标准方程为=1或=1.（2）设经过两点A（0，2），B的椭圆标准方程为mx2+ny2=1，代入A、B得，所求椭圆方程为.3.（2008江苏，12）在平面直角坐标系中，椭圆(ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率e= .答案 4.在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.解 （1）由已知条件知直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方
8、程得+(kx+)2=1.整理得+2kx+1=0直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于=8k2-4=4k2-20,解得k-或k.即k的取值范围为(-,- )(,+).（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则+=（x1+x2，y1+y2），由方程得x1+x2=-又y1+y2=k(x1+x2)+2而A（，0），B（0，1），=（-，1）.所以+与共线等价于x1+x2=-(y1+y2)，将代入上式，解得k=.由（1）知k-或k,故没有符合题意的常数k.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是 .答案 =1或=12.若椭圆的对称轴在坐标轴
9、上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为 .答案 或3.若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，5），直线y=3x-2与它相交所得的中点横坐标为，则这个椭圆的方程为 .答案 4.椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的 倍.答案 75.已知椭圆(a5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则ABF2的周长为 .答案 46.已知以F1（-2,0），F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 .答案 27.经过椭圆+y2=1
10、的一个焦点作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A、B两点，设O为坐标原点，则等于 .答案 -8.（2008全国理，15）在ABC中，AB=BC，cosB=-，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= .答案 二、解答题9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点坐标分别为（-4，0）和（4，0），且椭圆经过点（5，0）；（2）焦点在y轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0）；（3）经过P（-2，1），Q（，-2）两点.解 （1）由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为=1(ab0).2a=10,a=5.又c=4,b2=a2-c2=25-16=9.故所求椭圆的方程为=1.(2)
11、由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为=1 (ab0).由于椭圆经过点（0，2）和（1，0），故所求椭圆的方程为+x2=1.(3)设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1 (m0,n0,mn),点P（-2,1）,Q(,-2)在椭圆上，代入上述方程得解得=1.10.如图所示，点P是椭圆=1上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF2=30,求F1PF2的面积.解 在椭圆=1中， a=,b=2.c= =1.又点P在椭圆上，|PF1|+|PF2|=2a=2.由余弦定理知： |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos30 =|F1F2|2=(2c)2=4.式两边平方得|PF1|2+|PF2|
12、2+2|PF1|PF2|=20，-得（2+）|PF1|PF2|=16，|PF1|PF2|=16（2-），=|PF1|PF2|sin30=8-4.11.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m，0）（m是大于0的常数）.（1）求椭圆的方程；（2）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|=2|，求直线l的斜率.解 （1）设所求椭圆方程是=1（ab0）.由已知，得c=m，=，a=2m，b=m.故所求的椭圆方程是：=1.（2）设Q（xQ，yQ），直线l：y=k（x+m），则点M（0，km），当=2时，由于F（-m，0），M（0，km），（xQ-0，yQ-km）=2（-m-
13、xQ，0-yQ）xQ=-，yQ=.又点Q在椭圆上，所以=1.解得k=2.当=-2时， xQ=-2m，yQ=-km.于是+=1,解得k=0.故直线l的斜率是0，2. 12.已知椭圆=1(ab0)的离心率为，直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上， = +，求椭圆的方程.解 由e=得a2=4b2,椭圆可化为: x2+4y2=4b2.将y=x+1代入上式，消去y并整理得： x2+2x+2-2b2=0.直线y=x+1与椭圆交于A、B两点，=4-4（2-2b2）0,b.设A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x,y),则由= +,得.M在椭圆上，（x1+x2)2+(y1+y2)2=4b2,x1x2+4y1y2=0.x1x2+4=0，即x1x2+(x1+x2)+2=0又由知x1+x2=-2,x1x2=2-2b2,代入中得b2=1,满足b.椭圆方程为+y2=1.308用心 爱心 专心
