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1、2 3灵敏度分析例2 12某工厂用甲 乙两种原料生产A B C D四种产品 每种产品的利润 现有的原料数及每种产品消耗原料定量如表 问题1 怎样组织生产 才能使总利润最大 设生产A B C D产品各X1 X2 X3 X4万件 数学模型为 maxS 9x1 8x2 50 x3 19x43x1 2x2 10 x3 4x4 182x3 1 2 x4 3x1 x2 x3 x4 0 化成标准型maxS 9x1 8x2 50 x3 19x43x1 2x2 10 x3 4x4 x5 182x3 1 2 x4 x6 3x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 初始基B1 P5 P6 第二行除以2 第一行加上第二
2、行的 10 B3 P1 P3 第一行除以3 B3 P1 P3 B4 P2 P3 第一行乘以 3 2 第一行乘以 4 3 B5 P4 P3 第二行减去第一行1 4倍 最优基B5 P4 P3 最优解 0 0 1 2 S 88 B5 P4 P3 在初始表中 最优决策方案 生产C1万件 D2万件 最大利润为88万元 问题2 若A C产品的利润产生波动 波动范围多大 最优基不变 410最优表B5 P4 P3 1 22 对应原松驶变量的位置即为B 1 初始表 最优表 B 1 2 3 10 3 1 64 3 B 1A 24 3012 3 10 3 1 2 1 310 1 64 3 CB C4 C3 19 5
3、0 C 9 8 50 19 0 0 当目标函数的C1 9有波动 设波动为C1 9 a CB CB C 9 a 8 50 19 0 0 得到检验数的变化为 4 a 2 3 0 0 13 3 10 3 4 a 2 3 0 0 13 3 10 3 仅当 4 a4时 即每万件A产品的利润超过13万元时 B已经不是最优基 继续进行最优化 当a 4时 4 a 0 第一行除以2 第二行加上第一行 1 2 重新计算检验数 为了保证B为最优 必须满足6 2a 0 4 a 0 9 a 0 5a 30 0得到4 a 6 当4 a 6时 即每万件A产品的利润在13 15万元之间 得到新的最优基 P1 P3 最优决策方
4、案 1 0 3 2 0 最优利润 84 a 最大利润在88 90之间 当目标函数的C3 50有波动 设波动为C3 50 a CB CB 原最优表如下 当目标函数的C3 50有波动 设波动为C3 50 a CB CB 重新计算检验数如下 为保证最优 满足a 8 0 a 2 0 a 26 0 10 4a 0 得到 5 2 a 2 即产品C的利润在47 5 52万元之间 原最优决策方案不变 最优利润在85 5 90万元之间 同理可以讨论 a2时 只要X2进基变量 问题3 若想增加甲种原料 增加多少时 原最优基不变 当增加甲种原料供应量时 b1发生了变化 设b1 18 a b 18 a 3 2 3 1
5、0 318 a2 2 3 aB 1b 1 64 33 1 1 6 a 解 2 2 3 a 0 1 1 6 a 0得到 3 a 6即15 b1 24原最优基不变 但最优解与目标函数最优值都是a的函数 X 0 0 1 a 6 2 2 3 a S 88 13 3 a 万元 当a 6 a6情形 原问题最优基 2 2 3 a用B 1b 1 1 6 a代替常数项因为a 6 则1 1 6 a 0 原始不可行 但是对偶可行 用对偶单纯形法求解 用对偶单纯形法求解 第二行乘以 3 用对偶单纯形法求解 第一行加上第二行 4 3 当 3 1 2 a 0 即a 6新的最优基 B P4 P2 最优解 0 3 1 2 a
6、 0 6 最大利润 90 4a 万元 问题4 若考虑要生产产品E 且生产1万件E产品要消耗甲原料3公斤 消耗乙原料1公斤 那么 E产品的每万件利润是多少时有利于投产 增加变量 设生产E产品X7万件 每万件利润是C7万元 则模型为 maxS 9x1 8x2 50 x3 19x4 C7x73x1 2x2 10 x3 4x4 x5 3x7 182x3 1 2 x4 x6 x7 3x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 A P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P7 3 1 t原最优解 0 0 1 2 0 0 则X 0 0 1 2 0 0 0 一定是原问题的可行解 但不一定是原问题的最优解
7、若要生产E 在原最优表中增加非基变量X7 其中P7 B 1P7 2 3 10 33 4 3 1 104 315 6相应的检验数 49 3 C7 0时 才有利生产 令C7 17 相应的检验数 2 3 插入原最优表 继续求解 第二行乘以6 5 第一行加上第二行乘以4 3 得到新的最优解 0 0 0 18 5 0 0 6 5 最优值 88 4 5 最优方案生产D产品18 5 万件 E产品6 5 万件 利润达到88 8 万元 问题5 假设该工厂又增加了用电不超过8千瓦的限制 而生产A B C D四种产品各1万件分别消耗电4 3 5 2千瓦 此约束是否改变了原最优决策方案 只需在模型中增加新的约束条件
8、4x1 3x2 5x3 2x4 8标准化后有4x1 3x2 5x3 2x4 x7 8加入模型中 X4 X3 X7是基变量 使增加一行元素 5 2 为零 第三行加上第一行的 2 倍 第三行加上第二行的 5 倍 第三行对偶不可行 第三行乘以 2 第一行加上第三行乘以 2 3 第二行加上第三行乘以 1 6 计算检验数得最优表 增加用电约束后 最优生产方案 生产4 3万件C产品 2 3万件D产品 总利润为79 5万元 2 4对偶解的经济解释如果把线性规划的约束看成广义资源约束 右边项则代表某种资源的可用量 对偶解的经济含义是资源的单位改变量引起目标函数值的改变量 通常称为影子价格 影子价格表明对偶解是
9、对系统内部资源的客观估计 又表明它是一种虚拟的价格而不是真实价格 影子价格的特征 影子价格是对系统资源的最优估计 只有系统达到最优状态时才可能赋与资源这种价值 因此 也称为最优价格 影子价格的特征 影子价格是对系统资源的最优估计 只有系统达到最优状态时才可能赋与资源这种价值 因此 也称为最优价格 影子价格的取值与系统的价值取向有关 并受系统状态变化的影响 系统内部资源数量和价格的变化 它是一种动态的价格体系 影子价格的特征 对偶解 影子价格的大小客观反映了资源在系统内的稀缺程度 如果某资源在系统内供大于求 尽管它有市场价格 但它的影子价格等于零 增加这种资源的供应不会引起系统目标的任何变化 如
10、果某资源是稀缺资源 其影子价格必然大于零 影子价格越高 这种资源在系统中越稀缺 影子价格的特征 影子价格是一种边际价值 它与经济学中边际成本的概念相同 因而在经济管理中有十分重要的价值 企业管理者可以根据资源在企业内部影子价格的大小决定企业的经营策略 例2 13 某企业生产A B二种产品 A产品需要消耗2个单位原料和1个小时人工 B产品需要消耗3个单位原料和2个小时人工 A产品销售价格23元 B产品销售价格40元 该企业每天可利用生产原料25单位和15个人工 每单位原料的采购成本为5元 每小时人工工资为10元 问该企业如何组织生产才能使销售利润最大 解 模型一 目标函数系数直接使用计算好的销售
11、利润 成本数据不直接反映在模型中 maxg 3x1 5x2s t 2x1 3x2 25x1 2x2 15x1 x2 0最优解X 5 5 最优值Z 40对偶解Y 1 1 解 模型二 目标函数系数使用未经过处理的数据 成本数据直接反映在模型中 maxg 23x1 40 x2 5x3 10 x4s t 2x1 3x2 x3 0 x1 2x2 x4 0 x3 25x4 15x1 x2 x3 x4 0 模型二 最优解X 5 5 0 0 最优值Z 40对偶解Y 6 11 1 1 一般来讲 如果模型显性地处理所有资源的成本计算 模型二 则对偶解与影子价格相等 我们按以下原则考虑企业的经营策略 如果某资源的影
12、子价格高于市场价格 表明该资源在系统内有获利能力 应买入该资源 一般来讲 如果模型显性地处理所有资源的成本计算 模型二 则对偶解与影子价格相等 我们按以下原则考虑企业的经营策略 如果某资源的影子价格高于市场价格 表明该资源在系统内有获利能力 应买入该资源 如果某资源的影子价格低于市场价格 表明该资源在系统内无获利能力 应卖出该资源 一般来讲 如果模型显性地处理所有资源的成本计算 模型二 则对偶解与影子价格相等 我们按以下原则考虑企业的经营策略 如果某资源的影子价格高于市场价格 表明该资源在系统内有获利能力 应买入该资源 如果某资源的影子价格低于市场价格 表明该资源在系统内无获利能力 应卖出该资
13、源 如果某资源的影子价格等于市场价格 表明该资源在系统内处于平衡状态 既不用买入 也不必卖出该资源 一般来讲 如果模型隐性地处理所有资源的成本计算 模型一 则影子价格应等于对偶解与资源的成本之和 我们按以下原则考虑企业的经营策略 如果某资源的对偶解大于零 表明该资源在系统内有获利能力 应买入该资源 一般来讲 如果模型隐性地处理所有资源的成本计算 模型一 则影子价格应等于对偶解与资源的成本之和 我们按以下原则考虑企业的经营策略 如果某资源的对偶解大于零 表明该资源在系统内有获利能力 应买入该资源 如果某资源的对偶解小于零 表明该资源在系统内无获利能力 应卖出该资源 一般来讲 如果模型隐性地处理所有资源的成本计算 模型一 则影子价格应等于对偶解与资源的成本之和 我们按以下原则考虑企业的经营策略 如果某资源的对偶解大于零 表明该资源在系统内有获利能力 应买入该资源 如果某资源的对偶解小于零 表明该资源在系统内无获利能力 应卖出该资源 如果某资源的对偶解等于零 表明该资源在系统内处于平衡状态 既不用买入 也不必卖出 谢谢大家
