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1、第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意是点以任何方式趋于;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。习题 811.求下列函数表达式:(1)，求解：(2)，求解：2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形:(1) 解：(2)解：(3) 解：3.求下列极限:(1) 解：(2)解一：解二：(3)(4)解一：解二：(4)解一：解二：4.证明下列函数当时极限不存在:(1)解：(2)解：5.下列函数在何处是间断的?(1) 解：(2)解：第二节 偏导数本节主要概念，定理，公式和
2、重要结论1.偏导数：设在的某一邻域有定义，则，.的几何意义为曲线在点处的切线对轴的斜率. 在任意点处的偏导数、称为偏导函数，简称偏导数.求时，只需把视为常数，对求导即可.2.高阶偏导数的偏导数的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：，其中后两个称为混合偏导数.若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 821.求下列函数的一阶偏导数:(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)(8)解：(8)解：2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数:（1），求解：（
3、2），求解：3.求下列函数的高阶偏导数:(1)， 求，解：(2)，求，解：(3)， 求， 解：4.设 ，求和.解：5.设， 求证解: 6.设， 证明证明: 由轮换对称性, 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数在点处的全增量表示成则称在点可微，并称为在点的全微分，记作.2.可微的必要条件：若在可微，则 （1）在 处连续； （2）在处可偏导，且，从而 .一般地，对于区域内可微函数， .3.可微的充分条件：若在的某邻域内可偏导，且偏导数在处连续，则在可微。 注：以上定义和充分条件、必要条件均可推广至多元函数。习题 831.求下列函数的全微分(1) (2)解: (2)
4、解: (3) 解: (4)解: (5)解: 所以(6)解: 2.求函数，当时的全微分.解: 3.求函数，当 时的全增量与全微分.解: 4.研究函数在点处的可微性.解: 由于，所以在点连续，又又所以所以在点处可微5.计算的近似值.解：令，则，再设则6.已知边长 的矩形，如果边增加5cm，而边减少10cm，求这个矩形的对角线的长度变化的近似值.解：对角线长为，则，所以第四节 多元复合函数的求导法则本节主要概念，定理，公式和重要结论复合函数的求导法则（链式法则）如下：1.设在可偏导，在相应点有连续偏导数，则在 的偏导数为2.推广：(1)多个中间变量：设， 则且(2)只有一个中间变量：设则且(3)只有
5、一个自变量：设，则且 习题841.求下列复合函数的一阶导数(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：2.求下列复合函数的一阶偏导数(1)解：(2)解：3.求下列复合函数的一阶偏导数（是类函数）(1)解：，(2)解：，(3)解：，(4)解：，4.设且具有二阶连续偏导数，求解：5.已知，其中有二阶连续导数，求解：6.设，其中有连续二阶偏导数，求解：第五节 隐函数的求导公式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.一个方程的情形（1）若方程确定隐函数， 则.（2）若方程确定隐函数，则；.2.方程组的情形（1）若确定，则，.（2）若确定，则，；，.习题851求下列方程所确定的隐函数的一阶导数(1)解：(2)
6、解：(3)解：(4)解：2求下列方程所确定的隐函数的一阶偏导数(1)解：(2)解：(3)解：，(4)解：3求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数(1)设解：(2)设 解：(3)设解：(4)设解：4设，而是由方程所确定的隐函数，求解：又，所以5.求由下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数（1）设，求 解：(2)设，求 解：6.设，求解：又所以7.设，而是由方程所确定的的函数，其中都具有一阶连续偏导数.试证明 解：由，又所以第六节 多元函数微分学的几何应用本节主要概念，定理，公式和重要结论1.空间曲线的切线与法平面 设点，(1)参数方程情形： 若，则切向量为；其中； 切线方程为；法平面方程为.(2)
7、一般方程情形：若 ，则切向量为；切线方程为；法平面方程为.2.空间曲面的切平面与法线 设点 .(1)隐式方程情形 若，则法向量为；切平面为；法线为 .(2)显式方程情形 若，则法向量为，切平面为；法线为.(3)参数方程情形 若，则法向量 ，切平面为；法线为.习题861求曲线 对应的点处的切线和法平面方程.解：切线：法平面：2求下列曲面在指定点处的切平面与法线方程（1），点 解：切平面：法线：（2），点解：切平面：即法线：3求出曲线上的点，使在该点的切线平行于平面.解：设曲线在点的切向量为平面的法向量为，由题意可知所以，该点为4求椭球面上平行于平面的切平面方程.解：设曲面在点处的法向量为，则，由
8、题意可知，令，又，所以，代入得所以切平面方程为或即或5试证曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于1.证明：设为曲面上任一点，则曲面在该点处的法向量为，那么切平面的方程为即，该平面在三个坐标轴上的截距为，故6求曲线在点处的切线和法平面方程.解：曲线在点处的切向量为所以切线的方程为法平面为，即第七节 方向导数与梯度本节主要概念，定理，公式和重要结论1.方向导数(1)定义 设在点的某邻域内有定义，是任一非零向量， ，则在点处沿的方向导数定义为表示函数在点处沿方向的变化率.(2)计算公式若在点处可微，则对任一单位向量，有（此也为方向导数存在的充分条件）.2.梯度(1)定义 设，则梯度grad
9、为下式定义的向量：grad（或）.(2)方向导数与梯度的关系(3)梯度的特征刻画梯度是这样的一个向量，其方向为在点处增长率最大的一个方向；其模等于最大增长率的值.习题871求下列函数在指定点处沿指定方向的方向导数(1)为从点（1，2）到点（2，2+）的方向解：方向为，而所以(2)解：而所以2求函数在抛物线上点（1，2）处，沿着这抛物线在该点处偏向轴正向的切线方向的方向导数.解：抛物线在点处的切向量为3求函数 在点处沿方向角为的方向的方向导数.解：4设具有一阶连续的偏导数，已给四个点，若在点处沿方向的方向导数等于3，而沿方向的方向导数等于26，求在点处沿方向的方向导数.解：所以5设，求grad及
10、grad解：6问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.解：沿梯度方向的方向的方向导数最大第八节 多元函数的极值及其求法本节主要概念，定理，公式和重要结论1.极大（小）值问题必要条件. 若在点有极值且可偏导，则.使偏导数等于零的点称为的驻点（或稳定点）.驻点与不可偏导点都是可疑极值点，还须用充分条件检验.充分条件. 设在区域内是类函数，驻点，记（1）当时，是极值，且是极小（大）值；（2）当时，不是极值；（3）当时，还需另作判别.2.最大（小）值问题首先找出在上的全部可疑极值点（设为有限个），算出它们的函数值，并与的边界上的最大.最小值进行比较，其中最大、最小者即为在上的最大
11、、最小值.对于应用问题，若根据问题的实际意义，知目标函数在内一定达到最大（小）值，而在内的可疑极值点唯一时，无须判别，可直接下结论：该点的函数值即为在内的最大（小）值.3.条件极值（拉格朗日乘子法）求目标函数在约束方程下的条件极值，先作拉格朗日函数,然后解方程组，则可求得可疑极值点.对于二元以上的函数和多个约束条件，方法是类似的。习题 881求下列函数的极值（1）解：，故在处取得极大值（2）解：可疑极值点有四个，即点-6600006-6-6600-36-363636是否极值点极大值点极小值点不是不是2求下列函数在约束方程下的最大值与最小值（1）解：令最大值最小值（2）解：令最大值，最小值3从斜
12、边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.解：令所以当直角三角形的两直角边时，该直角三角形的周长最大，且为4求两曲面交线上的点与面距离最小值.解：设两曲面交线上的点为，由题意可得令，所以当时，到面的距离最短。5求抛物线到直线之间的最短距离.解：设抛物线上任一点到直线的距离为，则令所以，点到直线的距离为为最小，且 6求表面积为1500cm2，全部棱长之和为200cm的长方体体积的最大值和最小值.解：设长方体的三条棱长分别为，由题意可知，令当时，所以当时，有最大和最小值，即7抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.解：曲线上任一点到坐标原点的距离为，则令当时，矛盾，所以，即，代入得所以，即习题9-1 1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为m =m(x, y)的电荷, 且m(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q. 解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度m(x, y)在该板所占闭区域D上的
