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1、5 73. 10 在一只半径为R 的半球形碗内, 有一粒质量为m 的小钢球, 沿碗的内壁作匀速圆周运动。试求: 当小钢球的角速度为时, 它距碗底的高度h 为多少?分析与解答 取小球为隔离体，受重力和支承力（如图？）。其中，沿x轴方向的分力提供小球作圆周运动的向心力。有 且 解得 可见，h随的增大而增大。3. 13质量为m 的物体在黏性介质中由静止开始下落, 介质阻力与速度成正比, 即= v,为常量。试( 1) 写出物体的牛顿运动方程。( 2) 求速度随时间的变化关系。( 3) 其最大下落速度为多少?( 4) 分析物体全程的运动情况。分析与解答 （1）物体受向下的重力mg和向上的阻力F，则牛顿运
2、动方程为 （2）由 分离变量并积分 得 -整理后得 （3）当时，有最大下落速度 （4）由有 得 物体由静止开始向下作加速运动，并逐渐趋近于最大速度为，此后趋于做匀速运动，物体在任意时刻开起点的距离由上式表示。3.15质量为m的小球从点A由静止出发，沿半径为r的光滑圆轨道运动到点C（见图），求此时小球的角速度和小球对圆轨道的作用力。分析与解答 取小球为隔离体，受力情况如图。取自然坐标系，由牛顿运动定律分别列出切向和法向运动方程为- 由于，代入式并分离变量后积分得 则小球在c点的角速度为 将式代入式，得 其反作用力即为小球对轨道的作用力。3.16 如图所示，在密度为的液体上方有一悬挂的长为l，密度
3、为的均匀直棒，棒的下方恰与液面接触。今剪断挂线，棒在重力P和浮力F 作用下竖直下沉, 若 , 求棒下落过程中的最大速度。 分析与解答 按题设条件，剪断细线后，杆在下沉过程只受重力和浮力的作用（不计液体的黏滞阻力），随着杆往下沉，浮力逐渐增大，当重力和浮力相等时，杆下沉的加速度a=0,此时速度最大。取x坐标如图，根据牛顿第二定律，有 式中，浮力，故式可写成 对式分离变量并积分，有得 设杆的速度最大时，杆进入液体的长度为x=l,则式 中的v即为最大速度。此时mg=F,即得 将式代入式，得杆的最大速度为 4.10 如图所示, 一根细绳跨过一质量可忽略且轴为光滑的定滑轮, 两端分别拴有质量为m 和M
4、的物体A, B, 且M稍大于m。物体B 静止在地面上, 当物体A 自由下落h距离后, 绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时, 两物体的速度及B 能上升的最大高度。质点的动量矩定理、动量矩守恒定律分析与解答 把整个过程分成三个阶段来处理。第一阶段物体A自由下落。物体A自由下落h 距离时，正好拉紧绳子，此时物体A的速度为，方向向下。第二阶段，绳子被拉紧，物体A和物体B同时受到绳子的冲力作用。经过极短时间t 后，以共同的速度V运动，此时，物体的受力情况如图（B）所示。如取竖直方向为正方向，则物体Ad的速度由-v增为-V，物体B的速度由0增为V。根据动量原理得： 题4.10图由于作用时间极短，绳子冲力的冲量
5、远大于重力的冲量，故式，式可简化为 因，解得： 第三阶段，绳子拉紧后，物体A向下运动，B向上运动，但由于Mm,A和B 都作减速运动，故有Mg-T=Ma,T-mg=ma 求得物体B以速度V上升，其加速度与速度方向相反。设最后B上升的高度为H，则有 故 4.14 我国第1 颗人造卫星东方红1号沿椭圆轨道绕地球飞行, 近地点439km, 远地点2384 km, 已知在近地点的速度v1 = 8.1 km/s , 试求卫星在远地点的速度v2 和卫星的运动周期T。分析与解答 （1）求：如图所示，地球的中心点O位于椭圆轨道的一个焦点上。设卫星运动时仅受地球引力的作用，由于该引力总指向O点，故卫星在运动的全过
6、程中对O点的动量矩守恒。即： 由于两者的方向一致，式可直接用大小来表示 ， 有 ：得 （2）求T：卫星径矢r 在单位时间内扫过的面积为面积速度。卫星运行的周期T即为椭圆面积S与ds/dt 的比值。由于椭圆面积为 根据开第二普勒定律，有： 不变量对近地点而言： 则面积速度为： 故 4.20 求解下列各题:(1) 质量为m 的物体自静止出发沿x 轴运动, 设所受外力为Fx = bt , b 为常量, 求在时间T(s) 内此力所做的功。(2) 物体在外力Fx = 5 + 10x(SI ) 作用下, 由x = 0 沿x 轴方向运动到x =3m 处, 求外力所做的功。(3) 一物体在介质中的运动方程为x
7、 = ct3 , c 为常量。设介质对物体的阻力正比于速度的二次方, 即。试求物体由x0 = 0 运动到x = 时, 阻力所做的功。分析与解答 （1）由加速度 得： 由动能定理 由于v0=0 ，得（2）有变力做功的计算方法，有?4.29 如图所示,质量为m,速度为v的钢球,射向质量为m置于光滑水平面上的靶,靶中心有一小孔,内有劲度系数为k的弹簧。此靶最初处于静止状态,求钢球射入靶内弹簧后, 弹簧被压缩的最大x。分析与解答 建立如图所示的x坐标，这是一个沿x方向的一维碰撞问题。碰撞的全过程是指小球刚与弹簧接触，直至弹簧被压缩到最大，小球与靶刚好共同达到共同速度为止的运动过程。在这过程中，小球和靶
8、组成的系统在x方向不受外力作用，因此，在此方向上动量守恒。即 式中，为小球与靶碰后的共同速度。在此过程中，除了弹性力（保守内力）做功以外，没有其他外力和非保守力做功。故系统的机械能守恒，取弹簧原长时的O点为弹性势能零点，则有 解式 ，式 得4 .31 如图所示, 弹簧下面悬挂着质量分别为m1,m2 的两个物体A 和B , 设弹簧的劲度系数k = 8.9N/ m, m1 = 0.5kg, m2 =0.3 kg。开始时它们都处于静止状态。若突然把A, B 之间的连线剪断, 求物体A 的最大速度是多少?分析与解答 在A，B连线被剪断前，系统在位置处于平衡（如图b），此时弹簧伸长 ，则 即在A，B连线
9、剪断后，弹簧下端只挂了物体A，系统将在位置处于平衡，则有即根据运动分析，连线剪断后，物体A将以为平衡位置上下来回振动，可见物体A通过位置时，具有最大速率。由于在运动中物体A与弹簧组成的系统只受弹性力和重力的作用，故机械能守恒，取O点（即弹簧原长处）为重力势能和弹性势能的零点，对A位于及处两状态时总机械能相等，则有 解得4.33 如图所示, 在光滑的水平面上,有一轻质弹簧, 其劲度系数为k, 它的一端题固定, 另一端系一质量为m1 的滑块, 最初滑块静止, 弹簧呈自然长度l0 , 今有一质量为m2 的子弹以速度v0 沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中, 滑块在水平面内滑动, 当弹簧被拉
10、伸至长度为l时, 求滑块速度的大小和方向。 分析与解答 子弹射入滑块，可看作完全非弹性碰撞过程，取子弹与滑块为一系统，由动量守恒，有 式中，为碰撞后系统的共同速度。子弹与滑块碰后以共同速度运动，由于弹簧不断伸长，系统在弹性力（法向力）作用下沿弧线运动。在此过程中，系统的动量守恒，即 式中，是滑块到达B点的速度。取子弹，滑块和弹簧为系统，由机械能守恒，有 联立解式，式，式，得速度的大小和方向分别为5.8 如图所示,长为l的均质细杆左端与墙用铰链A连接,右端用一铅直细绳B悬挂,杆处于水平静止状态,若绳B被突然烧断,则杆右端的加速度为多少?分析与解答 烧断绳时，杆将在重力矩的作用下，绕A轴转动。由转
11、动定律有 则右端的加速度为 。5.10 一细绳绕在半径为r 的定滑轮边缘, 滑轮对转轴O的转动惯量为I,滑轮与轴承间的摩擦不计,今用恒力F拉绳的下端(见图(a)或悬挂一重量P = F 的物体(见图(b) ,使滑轮自静止开始转动。分别求滑轮在这两种情况下的角加速度。分析与解答如图（a）情况下，绳子的张力。按转动定律有 故在图（b）情况下，有 解得 题5.10 图 题5.11 图5.11 一个组合轮轴由两个同轴的圆柱体固结而成,可绕光滑的水平对称轴OO转动。设大小圆柱体的半径分别为R 和r , 质量分别为M和m, 绕在两圆柱体的上细绳分别与质量为m1和m2 (m1 m2)的物体A、B 相连(如图)
12、 。试求:( 1) 两物体的加速度;( 2) 绳子的张力;( 3) 轮轴的角加速度。分析与解答分别对物体A，B和轮轴作受力分析（见图b），根据牛顿运动定律和转动定律，有对A： 对B： 对轮轴： I= 解式 方程组得 ， ， 5.16 如图所示, 有一半径为R 的水平圆转台, 可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动, 转动惯量为I , 开始时转台以匀角速度0 转动, 此时有一质量为m 的人站在转台中心, 随后人沿半径向外跑去, 当人到达转台边缘时转台的角速度为多少?分析与解答 取人和转台为研究对象，在人从中心走向边缘的过程中，系统所受合外力矩为零，则系统的动量矩守恒。有则 题5.16图 题5.17图 5.17 在杂技节目跷板中, 演员甲从h高的跳台上自由下落到跷板的一端A, 并把跷板另一端的演员乙弹了起来。设跷板是匀质的, 长度为l, 质量为m,支撑点在板的中部C点, 跷板可绕点C 在竖直平面内转动( 如图)。演员甲、乙的质量均为m。假定演员甲落到跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞。试求: (1 ) 碰后跷板的角速度( 也是甲、乙的角速度) ; ( 2) 演员乙被弹起的高度h。分析与解答（1）甲由h高处自由下落，至与板碰撞前的速度为得 碰撞前后，取甲，乙和板为系统，满足动
