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1、第三章 应力与强度计算一.内容提要本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计算。1拉伸与压缩变形1.1 拉（压）杆的应力1.1.1拉（压）杆横截面上的正应力拉压杆件横截面上只有正应力，且为平均分布，其计算公式 (3-1)式中为该横截面的轴力，A为横截面面积。正负号规定 拉应力为正，压应力为负。公式（3-1）的适用条件：（1） 杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；如果是偏心受压或受拉的轻质杆件，那么必然存在靠近轴力的一侧受压，远离轴力的一侧受拉，应力肯定不同，方向相反。并存在中和轴。（即应力在中和轴处为0）（2）适用于离杆件受力区域稍远处
2、的横截面；（大于截面宽度的长度范围内圣维南）（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀（即应力集中）；（4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角时，可应用式（3-1）计算，所得结果的误差约为3%。1.1.2拉（压）杆斜截面上的应力（如图3-1）图3-1拉压杆件任意斜截面（a图）上的应力为平均分布，其计算公式为全应力 (3-2)正应力 （3-3）切应力 （3-4）式中为横截面上的应力。正负号规定：由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 拉应力为正，压应力为负。 对脱离体内一点产生顺时针力矩的为正，反之为负。两点结论：（1）当时，即横截
3、面上，达到最大值，即。当=时，即纵截面上，=0。（2）当时，即与杆轴成的斜截面上，达到最大值，即。12 拉（压）杆的应变和胡克定律（1）变形及应变杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。图3-2轴向变形 轴向线应变 横向变形 横向线应变 正负号规定 伸长为正，缩短为负。（2）胡克定律当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即 （3-5）或用轴力及杆件的变形量表示为 (3-6)式中EA称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。公式(3-6)的适用条件：(a)材料在线弹性范围内工作，即；(b)在计算时，l长度内其N、E、A
4、均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即 (3-7)(3)泊松比 当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即 (3-8)1.3 材料在拉（压）时的力学性能1.3.1低碳钢在拉伸时的力学性能应力应变曲线如图3-3所示。图3-3 低碳钢拉伸时的应力应变曲线卸载定律:在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。如图3-3中dd直线。冷作硬化：材料拉伸到强化阶段后，卸除荷载，再次加载时，材料的比例极限升高，而塑性降低的现象，称为冷作硬化。如图3-3中ddef曲线。图3-3中，of 为未经冷作硬化，拉伸至断裂后的塑性应变。df 为经冷作硬化，再拉伸至断裂后的塑
5、性应变。四个阶段四个特征点，见表1-1。表1-1 低碳钢拉伸过程的四个阶段阶 段图1-5中线段特征点说 明弹性阶段oab比例极限弹性极限为应力与应变成正比的最高应力为不产生残余变形的最高应力屈服阶段bc屈服极限为应力变化不大而变形显著增加时的最低应力强化阶段ce抗拉强度为材料在断裂前所能承受的最大名义应力局部形变阶段ef产生颈缩现象到试件断裂表1-1主要性能指标，见表1-2。表1-2 主要性能指标性能性能指标说明弹性性能弹性模量E当强度性能屈服极限材料出现显著的塑性变形抗拉强度材料的最大承载能力塑性性能延伸率材料拉断时的塑性变形程度截面收缩率材料的塑性变形程度1.3.2 低碳钢在压缩时的力学性
6、能图3-4 低碳钢压缩时的应力应变曲线应力应变曲线如图3-4中实线所示。低碳钢压缩时的比例极限、屈服极限、弹性模量E与拉伸时基本相同，但测不出抗压强度1.3.3铸铁拉伸时的力学性能图3-5 铸铁拉伸时的应力应变曲线应力应变曲线如图3-5所示。应力与应变无明显的线性关系，拉断前的应变很小，试验时只能侧得抗拉强度。弹性模量E以总应变为0.1%时的割线斜率来度量。1.3.3铸铁压缩时的力学性能应力应变曲线如图3-6所示。图3-6 铸铁压缩时的应力应变曲线铸铁压缩时的抗压强度比拉伸时大45倍，破坏时破裂面与轴线成。宜于做抗压构件。1.3.4塑性材料和脆性材料延伸率5%的材料称为塑性材料。延伸率5%的材
7、料称为脆性材料。1.3.5屈服强度对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常用材料产生0.2%的残余应变时所对应的应力作为屈服强度，并以表示。1.4 强度计算许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。塑性材料 = ； 脆性材料 =其中称为安全系数，且大于1。强度条件：构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。对轴向拉伸（压缩）杆件 （3-9）按式（1-4）可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算。2扭转变形2.1 切应力互等定理受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生，它们的大小相等，方向同时垂直指向或者背离两截面交线，且与截面上存在正应力
8、与否无关。2.2纯剪切单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态。2.3切应变切应力作用下，单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变，用表示。2.4 剪切胡克定律在材料的比例极限范围内，切应力与切应变成正比，即 (3-10)式中G为材料的切变模量，为材料的又一弹性常数（另两个弹性常数为弹性模量E及泊松比）,其数值由实验决定。对各向同性材料,E、 、G有下列关系 (3-11)2.5 圆截面直杆扭转时应力和强度条件2.5.1 横截面上切应力分布规律用截面法可求出截面上扭矩，但不能确定切应力在横截面上的分布规律和大小。需通过平面假设，从几何、物理、平衡三方面才能唯一确定
9、切应力分布规律和大小。(1)沿半径成线性分布，圆心处，最大切应力在圆截面周边上。TT(2)切应力方向垂直半径，圆截面上切应力形成的流向与该截面上扭矩转向相等，图3-7。图3-72.5.2切应力计算公式横截面上某一点切应力大小为 (3-12)式中为该截面对圆心的极惯性矩，为欲求的点至圆心的距离。圆截面周边上的切应力为 (3-13)式中称为扭转截面系数，R为圆截面半径。2.5.3 切应力公式讨论（1） 切应力公式（3-12）和式（3-13）适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，其误差在工程允许范围内。（2） 极惯性矩和扭转截面系数是截面几何
10、特征量，计算公式见表3-3。在面积不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。因此，设计空心轴比实心轴更为合理。 表3-3实心圆（外径为d）空心圆（外径为D，内径为d） 2.5.4强度条件圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发生破坏。因此，强度条件为 (3-14)对等圆截面直杆 （3-15）式中为材料的许用切应力。3弯曲变形的应力和强度计算3.1 梁横截面上正应力3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系 (3-16)式中，是变形后梁轴线的曲率半径；E是材料的弹性模量；是横截面对中性轴Z轴的惯性矩。3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式 (3-1
11、7)式中，M是横截面上的弯矩；的意义同上；y是欲求正应力的点到中性轴的距离。由式(3-17)可见，正应力的大小与该点到中性轴的距离成正比。横截面上中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。在实际计算中，正应力的正负号可根据梁的变形情况来确定，位于中性轴凸向一侧的各点均为拉应力，而位于中性轴凹向一侧的各点均为压应力。最大正应力出现在距中性轴最远点处 （3-18）式中，称为抗弯截面系数。对于的矩形截面，；对于直径为D的圆形截面，；对于内外径之比为的环形截面，。若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值不相等。3.2梁的正应力强度条件梁的最大工
12、作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为 （3-19）由正应力强度条件可进行三方面的计算：（1）校核强度 即已知梁的几何尺寸、材料的容许应力以及所受载荷，校核正应力是否超过容许值，从而检验梁是否安全。（2）设计截面 即已知载荷及容许应力，可由式确定截面的尺寸（3）求许可载荷 即已知截面的几何尺寸及容许应力，按式确定许可载荷。对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T字形截面、上下不等边的工字形截面等），其强度条件应表达为 （3-20a） （3-20b）式中，分别是材料的容许拉应力和容许压应力；分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。若梁上同时存在有正、负弯矩，在最大正、负弯
13、矩的横截面上均要进行强度计算。3.3梁的切应力 （3-21）式中，Q是横截面上的剪力；是距中性轴为y的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩；是整个横截面对中性轴的惯性矩；b是距中性轴为y处的横截面宽度。3.3.1矩形截面梁切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布。切应力计算公式 （3-22）最大切应力发生在中性轴各点处，。3.3.2工字形截面梁切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的9597%，因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担。切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为 (3-23)式中各符号可参看。另外，沿翼缘水平方向也有不大的切应力，计算公式为 （3-24）翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向剪切应力形成所谓的剪应力
