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1、第六章检验本章介绍对次数资料进行适合性检验和独立性检验的检验法 设有一平均数为 方差为的正态总体 现从此总体中独立随机抽取n个随机变量 x1 x2 xn 并求出其标准正态离差 第一节 2分布 记这n个相互独立的标准正态离差的平方和为 2 它服从自由度为n的 2分布 记为 若用样本平均数代替总体平均数 则随机变量服从自由度为n 1的 2分布 记为 2分布是由正态总体随机抽样得来的一种连续型随机变量的分布 显然 2 0 即 2的取值范围是 0 2分布密度曲线是随自由度不同而改变的一组曲线 随自由度的增大 曲线由偏斜渐趋于对称 图3 14给出了几个不同自由度的 2概率分布密度曲线 2分布密度曲线特点
2、 1 右尾分布 当V增大到 时 2分布趋近于正态分布 2 分布为正值 3 反J型分布 4 其自由度为n 1 5 为连续型变数分布 第二节统计数 一 统计数的意义 豌豆花色遗传中 红花和白花是受一对等位基因控制的一对相对性状 杂交F2植株的理论比例为红 白 3 1 孟德尔 1865 在杂交F2群体中随机调查了929株 其中705株为红花 224株为白花 这一结果是否符合3 1的理论比例 若符合理论比例红 白 3 1 929株中的红花株数应为 929 3 4 696 75株 白花株数应为929 1 4 232 25株 实际上获得的是红 白 705 224 3 147 1 实际观察次数与理论次数有差
3、异 各相差8 25株 产生这种情况有两种可能 一种是红花植株与白花植株的比例不符合3 1 另一种是符合3 1 实际出现的705 224是抽样误差造成的 到底属于哪种情况 需寻求合适的统计数进行统计分析 即进行显著性检验 表6 1豌豆杂交F2花色分离的实际观察次数与理论次数 由表6 1看出 两组的差数A1 T1 A2 T2之和等于0 即 因此 不能用来表示实际观察次数与理论次数符合程度的大小 先将A1 T1 A2 T2平方 然后再求和 即计算 数值的大小可用来表示实际观察次数与理论次数的相差程度 用来表示实际观察次数与理论次数的相差程度还存在一个问题 即各组的理论次数可能不同 例如 上述两组的实
4、际观察次数与理论次数的差数的绝对值都是8 25 都是68 0625 但二者显然不能相提并论 红花组是相对于理论次数696 75 相差8 25 白花组是是相对于理论次数232 25 相差8 25 如果把各组的除以相应的理论次数 即 并记为 即 为组数 为第i组的实际观察次数 为第i组的理论次数 是度量实际观察次数与理论次数偏离程度的一个统计数 对于上述豌豆花色的调查结果 表6 1 可计算得 表明实际观察次数与理论次数是比较接近的 二 连续性矫正 统计学家K Pearson 1899 发现 对于间断型次数资料由 6 1 式定义的 即近似地服从自由度为的连续型随机变量分布 由间断型次数资料按 6 1
5、 式算得的值均有偏大的趋势 尤其是当时 偏差较大 F Yates 1934 提出对进行连续性矫正 矫正方法是 先将各组实际观察次数与理论次数的差数的绝对值分别减去0 5 然后再平方进行计算 矫正后的记为 即 当df 2时 6 1 式计算的与连续型随机变量相近 这时 可不作连续性矫正 但要求各组内的理论次数不小于5 如果某一组的理论次数小于5 则应把它与其相邻的一组或几组合并 直到合并组的理论次数大于5为止 第三节适合性检验 一 适合性检验的意义 判断实际观察的属性类别分配是否符合已知属性类别分配理论或学说的假设检验称为适合性检验 在适合性检验中 无效假设 实际观察的属性类别分配符合已知属性类别
6、分配的理论或学说 备择假设 实际观察的属性类别分配不符合已知属性类别分配的理论或学说 适合性检验的自由度等于属性类别数减1 若属性类别数为k 则适合性检验的自由度为k 1 然后根据 6 1 或 6 2 式计算出或 将所计算得的或值与根据自由度k 1查值表 附表7 所得的临界值 或比较 在无效假设成立的条件下 按已知属性类别分配的理论或学说计算各属性类别的理论次数 若 或 0 01 p 0 05 表明实际观察次数与理论次数差异显著 实际观察的属性类别分配显著不符合已知属性类别分配的理论或学说 若 或 p 0 05 表明实际观察次数与理论次数差异不显著 可以认为实际观察的属性类别分配符合已知属性类
7、别分配的理论或学说 若 或 p 0 01 表明实际观察次数与理论次数差异极显著 实际观察的属性类别分配极显著不符合已知属性类别分配的理论或学说 二 适合性检验的方法 例6 1 紫花大豆与白花大豆杂交F1全为紫花 F2出现分离 在F2中共观察1650株 其中紫花1260株 白花390株 问这一结果是否符合孟德尔遗传分离定律的3 1比例 1 提出假设 大豆花色F2分离符合3 1的理论比例 大豆花色F2分离不符合3 1的理论比例 2 计算理论次数在无效假设成立的条件下 计算理论次数 即根据理论比例3 1计算理论次数 紫花理论次数 T1 1650 3 4 1237 5 白花理论次数 T2 1650 1
8、 4 412 5 或T2 1650 1237 5 412 5 表6 2计算表 3 计算 4 统计推断 实际计算的 1 5644 故p 0 05 不能否定 表明实际观察次数与理论次数差异不显著 可以认为大豆花色在F2的这一结果是符合3 1的理论比例 即大豆紫花与白花这一相对性状在F2的分离比例符合一对等位基因的遗传规律 例6 2 两对等位基因控制的两对相对性状遗传 如果两对等位基因完全显性且无连锁 则F2的四种表现型在理论上应有9 3 3 1的比例 有一水稻遗传试验 以稃尖有色非糯品种与稃尖无色糯性品种杂交 其F2的观察结果为稃尖有色非糯491株 A1 稃尖有色糯稻76株 A2 稃尖无色非糯90
9、株 A3 稃尖无色糯稻86株 A4 试检验实际观察结果是否符合9 3 3 1的理论比例 1 提出假设 实际观察次数之比符合9 3 3 1的理论比例 实际观察次数之比不符合9 3 3 1的理论比例 2 计算理论次数 稃尖有色非糯的理论次数 T1 743 9 16 417 94 稃尖有色糯稻的理论次数 T2 743 3 16 139 31 稃尖无色非糯的理论次数 T3 743 3 16 139 31 稃尖无色糯稻的理论次数 T4 743 1 16 46 44 或T4 743 417 94 139 31 139 31 46 44 3 计算 因 92 6961 故p 0 01 否定 接受 表明该水稻稃
10、尖和糯性性状在F2的实际观察次数之比极显著不符合9 3 3 1的理论比例 这一结果表明 该两对等位基因并非完全显性 无连锁 4 统计推断 当属性类别数大于2时 可利用下面简化公式计算 6 3 其中 Ai为第i组的实际观察次数 pi为第i组的理论比例 为总观察次数 将 例6 2 按 6 3 式计算 用 6 3 式计算的与用 6 1 式计算的因舍入误差略有不同 用 6 3 式计算不需计算理论次数 且舍入误差小 第三节独立性检验 一 独立性检验的意义 对于次数资料 还可以分析两类因子是相互独立还是彼此相关 例如 研究玉米种子灭菌与否和果穗是否发病两类因子之间的关系 若相互独立 表示种子灭菌与否和果穗
11、是否发病无关 灭菌处理对防止果穗发病无效 若彼此相关 则表示种子灭菌与否和果穗是否发病有关 灭菌处理对防止果穗发病有效 根据次数资料判断两类因子相互独立或彼此相关的假设检验就是独立性检验 独立性检验实际上是基于次数资料对因子间相关的研究 1 独立性检验的次数资料是按两因子属性类别进行归组 根据两因子属性类别数的不同而构成2 2 2 c r c列联表 r为行因子的属性类别数 c为列因子的属性类别数 2 独立性检验的理论次数是在两因子相互独立的假设下计算 3 在r c列联表的独立性检验中 共有rc个理论次数 但受到以下条件的约束 rc个理论次数的总和等于rc个实际次数的总和 r个横行中的每一横行理
12、论次数总和等于该行实际次数的总和 但由于r个横行实际次数之和的总和应等于rc个实际次数之和 因而独立的行约束条件只有r 1个 类似地 独立的列约束条件有c 1个 因而在进行独立性检验时 自由度为rc 1 r 1 c 1 r 1 c 1 即自由度 横行属性类别数 1 直列属性类别数 1 二 独立性检验的方法 一 2 2列联表的独立性检验需作连续性矫正 应计算值 表6 42 2列联表的一般形式 其中Aij为实际观察次数 Tij为理论次数 例6 4 为防治小麦散黑穗病 播种前用某种药剂对小麦种子进行灭菌处理 以未经灭菌处理的小麦种子为对照 观察结果为 种子灭菌的76株中有26株发病 50株未发病 种
13、子未灭菌的384株中有184株发病 200株未发病 试分析种子灭菌对防止小麦散黑穗病是否有效 表6 5防止小麦散黑穗病的观察结果 种子灭菌对防止小麦散黑穗病无效 即种子灭菌与否与散黑穗病发病穗多少无关 二者相互独立 1 提出假设 种子灭菌对防止小麦散黑穗病有效 即种子灭菌与否和散黑穗病发病穗多少有关 二者彼此相关 2 计算理论次数 在无效假设成立的条件下 计算各个理论次数 假设种子灭菌对防止小麦散黑穗病无效 即种子灭菌与否与散黑穗病发病穗多少无关 也就是说种子灭菌与种子未灭菌的理论发病率相同 依此计算出各个理论次数如下 种子灭菌的理论发病穗数 T11 76 210 460 34 70 种子灭菌
14、的理论未发病穗数 T12 76 250 460 41 30 或T12 76 34 70 41 30 种子未灭的理论发病穗数 T21 384 210 460 175 30或T21 210 34 70 175 30种子未灭菌的理论未发病穗数 T22 384250 460 208 70或T22 250 41 30 208 70 3 计算 4 统计推断 因为 而实际计算的介于和之间 故0 01 p 0 05 否定 接受 表明种子灭菌与否和散黑穗病发病穗多少显著有关 这里表现为种子灭菌发病率显著低于种子未灭菌 说明小麦种子用该药剂灭菌对防止小麦散黑穗病是有效的 在进行2 2列联表独立性检验时 还可下简化
15、公式 6 4 利用上式计算 不需要先计算理论次数 直接利用实际观察次数Aij 列 行总和 和全部实际观察次数的总和计算 计算工作量小 累计舍入误差也小 对于 例6 4 可得 所得结果与前面计算的结果相同 二 2 c列联表的独立性检验 表6 62 c联列表一般形式 其中Aij为实际观察次数 Tij为理论次数 i 1 2 j 1 2 c 例6 5 检测甲 乙 丙3种农药对烟蚜的毒杀效果 用甲农药处理187头烟蚜 其中37头死亡 150头未死亡 用乙农药处理149头烟蚜 其中49头死亡 100头未死亡 用丙农药处理80头烟蚜 其中23头死亡 57头未死亡 分析这三种农药对烟蚜的毒杀效果是否一致 表6
16、 7三种农药毒杀烟蚜的死亡情况 对烟蚜的毒杀效果与农药类型有关 对烟蚜的毒杀效果与农药类型无关 1 提出假设 2 计算理论次数在无效假设为正确的条件下 计算各个理论次数 T11 109 187 416 49 00T12 109 149 416 39 04T13 109 80 416 20 96或T13 109 49 00 39 04 20 96T21 307 187 416 138 00T22 307 149 416 109 96T23 307 80 416 59 04或T23 307 138 00 109 96 59 04 3 计算值 4 统计推断 因实际计算的介于与之间 故0 01 p 0 05 否定 接受 说明3种农药对烟蚜的毒杀效果不一致 在进行2 c列联表独立检验时也可不计算理论次数 直接代入下面简化公式 6 5 计算值 6 5 对于 例6 5 利用 6 5 式计算值得 计算结果与利用 6 1 式计算的结果相同 三 r c列联表的独立性检验 表6 8r c列联表的一般形式 其中Aij为实际观察次数 i 1 2 r j 1 2 c 例6 6 观察不同密度下某玉米单交种每株穗数的
