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1、中考数学压轴题汇总(一)17.(2005浙江台州)如图,在平面直角坐标系内,C与y轴相切于D点,与x轴相交于A(2,0)、B(8,0)两点,圆心C在第四象限.(1)求点C的坐标;(2)连结BC并延长交C于另一点E,若线段BE上有一点P,使得AB2BPBE,能否推出APBE?请给出你的结论,并说明理由; (3)在直线BE上是否存在点Q,使得AQ2BQEQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,也请说明理由.解 (1) C(5,-4); (2)能。连结AE ,BE是O的直径, BAE=90. 在ABE与PBA中,AB2BP BE , 即, 又ABE=PBA,ABEPBA . BPA=BAE=90, 即
2、APBE . (3)分析:假设在直线EB上存在点Q,使AQ2BQ EQ. Q点位置有三种情况:若三条线段有两条等长,则三条均等长,于是容易知点C即点Q;若无两条等长,且点Q在线段EB上,由RtEBA中的射影定理知点Q即为AQEB之垂足;若无两条等长,且当点Q在线段EB外,由条件想到切割线定理,知QA切C于点A.设Q(),并过点Q作QRx轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程: 当点Q1与C重合时,AQ1=Q1B=Q1E, 显然有AQ12BQ1 EQ1 ,Q1(5, -4)符合题意; 当Q2点在线段EB上, ABE中,BAE=90点Q2为
3、AQ2在BE上的垂足, AQ2= 4.8(或).Q2点的横坐标是2+ AQ2BAQ2= 2+3.84=5.84,又由AQ2BAQ2=2.88,点Q2(5.84,-2.88), 方法一:若符合题意的点Q3在线段EB外,则可得点Q3为过点A的C的切线与直线BE在第一象限的交点.由RtQ3BRRtEBA,EBA的三边长分别为6、8、10,故不妨设BR=3t,RQ3=4t,BQ3=5t, 由RtARQ3RtEAB得, 即得t=,注:此处也可由列得方程; 或由AQ32 = Q3BQ3E=Q3R2+AR2列得方程)等等Q3点的横坐标为8+3t=, Q3点的纵坐标为,即Q3(,). 方法二:如上所设与添辅助
4、线, 直线 BE过B(8, 0), C(5, -4), 直线BE的解析式是 . 设Q3(,),过点Q3作Q3Rx轴于点R, 易证Q3AR =AEB得 RtAQ3RRtEAB, , 即 ,t= ,进而点Q3 的纵坐标为,Q3(,). 方法三:若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交轴于F,Q3AB =Q3EA,,在R tOAF中有OF=2=,点F的坐标为(0,),可得直线AF的解析式为 , 又直线BE的解析式是 ,可得交点Q3(,). 18.(2005上海长宁)如图1,抛物线关于y轴对称,顶点C坐标为(0,h )(h0), 交x轴于点A(d,0)、B(-d,0)(d0)。(1)求抛物线
5、解析式(用h、d表示);(2)如图2,将ABC视为抛物线形拱桥,拉杆均垂直x轴,垂足依次在线段AB的6等分点上。h=9米。(i )求拉杆DE的长度;FGxyCBOA图4(ii)若d值增大,其他都不变,如图3。拉杆DE的长度会改变吗?(只需写结论)(3)如图4,点G在线段OA上,OG=kd(比例系数k是常数,0k1),GFx轴交抛物线于点F。试探索k为何值时,tgFOG= tgCAO?此时点G与OA线段有什么关系?解 (1)用顶点式,据题意设y=ax2+h代入A(d,0)得a=y=x2+h(2)(i)h=9,代入(1)中解析式得y=x2+9据题意OE=d,设D(d,yD)点D在抛物线上,yD=(
6、d)2+9=5,DE=5米。(ii) 拉杆DE的长度不变。(3)OG=kd,点F坐标可设(kd,yF)代入y=x2+h ,得:yF= h(1k2) tgFOG= tgCAO , = 解得 (0k1,舍),此时点G是线段OA的黄金分割点。19.(2006上海金山)已知:抛物线经过A(2,0)、B(8,0)、C(0,)CO(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为P,把APB翻折,使点P落在线段AB上(不与A、B重合),记作,折痕为EF,设A= x,PE = y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(3)当点在线段AB上运动但不与A、B重合时,能否使EF的一边与x轴垂直?若能,请求出此时点的
7、坐标;若不能,请你说明理由。解 (1)设 把代入得 即 (2)顶点P( AP=AB=BP=6 作于G,则,又,在中, (3)若轴 则 , (舍去) 若轴 则 , (舍去) 若轴, 显然不可能。 或 20. (2006湖北十堰)已知抛物线:(,为常数,且,)的顶点为,与轴交于点;抛物线与抛物线关于轴对称,其顶点为,连接,注:抛物线的顶点坐标为(1)请在横线上直接写出抛物线的解析式:_;(2)当时,判定的形状,并说明理由;(3)抛物线上是否存在点,使得四边形为菱形?如果存在,请求出的值;如果不存在,请说明理由解 (1)(2)当时,为等腰直角三角形3分理由如下:如图:点与点关于轴对称,点又在轴上,过
8、点作抛物线的对称轴交轴于,过点作于当时,顶点的坐标为,又点的坐标为,从而,由对称性知,为等腰直角三角形 (3)假设抛物线上存在点,使得四边形为菱形,则由(2)知,从而为等边三角形 四边形为菱形,且点在上,点与点关于对称与的交点也为点,因此点的坐标分别为,在中,故抛物线上存在点,使得四边形为菱形,此时21.(2006湖北宜昌)如图,点O是坐标原点,点A(n,0)是x轴上一动点(n0)以AO为一边作矩形AOBC,点C在第二象限,且OB2OA矩形AOBC绕点A逆时针旋转90o得矩形AGDE过点A的直线ykxm 交y轴于点F,FBFA抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H,过点H
9、作HMx轴,垂足为点M(1)求k的值;(2)点A位置改变时,AMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变?说明你的理由解 (1)根据题意得到:E(3n,0), G(n,n)当x0时,ykxmm,点F坐标为(0,m)RtAOF中,AF2m2n2,FBAF,m2n2(-2nm)2,化简得:m0.75n, 对于ykxm,当xn时,y0,0kn0.75n,k0.75 (2)抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G, 解得:a,b,c0.75n 抛物线为y=x2x0.75n 解方程组: 得:x15n,y13n;x20,y20.75n H坐标是:(5n,3n),HM3n,AMn5n4n,AMH的面积0
10、.5HMAM6n2; 而矩形AOBC 的面积2n2,AMH的面积矩形AOBC 的面积3:1,不随着点A的位置的改变而改变 22.(2005黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,RtABC的斜边AB在x轴上,AB=25,顶点C在y轴的负半轴上,tanACO=,点P在线段OC上,且PO、PC的长(POPC)是关于x的方程x2-(2k+4)x+8k=O的两根 (1)求AC、BC的长; (2)求P点坐标; (3)在x轴上是否存在点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形?若存在,请直接写出直线PQ的解析式;若不存在,请说明理由解 (1) ACB=900,COAB, ACO=ABC tanABC=, R
11、tABC中,设AC=3a,BC=4a 则AB=5a,5a=25 a=5 AC=15, BC=20 (2) SABC=ACBC=OCAB, OC=12 PO+PC=4+2k=12 k=4 方程可化为x2-12x+32=O解得x1=4,x2=8 POPC PO=4 P(O,-4) (3)存在,直线PQ解析式为:y=- x-4或y=- -423.(2006黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴、y轴上,线段OA、OB的长(0AOB)是方程x2-18x+72=0的两个根,点C是线段AB的中点,点D在线段OC上,OD=2CD (1)求点C的坐标; (2)求直线AD的解析式; (3)P是直线
12、AD上的点,在平面内是否存在点Q,使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由解 (1)OA=6,OB=12 点C是线段AB的中点,OC=AC作CEx轴于点E OE=OA=3,CE=OB=6 点C的坐标为(3,6) (2)作DFx轴于点F OFDOEC,=,于是可求得OF=2,DF=4 点D的坐标为(2,4) 设直线AD的解析式为y=kx+b把A(6,0),D(2,4)代人得 解得 直线AD的解析式为y=-x+6 (3)存在 Q1(-3,3) Q2(3,-3) Q3(3,-3) Q4(6,6) 二、函数与方程综合的压轴题1.(2004江苏宿迁)已知
13、抛物线yx2mxm2. (1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB,试求m 的值;(2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且 MNC的面积等于27,试求m的值.解(1)设点(x1,0),B(x2,0) .则x1 ,x2是方程 x2mxm20的两根. MNCxyOx1 x2 m ,x1x2 =m2 0 即m2 又ABx1 x2 m24m3=0. 解得:m=1或m=3(舍去), m的值为1. (2)设M(a,b),则N(a,b) . M、N是抛物线上的两点, 得:2a22m40 .a2m2.当m2时,才存在满足条件中的两点M、N. 这时M、N到y轴的距离均为, 又点C坐标为(0,2m),而SM N C = 27 ,2(2m)=27. 解得m=7 . 2.(2005福建三明)已知二次函数(为常数,=