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1、无穷级数 一 数项级数 二 幂级数 讨论敛散性 求收敛范围 将函数展开为幂级数 求和 1 数项级数及收敛定义 给定一个数列 将各项依 即 称上式为无穷级数 其中第n项 叫做级数的一般项 级数的前n项和 称为级数的部分和 次相加 简记为 收敛 则称无穷级数 并称S为级数的和 等比级数 又称几何级数 q称为公比 级数收敛 级数发散 其和为 P 级数 2 无穷级数的基本性质 性质1 若级数 收敛于S 则各项 乘以常数c所得级数 也收敛 即 其和为cS 性质2 设有两个收敛级数 则级数 也收敛 其和为 说明 2 若两级数中一个收敛一个发散 则 必发散 但若二级数都发散 不一定发散 1 性质2表明收敛级
2、数可逐项相加或减 用反证法可证 性质3 在级数前面加上或去掉有限项 不会影响级数 的敛散性 性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级 的和 推论 若加括弧后的级数发散 则原级数必发散 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 性质5 设收敛级数 则必有 可见 若级数的一般项不趋于0 则级数必发散 例1 判断级数的敛散性 解 该级数是下列两级数之差 故原级数收敛 比较审敛法 设 且存在 对一切 有 1 若强级数 则弱级数 2 若弱级数 则强级数 则有 收敛 也收敛 发散 也发散 是两个正项级数 常数k 0 3 正项级数审敛法 比较审敛法的极限形式 则有 两个级数同时收敛或发散 2 当l
3、0 3 当l 设两正项级数 满足 1 当0 l 时 的敛散性 例3 判别级数 解 根据比较审敛法的极限形式知 发散 比值审敛法 D alembert判别法 设 为正项级数 且 则 1 当 2 当 时 级数收敛 或 时 级数发散 根值审敛法 Cauchy判别法 设 为正项 级数 且 则 因此级数 收敛 解 4 交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 Leibnitz判别法 若交错级数满足条件 则级数 收敛 5 绝对收敛与条件收敛 定义 对任意项级数 若 若原级数收敛 但取绝对值以后的级数发散 则称原级 收敛 数 绝对收敛 则称原级 数 条件收敛 绝对收敛的级数一定收敛 由绝对
4、收敛概念和莱布尼兹定理知 交错级数 例5 证明下列级数绝对收敛 证 而 收敛 收敛 因此 绝对收敛 判断数项级数敛散的方法 1 利用已知结论 等比级数 P 级数及级数性质 2 利用必要条件 主要判别发散 3 求部分和数列的极限 4 正项级数的审敛法 1 比值审敛法 根值审敛法 2 比较审敛法 或极限形式 5 交错级数审敛法 莱布尼兹定理 6 一般级数审敛法 先判断是否绝对收敛 如果绝对收敛则一定收敛 否则判断是否条件收敛 收敛 发散 1 Abel定理 若幂级数 则对满足不等式 的一切x幂级数都绝对收敛 反之 若当 的一切x 该幂级数也发散 时该幂级数发散 则对满足不等式 二 求幂级数收敛域 例
5、6 已知幂级数 在 处收敛 则该级数 在 处是收敛还是发散 若收敛 是条件收敛 还是绝对收敛 解 由Abel定理 该幂级数在 处绝对收敛 故在 绝对收敛 例7 已知 处条件收敛 问该级数收敛 半径是多少 答 根据Abel定理可知 级数在 收敛 时发散 故收敛半径为 若 的系数满足 1 当 0时 2 当 0时 3 当 时 则 的收敛半径为 2 求收敛半径 对端点x 1 的收敛半径及收敛域 解 对端点x 1 级数为交错级数 收敛 级数为 发散 故收敛域为 例8 求幂级数 例9 求下列幂级数的收敛域 解 1 所以收敛域为 2 所以级数仅在x 0处收敛 规定 0 1 例10 的收敛域 解 令 级数变为
6、 当t 2时 级数为 此级数发散 当t 2时 级数为 此级数条件收敛 因此级数的收敛域为 故原级数的收敛域为 即 三 求函数的幂级数展开式 1 对函数作恒等变形 如果需要的话 2 利用已知结论 用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数 3 写出收敛范围 的幂级数展开式 展开成 解 例10 求函数 微分方程 一 微分方程的基本概念 二 解微分方程 三 微分方程应用 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 一 微分方程的基本概念 的阶 例如 一阶微分方程 二阶微分方程 使方程成为恒等式的函数 通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条
7、件 初始条件 或边值条件 的阶数相同 特解 微分方程的解 不含任意常数的解 定解条件 其图形称为积分曲线 例1 验证函数 是微分方程 的解 解 是方程的解 二 解微分方程 1 一阶微分方程 可分离变量 一阶线性 2 高阶微分方程 可降阶微分方程 二阶线性常系数齐次 二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式 分离变量方程的解法 2 两边积分 3 得到通解 称 为方程 的隐式通解 或通积分 1 分离变量 例2 求微分方程 的通解 解 分离变量得 两边积分 得 即 C为任意常数 因此可能增 减解 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式 若Q x 0 称为非齐次方程 1 解齐次方程 分离变量 两边积
8、分得 故通解为 称为齐次方程 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2 解非齐次方程 用常数变易法 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 解 例3 利用一阶线性方程的通解公式得 例4 解方程 解 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 令 因此 即 同理可得 依次通过n次积分 可得含n个任意常数的通解 型的微分方程 例5 解 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分 得原方程的通解 例6 求解 解 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 型的微分方程 令 故方
9、程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分 得原方程的通解 例7 求解 代入方程得 两端积分得 一阶线性齐次方程 故所求通解为 解 例8 解初值问题 解 令 代入方程得 积分得 利用初始条件 根据 积分得 故所求特解为 得 二阶线性齐次方程解的结构 是二阶线性齐次方程 的两个解 也是该方程的解 定理1 机动目录上页下页返回结束 定理2 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解 则 数 是该方程的通解 例如 方程 有特解 且 常数 故方程的通解为 自证 特征方程 实根 二阶线性常系数齐次微分方程求解 例9 的通解 解 特征方程 特征根 因此原方程的通解为 例10 求解初值问题 解 特征方程 有重根
10、因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 例11 的通解 解 特征方程 特征根 因此原方程通解为 例12 解 因 是一个特解 所以 是特征 方程的重根 故特征方程为 所对应微分方程为 二阶线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程 的一个特解 Y x 是相应齐次方程的通解 定理3 则 是非齐次方程的通解 2 若 是特征方程的单根 特解形式为 3 若 是特征方程的重根 特解形式为 1 若 不是特征方程的根 特解形式为 的特解形式 解 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 特解形式为 例13 例13 的特解形式 解 本题 而特征方程为 其根为 特解形式为 三 微分方程应用 1 利用导数几何意义列方程 2 利用导数物理意义列方程 3 利用牛顿第二定律 求所满足的微分方程 例14 已知曲线上点P x y 处的法线与x轴交点为Q 解 如图所示 令Y 0 得Q点的横坐标 即 点P x y 处的法线方程为 且线段PQ被y轴平分 例15 成正比 求 解 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 对方程分离变量 然后积分 得 利用初始条件 得 代入上式后化简 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时 t 0 速度为0 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系 t足够大时
