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1、二次函数复习课 本章知识结构图 实际问题 二次函数 实际问题的答案 利用二次函数的图象和性质求解 目标 实际生活 二次函数 图像与性质 概念 应用 知识结构 知识梳理 1 二次函数的概念 形如y a b c为常数 的函数叫做二次函数 ax2 bx c a 2 二次函数的图象是一条 抛物线 二次函数的解析式 一般式 y ax2 bx c a 0 有3个待定系数a b c 顶点式 y a x h k a 0 有3个待定系数a h k 交点式 两根式 y a x x1 x x2 其中x1 x2为两交点的横坐标 它有3个待定系数a x1 x2 练习 函数 当m 时 它是二次函数 1 3 二次函数图象的
2、性质 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 二次函数图象的性质 a 0开口向上 a 0开口向下 x h h k y最小 k y最大 k y最小 y最大 在对称轴左边 x y 在对称轴右边 x y 在对称轴左边 x y 在对称轴右边 x y 1 抛物线 的对称轴是 顶点坐标是 练习 当x 时 y有最值 此值是 1 1 直线X 1 1 大 1 3 二次函数y x2 x 6的图象开口向 顶点坐标是 对称轴是 上 2 2015 河南 已知点A 4 y1 B y2 C 2 y3 都在二次函数y x 2 2 1的图象上 则y1 y2 y3的大小关系是 y2 y1 y3 二次函数y x2 x 6的图象顶
3、点坐标是 对称轴是 画二次函数的大致图象 画对称轴 确定顶点 确定与y轴的交点 确定与x轴的交点 确定与y轴交点关于对称轴对称的点 连线 0 6 2 0 3 0 1 6 二次函数y x2 x 6的图象顶点坐标是 对称轴是 0 6 2 0 3 0 1 6 增减性 当时 y随x的增大而减小当时 y随x的增大而增大 最值 当时 y有最值 是 小 函数值y的正负性 当时 y 0当时 y 0当时 y 0 x3 x 2或x 3 2 x 3 4 如图 抛物线y ax2 bx c 请判断下列各式的符号 a0 c0 b2 4ac0 b0 x y O 练习 变式1 若抛物线的图象如图 则a 变式2 若抛物线的图象
4、如图 则 ABC的面积是 小结 a决定开口方向 c决定与y轴交点位置 b2 4ac决定与x轴交点个数 a b结合决定对称轴 5 2015 福建泉州 在同一平面直角坐标系中 函数y ax2 bx与y bx a的图象可能是 练习 C A B C D y ax2 y ax2 k y a x h 2 y a x h 2 k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 结论 一般地 抛物线y a x h 2 k与y ax2形状相同 位置不同 把抛物线y ax2向上 下 向左 右 平移 可以得到抛物线y a x h 2 k 平移的方向 距离要根据h k的值来决定 练习 将向左平移3个单位 再向下平移2个单位后
5、 所得的抛物线的关系式是 4 抛物线y a x h 2 k图象的移动 用待定系数法求二次函数解析式 要根据给定条件的特点选择合适的方法来求解 一般地 在所给条件中已知顶点坐标时 可设顶点式y a x h 2 k 在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴 可设交点式y a x x1 x x2 在所给的三个条件是任意三点时 可设一般式y ax2 bx c 然后组成三元一次方程组来求解 5 求二次函数解析式 练习 1 求经过 2 0 0 2 1 0 三点的抛物线的解析式 练习 2 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道 其高度为6米 宽度OM 12米 现以O点为原
6、点 OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系 如图所示 1 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标 2 求出这条抛物线的函数关系式 解 1 点M的坐标是 12 0 点P的坐标是 6 6 2 设此抛物线解析式为y a x 6 2 6 又因为它经过 0 0 则0 a 0 6 2 6 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系 有两个交点 有两个不相等的实数根 只有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0 6 二次函数图象与一元二次方程的根的关系 练习1 2010 济南 在平面直角坐标系中 抛物线y x2 1与x
7、轴的交点的个数是 A 3B 2C 1D 0 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2 bx c 0的根 B 2 2010 金华 若二次函数y x2 2x k的部分图象如图所示 则关于x的一元二次方程 x2 2x k 0的一个解x1 3 另一个解x2 1 在日常生活 生产和科研中 常常会遇到求什么条件下可以使材料最省 时间最少 效率最高等问题 其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值 请举例说明如何分析 解决这样的问题 某果园有100棵橙子树 每一棵树平均结600个橙子 现准备多种一些橙子树以提高产量 但是如果多种树 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳
8、光就会减少 根据经验估计 每多种一棵树 平均每棵树就会少结5个橙子 那么果园共有多少棵橙子树 y 600 5x 100 x 5x2 100 x 60000 当x 10时 y最大 60500 我们得到表示增种橙子数的数量x 棵 与橙子总产量y 个 的二次函数表达式 试着自己分析 得出结论 7 二次函数的应用 求k的值 所示的直角坐标系中 铅球的运行路线近似为抛物 线 求铅球的落点与丁丁的距离 一个1 5m的小朋友跑到离原点6米的地方 如图 他会受到伤害吗 练习 求k的值 参考答案 1 5 所以 这个小朋友不会受到伤害 B 综合练习 1 抛物线y x2向上平移2个单位 再向右平移3个单位可得到抛物
9、线 2 2014年海南中考题 将抛物线y x2平移得到抛物线y x 2 2 则这个平移过程正确的是 A 向左平移2个单位B 向右平移2个单位C 向上平移2个单位D 向下平移2个单位 A 练习 3 将函数y x2 6x 7进行配方正确的结果应为 8 4 2014年河南 已知抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴交于A B两点 若点A的坐标为 2 0 抛物线的对称轴为直线x 2 则线段AB的长为 C 解析 根据点A到对称轴x 2的距离是4 又点A 点B关于x 2对称 AB 8 练习 5 2015 山东莱芜 二次函数的图象如图所示 则一次函数的图象不经过 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D
10、第四象限 D 6 2010 天津 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 有下列结论 b2 4ac 0 abc 0 8a c 0 9a 3b c 0 其中 正确结论的个数是 A 1B 2C 3D 4 由图象知 抛物线与x轴有两个交点 则b2 4ac 0 故 正确 与y轴交于负半轴 则c0 对称轴x 1 b 2a0 故 正确 当x 2时 y 0 此时y 4a 2b c 4a 2 2a c 8a c 0 故 正确 x 1是抛物线的对称轴 由图象知抛物线与x轴的正半轴的交点在3与4之间 则当x 3时 y 0 即y 9a 3b c 0 正确 即正确结论有4个 故选D D B 7 20
11、10 兰州 二次函数y 3x2 6x 5的图象的顶点坐标是 A 1 8 B 1 8 C 1 2 D 1 4 解答 1 y 3x2 6x 5 3 x2 2x 5 3 x2 2x 1 3 5 3 x 1 2 8 顶点坐标是 1 8 故选A 也可用公式求顶点坐标 A 9 2015 湖南省益阳市 若抛物线y x m 2 m 1 的顶点在第一象限 则m的取值范围为 A m 1B m 0C m 1D 1 m 0 8 2015 四川乐山 二次函数的最大值为 A 3B 4C 5D 6 C 10 根据图1中的抛物线 当x时 y随x的增大而增大 当x时 y随x的增大而减小 当x时 y有最大值 2 2 2 11 2
12、010 河北 如图 已知抛物线y x2 bx c的对称轴为x 2 点A B均在抛物线上 且AB与x轴平行 其中点A的坐标为 0 3 则点B的坐标为 A 2 3 B 3 2 C 3 3 D 4 3 D 练习 12 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 求此函数解析式 6 3 2 2 1 方法一 一般式 方法二 顶点式 方法三 交点式 2 知识拓展 一般式 解 依题意把点 2 0 6 0 0 3 可得 4a 2b c 0c 336a 6b c 0解得 a b 1c 3所以二次函数的解析式为 顶点式 解 因为二次函数的对称轴为x 2 所以可设函数的解析式为 y a x 2 2 k 把点 2 0
13、 0 3 代入可得 16a k 04a k 3解得a k 4所以二次函数的解析式为 交点式 解 因为抛物线与x轴相交的两个点的坐标为 2 0 6 0 可设该函数的解析式为 y a x 6 x 2 把点 0 3 代入得 3 12a解得 a 所以二次函数的解析式为 13 2014 海南 如图 对称轴为直线x 2的抛物线经过A 1 0 C 0 5 两点 与x轴另一交点为B 已知M 0 1 E a 0 F a 1 0 点P是第一象限内的抛物线上的动点 1 求此抛物线的解析式 解 1 对称轴为直线x 2 设抛物线解析式为y a x 2 2 k 将A 1 0 C 0 5 代入得 解得 y x 2 2 9
14、x2 4x 5 14 2009 海南 如图12 已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E 顶点M的坐标为 2 4 矩形ABCD的顶点A与点O重合 AD AB分别在x轴 y轴上 且AD 2 AB 3 1 求该抛物线所对应的函数关系式 2 将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图12所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动 同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动 设它们运动的时间为t秒 0 t 3 直线AB与该抛物线的交点为N 如图13所示 当t 时 判断点P是否在直线ME上 并说明理由 设以P N C D为顶点的多边形面积为S 试问S是否存在最大值 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说
15、明理由 14 2009 海南 如图12 已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E 顶点M的坐标为 2 4 矩形ABCD的顶点A与点O重合 AD AB分别在x轴 y轴上 且AD 2 AB 3 1 求该抛物线所对应的函数关系式 解 1 因所求抛物线的顶点M的坐标为 2 4 故可设其关系式为 又抛物线经过O 0 0 于是得 解得a 1 所求函数关系式为 即 15 2015 贵州六盘水 如图5 假设篱笆 虚线部分 的长度16m 则所围成矩形ABCD的最大面积是 A 60m2B 63m2C 64m2D 66m2 C 解 设BC xm 则AB 16 x m 矩形ABCD面积为ym2 根据题意得 y 16
16、x x x2 16x x 8 2 64 当x 8m时 y最大 64m2 则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2 练习 16 如图 隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD组成 矩形的长BC为8米 宽AB为2米 以BC所在的直线为x轴 以BC的中垂线为y轴 建立直角坐标系 y轴是抛物线的对称轴 顶点E到坐标原点的距离为6米 1 求抛物线的解析式 2 现有一货车卡高4 2米 宽2 4米 这辆车能否通过该隧道 请说明理由 3 若该隧道内设双行道 该辆车还能通过隧道吗 请说明理由 GO GO 2 现有一货车卡高4 2米 宽2 4米 这辆车能否通过该隧道 请说明理由 解 把x 1 2代入中 解得y 5 64 4 2 5 64 这辆车能通过该隧道 3 若该隧道内设双行道 现有一货车卡高4 2米 宽2 4米 这辆车能否通过该隧道 请说明理由 解 把x 2 4代入中 解得y 4 56 4 2 4 56 这辆车能通过该隧道 课堂小结 1 二次函数的概念 二次函数的概念 函数y a b c为常数 其中 叫做二次函数 2 二次函数的图象 二次函数的图象是一条抛物线 3 二次函数的性质 包括抛物线的三要素 最
