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1、2011年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛八 年 级 决 赛 试 题(时量:120分钟 满分:100分)一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)(请将惟一正确的选项代号填在下面的答题卡内)题号12345678910答案1、多项式的值总为( )A、非负数 B、零 C、负数 D、正数2、比较2,的大小,正确的是( )A、 B、 C、 D、3、当时,=( )A、 B、 C、 D、4、设 0,则之间的大小关系是( )A、M P N B、N P M C、P M N D、P N M 5、下列五个命题:若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;若点在第三象限,则点在第一象限;连结对
2、角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等. 其中正确的命题的个数是( )A、2个 B、3个 C、4个 D、5个6、在ABC中,AC=5,中线AD=4,则AB的取值范围是( )A、3 AB 13 B、5 AB 13 C、9 AB 13 D、1 AB 9第7题7、如图,直线和双曲线()交于A、B两点,P是线段AB上的点(不与A、B重合),过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别为C、D、E,连接OA、OB、OP,设AOC的面积为、BOD的面积为、POE的面积为,则有( )A、 B、 C、 D、8、有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品. 若购铅笔3
3、支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元. 现购铅笔、练习本、圆珠笔各1件,共需( )A、1.2元 B、1.05元 C、0.95元 D、0.9元9、关于的方程的解是正数,则的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、10、如图所示,已知ABC和DCE均是等边三角形,点B、ADCB第10题EGFOC、E在同一条直线上,AE与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC、FG,则下列结论:AEBD;AGBF;FGBE;BOCEOC,其中正确结论的个数( )A、1个 B、2个 C、3个 D、4个二、填空题(本题有8小题,每小题3分,
4、共24分)11、若,则 .12、已知,若,则.13、分解因式: . 14、如图,DCAB,BAE =BCD,AEDE,D = 130,则B = .第14题第15题第17题15、如图是根据某初中为地震灾区捐款的情况而制作的统计图,已知该校在校学生有2000人,请根据统计图计算该校共捐款 元16、设多项式,已知当0时,;当时,则当时, .17、如图,直线过点A(0,2),且与直线A1A3A2B1B2B3M1M2M3COxy第18题交于点P(1,m),则关于的不等式组mxkx+bmx2的解集是_.18、如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形 OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1;以M1A
5、1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1,对角线A1 M1和A2B2 交于点M2;以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2,对角线A1 M2和A3B3 交于点M3;,依次类推,这样作的第n个正方形对角线交点的坐标为Mn _三、解答题(本题有4小题,共46分)19、(本题满分12分) “六一”前夕,某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套,并且购进的三种玩具都不少于10套,设购进A种玩具套,B种玩具套,三种电动玩具的进价和售价如右表所示型 号C进价(元套)405550售价(元套)508065 用含、的代数式表示购进C种玩具的套数; 求与之间的函数关系式; 假
6、设所购进的这三种玩具能全部卖出,且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元求出利润P(元)与(套)之间的函数关系式;求出利润的最大值,并写出此时三种玩具各多少套20、(本题满分12分)如图,在正方形ABCD中,E是AB边上任意一点,BGCE,垂足为点O,交AC于点F,交AD于点G.(1)证明:BE=AG;EBAOFGCD(2)点E位于什么位置时,AEF=CEB,说明理由.21、(本题满分12分)在平面直角坐标系内有两点A(-2,0),B(4,0)和直线.在直线上是否存在点P,使为直角三角形,若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.22、(本题满分10分) 已知a,b是实数,若
7、关于x,y的方程组有整数解,求a,b满足的关系式.2011年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛八年级试题参考答案与评分标准一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)题号12345678910答案ACBDBACBDD二、填空题(本题有8小题,每小题3分,共24分)11、 12、-1 13、 14、40 15、2518016、-17 17、 18、(1,)或另一书写形式(,)三、解答题(本题有4小题,共46分)19、(本题满分12分)解:解:(1)购进C种玩具套数为:50xy(或47xy)2分(2)由题意得, 整理得 5分(3)利润销售收入进价其它费用6分又整理得 7分购进C种电动
8、玩具的套数为:据题意列不等式组,解得 9分x的范围为,且x为整数 的最大值是23 10分在中,0 P随x的增大而增大当x取最大值23时,P有最大值,最大值为595元此时购进A、B、C种玩具分别为23套、16套、11套 12分1EBAOFGCD3220、(本题满分12分)解(1)证明:四边形ABCD是正方形,ABC=BAD=90,1+3=90,BGCE,BOC=902+3=90,1=2. 2分在GAB和EBC中,GAB=EBC=90,AB=BC,1=2; GABEBC (ASA) 5分AG=BE. 6分(2)解:当点E位于线段AB中点时,AEF=CEB. 7分理由如下:若当点E位于线段AB中点时
9、,则AE=BE,由(1)可知,AG=BE AG=AE. 四边形ABCD是正方形,GAF=EAF=45.8分又AF=AF,GAFEAF (SAS),AGF=AEF. 10分由(1)知,GABEBC AGF=CEB,AEF=CEB. 12分21、(本题满分12分)解:(1)如果点A或点B为直角顶点,则点的横坐标为-2或4.易得, 4分(2)如果点P为直角顶点,则线段AB为斜边,AB=6,AB的中点为,连结PC,则PC=3. 6分设P点的坐标为,作于点D,则,即, 8分整理得 解得,.相应地 ,. ,11分综上,在直线上存在四个点P:,使为直角三角形 12分22、(本题满分10分)解:将代入,消去a、b,得,即. 4分若x+1=0,即,则上式左边为0,右边为不可能,所以x+10.于是.因为x、y都是整数,所以,即或0,进而y=8或0. 故 或 8分当时,代入得,;当时,代入得,.综上所述,a、b满足关系式是,或者,a是任意实数.10分