系统动力学第五章

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1、1 南京农业大学南京农业大学管理工程系管理工程系 Nanjing Agricultural UniversityDepartment of Management Engineering 第五章 一阶系统第五章 一阶系统 2 本章主要内容本章主要内容 5 1 概述5 1 概述 5 2 一阶系统的数学描述5 2 一阶系统的数学描述 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 5 4 正反馈系统5 4 正反馈系统 5 5 负反馈系统5 5 负反馈系统 5 6 负反馈系统补偿特性5 6 负反馈系统补偿特性 5 7 S形增长的反馈结构5 7 S形增长的反馈结构 3 5 1 概述5 1 概述 1

2、 系统的1 系统的 阶阶 是如何定义 系统阶数是由该系统所包含的状态变量数决定 是如何定义 系统阶数是由该系统所包含的状态变量数决定 2 为什么要研究一阶系统 2 为什么要研究一阶系统 1 现实系统存在许多简单的一阶 二阶等低阶系统 现实系统存在许多简单的一阶 二阶等低阶系统 2 复杂高阶系统可分解成多个低阶子系统 复杂高阶系统可分解成多个低阶子系统 3 反馈系统中 系统的行为是由某些主回路和某些主要 变量决定的 因此在系统特定发展阶段 可以把高阶系统简 化为低阶系统 甚至简化为一阶系统 反馈系统中 系统的行为是由某些主回路和某些主要 变量决定的 因此在系统特定发展阶段 可以把高阶系统简 化为

3、低阶系统 甚至简化为一阶系统 4 5 2 一阶系统的数学描述5 2 一阶系统的数学描述 1 状态方程1 状态方程 系统状态方程的通式系统状态方程的通式 一阶系统的状态方程一阶系统的状态方程 m 1 r 0且为时不变系统且为时不变系统 则一阶自由时不变系统的状态方 程为 一阶自由时不变系统的状态方 程为 tfUXX rm RURX xfx 5 5 2 一阶系统的数学描述5 2 一阶系统的数学描述 1 状态方程1 状态方程 一阶系统的状态方程 泰勒级数展开 一阶系统的状态方程 泰勒级数展开 1 保留常数项 则其微分方程的解为 保留常数项 则其微分方程的解为 L 2 210 xaxaaxfx 0 a

4、x ctax 0 6 5 2 一阶系统的数学描述5 2 一阶系统的数学描述 1 状态方程1 状态方程 一阶系统的状态方程 泰勒级数展开 一阶系统的状态方程 泰勒级数展开 2 保留一次项 则其微分方程的解为 保留一次项 则其微分方程的解为 L 2 210 xaxaaxfx xaaxfx 10 1 0 0 1 a a exx ta 7 5 2 一阶系统的数学描述5 2 一阶系统的数学描述 1 状态方程1 状态方程 一阶系统的状态方程 泰勒级数展开 一阶系统的状态方程 泰勒级数展开 3 保留二次项 则其微分方程的解为 保留二次项 则其微分方程的解为 c为常数 时 为常数 时 x 趋向于定值 曲线呈趋

5、向于定值 曲线呈S形增长 形增长 L 2 210 xaxaaxfx 2 210 xaxaaxfx ta ta cea cea x 1 1 2 1 1 taa 0 0 21 8 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 1 一阶正反馈系统及其参数1 一阶正反馈系统及其参数 1 存量流量图 1 存量流量图 图5 1 一阶正反馈系统的存量流量图图5 1 一阶正反馈系统的存量流量图 LEV状态1 RT速率2 CONST常数 9 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 1 一阶正反馈系统及其参数1 一阶正反馈系统及其参数 2 方程基本形式 变形为 当时 用 2 方程基本形式 变

6、形为 当时 用t表示时间间隔 则有表示时间间隔 则有 JKRTDTJLEVKLEV JKRTDTJLEVKLEV 0 DT tRTdttdLEV 10 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 1 一阶正反馈系统及其参数1 一阶正反馈系统及其参数 2 方程基本形式 假定 其中 2 方程基本形式 假定 其中CONST为常数 称为比例 常数 则 一阶正反馈系统 其对应系统的行为发展呈指数变化 本质 是自增强 加大偏离 为常数 称为比例 常数 则 一阶正反馈系统 其对应系统的行为发展呈指数变化 本质 是自增强 加大偏离 CONSTtLEVtRT tCONST eLEVtLEV CONST

7、tLEVtRTdttdLEV 0 11 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 1 一阶正反馈系统及其参数1 一阶正反馈系统及其参数 3 时间常数 3 时间常数T T 时间常数时间常数T 就是就是CONST的倒数 即 时间常数和时间量纲相同 的倒数 即 时间常数和时间量纲相同 CONST T 1 0 73 2 0 1 0 1 LEVeLEVTLEV CONST T eLEVTLEV TT TCONST 12 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 1 一阶正反馈系统及其参数1 一阶正反馈系统及其参数 3 时间常数 3 时间常数T T T 的含义 当系统经历一个时间常

8、数的含义 当系统经历一个时间常数T发展后 系统的状态 变量值为初始状态值的 发展后 系统的状态 变量值为初始状态值的2 73倍 倍 在一阶正反馈系统中 时间常数用来描述系统增长或减少速 度 当 在一阶正反馈系统中 时间常数用来描述系统增长或减少速 度 当T大时 说明系统发展变化较慢 对应大时 说明系统发展变化较慢 对应LEV t 曲线就 比较平缓 反之则比较陡 曲线就 比较平缓 反之则比较陡 0 73 2 LEVTLEV 13 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 1 一阶正反馈系统及其参数1 一阶正反馈系统及其参数 4 倍增时间 4 倍增时间T Td d 定义 倍增时间为系统

9、的变量由初始值增至其二倍初始值所 需的时间 用 定义 倍增时间为系统的变量由初始值增至其二倍初始值所 需的时间 用Td表示 则 说明系统经过 表示 则 说明系统经过Td 0 69T后 其值就增加一倍 后 其值就增加一倍 TTT CONST T LEVeLEVTLEV d TCONST d d 69 02ln 1 0 2 0 14 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 1 一阶正反馈系统及其参数1 一阶正反馈系统及其参数 4 倍增时间 4 倍增时间T Td d 图5 2 图5 2 T Td d 与 与T T 的关系图的关系图 15 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要

10、参数 2 一阶负反馈系统及其参数2 一阶负反馈系统及其参数 1 存量流量图 1 存量流量图 图5 3 一阶负反馈系统的存量流量图图5 3 一阶负反馈系统的存量流量图 LEV状态1 RT速率2 CONST 比例常数 DISC 偏差3GL 16 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 2 一阶负反馈系统及其参数2 一阶负反馈系统及其参数 2 方程基本形式 变形为 2 方程基本形式 变形为 KLEVGLKDISC KDISCCONSTJKRT JKRTDTJLEVKLEV KLEVGLCONST DT JLEVKLEV 17 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 2 一

11、阶负反馈系统及其参数2 一阶负反馈系统及其参数 2 方程基本形式 当时 用 2 方程基本形式 当时 用t表示时间间隔表示时间间隔DT 则有 解得 一阶负反馈系统具有自动朝着期望目标发展 缩小系统与期 望目标之间偏差的性质 则有 解得 一阶负反馈系统具有自动朝着期望目标发展 缩小系统与期 望目标之间偏差的性质 0 DT tLEVGLCONSTdttdLEV tCONST eLEVGLGLtLEV 0 18 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 2 一阶负反馈系统及其参数2 一阶负反馈系统及其参数 3 时间常数 3 时间常数T T 时间常数时间常数T 就是就是CONST的倒数 即

12、时间常数和时间量纲相同 的倒数 即 时间常数和时间量纲相同 CONST T 1 0 1 0 1 0 1 LEVGLeLEVTLEV CONST T eLEVGLGLTLEV TCONST 0 632 0 0 LEVGLLEVTLEV 19 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 2 一阶负反馈系统及其参数2 一阶负反馈系统及其参数 3 时间常数 3 时间常数T T T的含义 在一阶负反馈系统中 时间常数表示系统变量值 在初始值 的含义 在一阶负反馈系统中 时间常数表示系统变量值 在初始值LEV 0 基础上增长约为基础上增长约为0 632倍的偏差所需的时间 倍的偏差所需的时间 时间

13、常数时间常数T本质刻画系统变化快慢的量 由于一级负反馈系 统是使系统朝着期望目标方向发展 所以在一阶负反馈系统 中 时间常数 本质刻画系统变化快慢的量 由于一级负反馈系 统是使系统朝着期望目标方向发展 所以在一阶负反馈系统 中 时间常数T就是刻画系统靠近期望目标速度 就是刻画系统靠近期望目标速度 0 632 0 0 LEVGLLEVTLEV 20 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 2 一阶负反馈系统及其参数2 一阶负反馈系统及其参数 3 时间常数 3 时间常数T T 同理 同理 0 632 0 0 LEVGLLEVTLEV 3 632 0 3 4 2 632 0 2 3 6

14、32 0 2 TLEVGLTLEVTLEV TLEVGLTLEVTLEV TLEVGLTLEVTLEV 21 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 2 一阶负反馈系统及其参数2 一阶负反馈系统及其参数 3 时间常数 3 时间常数T T 表 5 1 t 100 0 0 LEVGL LEVtLEV 100 0 LEVGL tLEVGL 0 0 100 T 63 37 2T 86 14 3T 95 5 4T 99 1 22 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 2 一阶负反馈系统及其参数2 一阶负反馈系统及其参数 3 时间常数 3 时间常数T T 图5 4 负反馈系统

15、的发展过程图5 4 负反馈系统的发展过程 时间 0 63 GL LEV T 0 63 GL LEV 2T 0 63 GL LEV 0 23 5 3 一阶系统的重要参数5 3 一阶系统的重要参数 2 一阶负反馈系统及其参数2 一阶负反馈系统及其参数 4 减半时间 或半衰期 halving time 4 减半时间 或半衰期 halving time T Th h 定义 减半时间 或半衰期 为系统的变量由初始值减至其 一半初始值所需的时间 用 定义 减半时间 或半衰期 为系统的变量由初始值减至其 一半初始值所需的时间 用Th表示 则 说明系统经过 表示 则 说明系统经过Td 0 69T后 其值就减至初始值的一半 后 其值就减至初始值的一半 TTT CONST T LEVeLEVGLGLTLEV h TCONST h h 69 02ln 1 0 2 1 0