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1、二次函数复习 2014最新人教版九年级上册数学 一 二次函数概念 形如y ax2 bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 其中二次项为ax2 一次项为bx 常数项c 二次项的系数为a 一次项的系数为b 常数项c 练习 1 y x y 2x 2 x y 100 5x y 3x 2x 5 其中是二次函数的有 个 2 当m 时 函数y m 1 2 1是二次函数 二 二次函数图象 y ax2 y a x h 2 y a x h 2 k y ax2 bx c y ax2 k 顶点式 一般式 配方 平移 直线x 0 直线x h 直线x h 0 0 h 0 h k a 0 x 0 y最小 0
2、 a 0当x h y最小 0 a 0当x h y最小 k a 0 x h y随x增大而减小x h y随x增大而增大 a 0 x b 2a y随x增大而减小x b 2a y随x增大而增大 2 二次函数图象的画法 顶点坐标 与X轴的交点坐标 与Y轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点 x1 0 x2 0 0 c c x1 x2 O x y c c 对称轴直线x 1 y 2 x 2 2是由向平移个单位得到 2 y 2x2 2是由向平移个单位得到 3 y 2 x 2 2 3是由向平移个单位 再向平移个单位得到 4 y 2x2 4x 5是由向平移个单位 再向平移个单位得到 5 y 2x2向左平移2个单位 再
3、向下平移3个单位得到函数解析式是 y 2 x 2 2 3 y 2x2 左 2 y 2x2 下 2 y 2x2 右 2 上 3 y 2x2 左 1 下 7 6 已知二次函数y x2 4x 5 求下列问题 y 2 x 1 2 8 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 怎样平移 x在什么范围 y随x增大而增大 与坐标轴的交点坐标 与x轴的交点坐标为A B 与y轴的交点为C 则S ABC 在抛物线上是否存在点P 使得S ABP是 ABC面积的2倍 若存在 请求出点P的坐标 若不存在 请说明理由 当x为何值时 y 0 7 已知二次函数y x2 bx c的顶点坐标 1 2 求b c的值 8 已知二次函数y x
4、2 4x c的顶点坐标在x轴上 求c的值 9 已知二次函数y x2 4x c的顶点坐标在直线y 2x 1上 求c的值 2 已知抛物线顶点坐标 m k 通常设抛物线解析式为 3 已知抛物线与x轴的两个交点 x1 0 x2 0 通常设解析式为 1 已知抛物线上的三点 通常设解析式为 y ax2 bx c a 0 y a x m 2 k a 0 y a x x1 x x2 a 0 如何求抛物线解析式常用的三种方法 一般式 顶点式 交点式或两根式 4 公式法 1 已知一个二次函数的图象经过点 0 0 1 3 2 8 如何求下列条件下的二次函数的解析式 3 已知二次函数的图象的对称轴是直线x 3 并且经
5、过点 6 0 和 2 12 2 已知二次函数的图象的顶点坐标为 2 3 且图象过点 3 2 4 矩形的周长为60 长为x 面积为y 则y关于x的函数关系式 如何判别a b c b2 4ac 2a b a b c的符号 1 a的符号 由抛物线的开口方向确定 开口向上 a 0 开口向下 a 0 2 C的符号 由抛物线与y轴的交点位置确定 交点在y轴正半轴 c 0 交点在y轴负半轴 c 0 经过坐标原点 c 0 3 b的符号 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 a b同号 对称轴在y轴右侧 a b异号 对称轴是y轴 b 0 4 b2 4ac的符号 由抛物线与x轴的交点个数确定 与x轴有两个交点 b
6、2 4ac 0 与x轴有一个交点 b2 4ac 0 与x轴无交点 b2 4ac 0 1 已知y ax2 bx c的图象如图所示 a 0 b 0 c 0 abc 0b2 4ac 0a b c 0 a b c 04a 2b c 0 0 1 1 2 x 2 在同一直角坐标系中 一次函数y ax c和二次函数y ax2 c的图象大致为 B x y O 1 1 3 已知y ax2 bx c的图象如图所示 则下列说法正确的是 Aabc 0Ba 0 b2 4ac 0C当x 1时 函数有最大值为 1D当x 1时 函数有最小值为 1 D 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1 根据下列表格的对应值 判断方
7、程ax2 bx c 0 a 0 a b c为常数 一个解的范围是 3 x 3 23 3 23 x 3 24 3 24 x 3 25 3 25 x 3 26 C 1 函数y ax2 ax 3x 1的图象与x轴有且只有一个交点 那么a的值和交点坐标分别为 2 写出一个开口向下 对称轴是直线x 3 且与y轴交于 0 2 的抛物线解析式 练一练 3 把抛物线y 3x2绕着它的顶点旋转1800后所得的图象解析式是 y 3x2 4 已知二次函数y a x h 2 k的图象过原点 最小值是 8 且形状与抛物线y 0 5x2 3x 5的形状相同 其解析式为 y 0 5 x 16 2 8 5 若x为任意实数 则
8、二次函数y x2 2x 3的函数值y的取值范围是 y 2 6 抛物线y 2x2 4x 1是由抛物线y 2x2 bx c向左平移1个单位 再向下平移2个单位得到的 则b c 7 已知抛物线y 2x2 bx 8的顶点在x轴上 则b 8 3 8 8 已知y x2 12 k x 12 当x 1时 y随x的增大而增大 当x 1时 y随x的增大而减小 则k的值为 10 问题2这位同学身高1 7m 若在这次跳投中 球在头顶上方0 25m处出手 问 球出手时 他跳离地面的高度是多少 1 如图 有一次 我班某同学在距篮下4m处跳起投篮 球运行的路线是抛物线 当球运行的水平距离2 5m时 达到最大高度3 5m 然
9、后准确落入篮圈 已知篮圈中心到地面的距离为3 05m 3 05m 2 5m 3 5m 问题1建立如图所示的直角坐标系 求抛物线的解析式 4m 综合应用 中考必考题 2 你知道吗 平时我们在跳绳时 绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线 如图所示 正在甩绳的甲 乙两名学生拿绳的手间距为4米 距地面均为1米 学生丙 丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米 2 5米处 绳子甩到最高处时 刚好通过他们的头顶 已知学生丙的身高是1 5米 请你算一算学生丁的身高 1m 2 5m 4m 1m 甲 乙 丙 丁 0 1 4 1 1 1 5 3 在矩形荒地ABCD中 AB a BC b a b 0 今在四边上分别选取E
10、 F G H四点 且AE AH CF CG x 建一个花园 如何设计 可使花园面积最大 D C A B G H F E a b b 4 2014新疆生产建设兵团改编 如图 在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆 围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃 设花圃的宽AB为x米 面积为S平方米 1 求S与x的函数关系式及自变量的取值范围 2 当x取何值时所围成的花圃面积最大 最大值是多少 3 若墙的最大可用长度为8米 则求围成花圃的最大面积 解 1 AB为x米 篱笆长为24米 花圃宽为 24 4x 米 3 墙的可用长度为8米 2 当x 时 S最大值 36 平方米 S x 24 4x 4x2 24x 0 x
11、6 0 24 4x 84 x 6 当x 4m时 S最大值 32平方米 5 某企业投资100万元引进一条产品加工生产线 若不计维修 保养费用 预计投产后每年可创利33万 该生产线投产后 从第1年到第x年的维修 保养费用累计为y 万元 且y ax2 bx 若第1年的维修 保养费用为2万元 到第2年为6万元 1 求y的解析式 2 投产后 这个企业在第几年就能收回投资 解 1 由题意 x 1时 y 2 x 2时 y 2 4 6 分别代入y ax2 bx 得a b 2 4a 2b 6 解得 a 1 b 1 y x2 x 2 设g 33x 100 x2 x 则g x2 32x 100 x 16 2 156
12、 由于当1 x 16时 g随x的增大而增大 故当x 4时 即第4年可收回投资 6 某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时 能卖出500个 已知这种商品每个涨价一元 销量减少10个 为赚得最大利润 售价定为多少 最大利润是多少 分析 利润 每件商品所获利润 销售件数 设每个涨价x元 那么 3 销售量可以表示为 1 销售价可以表示为 50 x 元 x 0 且为整数 500 10 x 个 2 一个商品所获利润可以表示为 50 x 40 元 4 共获利润可以表示为 50 x 40 500 10 x 元 7 如图 已知直线y x 3与X轴 y轴分别交于点B C 抛物线y x2 bx c经过点
13、B C 点A是抛物线与x轴的另一个交点 1 求抛物线的解析式 解 令y 0 则 x 3 0 x 3 B 3 0 令x 0 则y 3 C 0 3 y x2 2x 3 3 0 0 3 7 如图 已知直线y x 3与X轴 y轴分别交于点B C 抛物线y x2 bx c经过点B C 点A是抛物线与x轴的另一个交点 1 求抛物线的解析式 2 若抛物线的顶点为D 求四边形ABDC的面积 1 4 1 0 1 0 解 S四边形ABDC S AOC S梯形OEDC S EBD 9 AO OC OC ED OE EB ED 7 如图 已知直线y x 3与X轴 y轴分别交于点B C 抛物线y x2 bx c经过点B
14、 C 点A是抛物线与x轴的另一个交点 4 第 3 题改为在直线y x 3上是否存在点P 使S PAC S PAB 若存在 求出点P的坐标 若不存在 说明理由 答案一样吗 3 若点P在直线BC上且S PAC S PAB 求P的坐标 P 3 0 0 3 x y o A B C Q 新课标教学网 海量教学资源欢迎下载 14 2014 乌鲁木齐 在平面直角坐标系xOy中 抛物线y mx 2x与x轴正半轴交于点A 顶点为B 新课标教学网 海量教学资源欢迎下载 1 求点B的坐标 用含m的代数式表示 2 已知点C 0 2 直线AC与BO交于点D 与该抛物线对称轴交于点E 且 OCD BED 求m的值 3 在
15、由 2 确定的抛物线上有一点N n 5 3 N在对称轴左侧 点F G在对称轴上 F在G的上方 且FG 1 当四边形ONGF的周长最小时 求点F的坐标 设点P在抛物线上 在y轴上是否存在点H 使以N F H P为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请直接写出点H的坐标 若不存在 请说明理由 14分 2013 乌鲁木齐 如图 在平面直角坐标系中 边长为的正方形ABCD的顶点A B在x轴上 连接OD BD BOD的外心I在中线BF上 BF与AD交于点E 1 求证 OAD EAB 2 求过点O E B的抛物线所表示的二次函数解析式 3 在 2 中的抛物线上是否存在点P 其关于直线BF的对称点在x轴上 若
16、有 求出点P的坐标 4 连接OE 若点M是直线BF上的一动点 且 BMD与 OED相似 求点M的坐标 解 1 证明 如答图1所示 连接ID IO I为 BOD的外心 IO ID 又F为OD的中点 IF OD DEF FDE AEB ABE 90 又 DEF AEB FED EBA 而DA BA 且 OAD EAB 90 OAD EAB 2 解 由 1 知IF OD 又BF为中线 BO BD AB 2 OA BO AB 2 由 1 知 OAD EAB AE OA 2 E 2 2 B 2 0 设过点O B E的抛物线解析式为y ax2 bx 则有 解得 抛物线的解析式为 y x2 x 3 解 直线BD与x轴关于直线BF对称 抛物线与直线BD的交点 即为所求之点P 由 2 可知 B 2 0 D 2 可得直线BD的解析式为y x 2 点P既在直线y x 2上 也在抛物线y x2 x上 x 2 x2 x 解此方程得 x 2或x 当x 2时 y x 2 0 当x 时 y x 2 2 点P的坐标为 2 0 与点B重合 或 2 4 解 DBO 45 BD BO BF OD EBA 22 5 由 1 知
