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1、用心 爱心 专心 高一数学高一数学二次函数的综合问题二次函数的综合问题人教版人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 二次函数的综合问题 二 教学重难点 含有参数的或在给定区间上的二次函数问题 讨论可化为二次函数的问题及二次函数 与方程 不等式的综合问题 典型例题典型例题 例 1 求函数 axxy 在 1 1 x上的最大值 解 解 函数 4 2 2 2 aa xy 图象的对称轴方程为 2 a x 应分1 2 1 a 1 2 a 1 2 a 即22 a 2 a和2 a这三种情形讨论 下列三图分别为 1 2 a 2 a 22 3 2 a时的草图 由图易知 2 1 22 2 2 1 af a
2、a f af y最大 即 2 1 22 4 2 1 2 aa a a aa y最大 例 2 已知函数 1 2 Rmmxmxxf 1 设 A B 是ABC 的两个锐角 且Atan Btan是方程04 xf的两个实 根 求证 5 m 2 当3 m时 函数 sin f的最大值是 8 求m的值 用心 爱心 专心 证明 证明 1 方程04 xf即为04 1 2 mxmx 依题意 得 04tantan 01tantan 0 4 4 1 2 mBA mBA mm 4 1 53 m m mm或 5 m 2 4 1 2 1 sinsin 1 sin sin 2 22 m m m mmf 3 m 而2 2 1 m
3、 当1sin 时 sin f取得最大值22 m 由题意知822 m 3 m 例 3 已知函数cbxxxf 2 b Rc 2 c cxfxF 当 2 2 x时 恒有0 xf 且对于任意实数 1 x 2 x 总有 2121 xxFxxF 2 21 xFxF 求函数 xf的解析式 解 解 由bxxxF 2 得 F 0 0 在 2 212121 xFxFxxFxxF 中 令0 1 x xx 2 得 0 2 xFFxFxF xFxF xF是偶函数 因此0 b cxxf 2 又 xf在 2 2 上恒有0 xf 所以0 2 2 ff 即02 c 亦即2 c 又 2 c 2 c 故 xf2 2 x 例 4 已
4、知二次函数 xf满足条件1 0 f及xxfxf2 1 1 求 xf 2 求 xf在区间 1 1 上的最大值和最小值 解 解 用心 爱心 专心 1 设cbxaxxf 2 由1 0 f 可知1 c baaxcbxaxcxbxaxfxf 2 1 1 1 22 故由xxfxf2 2 得22 a 0 ba 因而1 a 1 b 所以1 2 xxxf 2 4 3 2 1 1 22 xxxxf 1 1 2 1 所以当 2 1 x时 xf的最小值为 4 3 当1 x时 xf的最大值为3 1 f 例 5 某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以 58 万元的优惠价转让给企业乙 约 定乙用经营该店的利润偿还转让费
5、 不计息 已知经营该店的固定成本为 6 8 万元 月 该 消费品的进价为 16 元 件 月销售量q 万件 与售价p 元 的关系如图所示 1 写出销售q与售价p的函数关系式 2 当售价p定为多少时 月利润最多 3 企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费 O16 20 25 1 2 3 P 元 q 万件 解 解 1 根据函数图象得 2520 6 5 1 2016 7 4 1 pp pp q 2 设月利润为 W 万元 则 2520 8 6 16 6 5 1 2016 8 6 16 7 4 1 8 6 16 ppp ppp qpW 当2016 p时 2 2 22 4 1 2 pW 故20 p时
6、 2 1 max W 用心 爱心 专心 当2520 p时 3 23 5 1 2 pW 故23 p时 3 max W 当售价定为 23 元 件时 月利润最多为 3 万元 3 设最早n个月后还清转让费 则583 n 20 n 企业乙最早可望 20 个月后还清转让费 例 6 是否存在常数Rk 使函数 2 2 24 kxkxxf 在 1 上是减 函数且在 0 1 上是增函数 解法解法 1 设 2 xt 则原函数转化为 2 2 2 ktktthxf 那么问题就等价于是否存在常数Rk 使函数 2 2 2 ktktth 在 1 0 上是减函数且在 1 上是增函数 根据二次函数的性质知 只需1 2 2 k 故
7、4 k 解法解法 2 任取1 21 xx 则 12 xfxf 2 2 1 2 2 4 1 4 2 xxkxx 2 2 1 2 2 2 1 2 2 kxxxx 2 2 1 2 21221 kxxxxxx 由 xf在 1 上是减函数可知 对任意的1 21 xx 0 恒成立 所以有02 2 1 2 2 kxx恒成立 即2 2 1 2 2 xxk恒成立 1 21 xx 42112 2 1 2 2 xx 因此 当4 k时 0 恒成立 即当4 k时 函数 xf在 1 上是减函数 仿上可得当4 k时 函数 xf在 0 1 上是增函数 故存在常数4 k 使函数 2 2 24 kxkxxf 在 1 上是减函数
8、且在 0 1 上是增函数 例 7 已知函数 x axx xf 2 2 1 x 用心 爱心 专心 1 当 2 1 a时 求函数 xf的最小值 2 若对任意 1 x 0 xf恒成立 试求实数a的取值范围 解 解 1 当 2 1 a时 2 2 1 x xxf 先证 xf在区间 1 上为增函数 略 xf在区间 1 上的最小值为 2 7 1 f 2 解法解法 1 在区间 1 上 0 2 2 x axx xf恒成立 02 2 axx恒成立 1 1 2 22 axaxxy在 1 上递增 当1 x时 ay 3 min 于是当且仅当03 min ay时 函数0 xf恒成立 故3 a 解法解法 2 2 x a x
9、xf 1 x 当0 a时 函数 xf的值恒为正 当0 a时 函数 xf递增 故当1 x时 axf 3 min 于是当且仅当03 min axf时 函数0 xf恒成立 故30 a 综上 a的取值范围是3 a 例 8 已知函数cbxaxxf 2 cba 的图象上有两点 A 1 m 1 mf B 2 m 2 mf 且满足0 1 f 0 2121 2 mfmfamfmfa 1 求证 0 b 2 求证 xf的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是 3 2 证明 证明 1 0 2121 2 mfmfamfmfa 即0 21 mfamfa amf 1 或amf 2 1 m或 2 m是axf 即0 2 acbx
10、ax的实根 于是0 即 4 2 caab 0 1 f 0 cba将bca 代入上 述不等关系 得04 2 abb 即0 4 abb 又cba 用心 爱心 专心 必有0 a 0 c 否则与0 cba矛盾 034 caab 0 b 2 设0 2 cbxaxxf两根为 1 x 2 x 则一个根为 1 0 1 f 另一 根为 a c cba 且由上知0 cab 0 caa 12 a c 3 2 21 xx 模拟试题模拟试题 答题时间 70 分钟 一 选择题 1 设二次函数cbxaxxf 2 0 a 如果 21 xfxf 其中 21 xx 则 2 21 xx f 等于 A a b 2 B a b C c
11、 D a bac 4 4 2 2 二次函数abcxbaxy2 2 22 的图象的顶点在x轴上 且a b c为 ABC 的三边长 则ABC 为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 3 已知函数54 2 mxxxf在区间 2 上是增函数 则 1 f的范围是 A 25 1 f B 25 1 f C 25 1 f D 25 1 f 4 如图所示 是二次函数cbxaxy 2 的图象 则 OBOA 等于 A a c B a c C a c D 无法确定 x y O AB 5 bxaxy 2 与baxy 0 ab 的图象只可能是 用心 爱心 专心 6 若32 1 2 mxxmxf
12、为偶函数 则 xf在区间 5 2 上 A 是增函数 B 是减函数 C 增减性随m的变化而改变 D 无单调性 二 填空 1 已知函数 2 2 Rxbaxxxf 给出下列命题 xf必为偶函数 当 0 f 2 f 时 xf的图象必关于直线1 x对称 若0 2 ba 则 xf在区间 a上是增函数 xf有最大值ba 2 其中正确命题的序号是 2 若3 2 2 xaxy bax 的图象关于直线1 x对称 则 b 3 函数34 2 xxy 2 x 的反函数的定义域是 4 函数32 2 mxxxf 当 1 x时是减函数 当 1 x时是增 函数 则 2 f 三 解答题 用心 爱心 专心 1 已知二次函数cbxa
13、xxf 2 的图象与直线25 y有公共点 且不等式 0 2 cbxax的解是 3 1 2 1 x 求a b c的取值范围 2 已知函数2244 22 aaaxxxf在区间 0 2 上有最小值 3 求a的值 3 已知函数 322 2 abxaaxxf 1 当 6 2 x时 0 xf 当 2 x 6 时0 xf 求a b的值及 xf的表达式 2 设 16 2 1 4 4 kxkxf k xF k取何值时 函数 xF的值恒为 负值 4 设函数cbxxxf 2 2 1 bc 0 1 f 且方程01 xf有实根 1 证明 13 c 0 b 2 若m是方程01 xf的一个实根 判断 4 mf的正负并加以证
14、明 5 已知函数bxaxxf 4 2 0 a a Rb 设关于x的方程0 xf的 两根为 1 x 2 x xxf 的两实根为 1 若1 求a b关系式 2 若a b均为负整数 且1 求 xf解析式 3 若21 求证 7 1 1 21 xx 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一 1 D 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A 二 1 2 6 3 1 4 19 三 1 解 依题意025 2 cbxax有解 故0 25 4 2 cab 又不等式 0 2 cbxax的解是 3 1 2 1 x 0 a且有 6 1 a b 6 1 a c ab 6 1 ac 6 1 cb 代入0 得0 25 24 2
15、ccc 24 c 故得 a b c的取值范围为144 a 24 b 24 c 2 解 22 2 4 2 a a xxf 当0 2 a 时 即0 a时 函数 xf在 2 0 上是增函数 22 0 2 min aafxf 由22 2 aa3 得21 a 0 a 21 a 当2 2 0 a 即40 a时 2 min a fxf 22 a 由322 a 得 4 0 2 1 a 舍去 当2 2 a 即4 a时 函数 xf在 2 0 上是减函数 1810 2 2 min aafxf 由31810 2 aa 得105 a 4 a 105 a 综上所述 21 a或105 a 3 解 1 由题意知0 2 f 0
16、 6 f 即 02636 0224 32 32 abaa abaa 两式相减并注意到0 a 解得4 a 8 b 48164 2 xxxf 用心 爱心 专心 2 要使 16 2 1 4 48164 4 2 kxkxx k xF 24 2 xkx恒小于零 必须 084 0 2 k k 2 k 2 k时 xF恒为负数 4 证明 1 2 1 0210 1 c bcbf 又cb 1 故 3 1 3 2 1 1 cc c 方程01 xf有实根 即012 2 cbxx有实根 故0 1 44 2 cb 即30 1 4 1 2 ccc或1 c 13 c 由 2 1 c b知0 b 2 1 1 2 22 xcxcxcxcbxxxf 01 mf 1 mc 如图 cmc 344 0 14 4 4 mcmmf 4 mf的符号为正 x c1 m 5 解 1 由条件 03 2 bxax 0 a a Rb 有两实根为 则049 ab a 3 a b 1 1 49 4 2 2 a b a 2 49aab 94 2 aba 0 a a Rb 2 由 1 得9 4 aba 因a b均为负整数 用心 爱心 专心 则 94 1
