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1、第16章平行四边形的认识16.1平行四边形的性质 16.2矩形、菱形与正方形的性质 1. 矩形 2. 菱形 3. 正方形阅读材料 黄金矩形 16.3梯形的性质 阅读材料 四边形的变身术小结 复习题第16章平行四边形的认识平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美它是什么样的对称图形呢?它又具有哪些基本性质呢?读下去，你就会发现这些答案了16.1 平行四边形的性质平行四边形是随处可见的几何图形，本章导图上的桌面、书面甚至连在阳光照耀下它们的影子都是平行四边形回 忆我们知道，有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)你能从图16.1.1所示的图形中找出平行四
2、边形吗?图16.1.1两组对边分别平行，是平行四边形的一个主要性质除此之外，它还有什么性质呢?探 索如图16.1.2，按照下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形步骤1： 画两条平行线步骤2： 在两条线上分别取点A和点B，连结AB步骤3： 沿着水平方向平移AB到DC，就得到ABCD图16.1.2如图16.1.3，用剪刀把ABCD(可以先放大些)从方格纸上剪下，再在一张纸上沿ABCD的边沿，画出一个四边形，记为EFGH则四边形EFGH和ABCD完全一样，也为平行四边形它们的对应边、对应角都相等在ABCD中连结AC、BD，它们的交点记为O用一枚图钉在O点穿过，将ABCD绕点O旋转180观察旋转后的A
3、BCD和纸上所画的EFGH是否重合你能从中得出ABCD的一些边角关系吗?图16.1.3我们发现，旋转180之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心由此可以得到ADBC， ABDC，AC， BD即平行四边形的对边相等，对角相等例1如图16.1.4，在ABCD中，已知A40，求其他各个内角的度数图16.1.4解 在ABCD中，DB， CA40(平行四边形的对角相等)又 ADBC，B180-A180-40140，DB140例2如图16.1.5，在ABCD中，已知AB8，周长等于24，求其余三条边的长图16.1.5解 在ABCD中，ABDC， ADBC(平行四
4、边形对边相等)又AB8，AB+BC+CD+DA24， CD8，ADBC4练习1. 已知在ABCD中，A120，求其余各内角的度数2. 已知在ABCD中，AB5， BC3，求它的周长观 察在如图16.1.3那样的旋转过程中，你观察到OA与OC、OB与OD的关系吗?我们已经发现，ABCD是一个中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心，所以OAOC， OBOD即平行四边形的对角线互相平分例3如图16.1.6，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，AOB的周长为15，AB6，那么对角线AC与BD的和是多少?图16.1.6解 在ABCD中，已知AB6，AO+BO+AB15，AO+BO15-69又
5、AOOC， BOOD(平行四边形对角线互相平分)，AC+BD2AO+2BO2(AO+BO)18试一试如图16.1.7，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度图16.1.7经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图16.1.7中也可以看到这一点)这种现象说明了平行线的又一个性质：平行线之间的距离处处相等练习1. 在ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，指出图形中相等的线段 (第1题) (第2题)2. 如图，如果直线l1l2，那么ABC的面积和DBC的面积是相等的你能说出理由吗?你还能在这两条平行线l
6、1、l2之间画出其他与ABC面积相等的三角形吗?习题16.11. 如图，在ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足如果B55，那么D与DAE分别等于多少度?(第1题)2. 如图，在ABCD中，已知AC、BD相交于点O，两条对角线的和为厘米，CD的长为5厘米，求OCD的周长(第2题)3. 在ABCD中，A与B的度数之比为，求这个平行四边形各个内角的度数4. 如图，已知ABCD的周长为80cm，对角线AC与BD相交于点O，AOB的周长比AOD的周长小20cm，求这个平行四边形各边的长（第题）16.2 矩形、菱形与正方形的性质1. 矩形试一试如图16.2.1，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直
7、立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么?图16.2.1可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形(rectangle)，如图16.2.2所示图16.2.2平行四边形所具有的性质，矩形都具有，此外，矩形还具有另一些特有的性质，你能说出几条吗?作为特殊的平行四边形，矩形也是中心对称图形我们很容易发现矩形还是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线这样，我们可以列出矩形所具有的一些性质：矩形的四个内角都是直角矩形的对角线相等且互相平分图16.2.3例1如图16.2.3
8、，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?解 AOB、BOC、COD和AOD四个小三角形的周长和为86cm，又 ACBD13cm（矩形的对角线相等），AB+BC+CD+DA86-2(AC+BD) 86-41334（cm)，即矩形ABCD的周长等于34cm练习1. 如图，在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角 (第1题) (第2题)2. 如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且AOD120，你能说明 AC2AB 吗?例2如图16.2.4，在矩形ABCD中，AB3， BC4， BEAC于E试求出BE的长图16.
9、2.4解在矩形ABCD中，ABC90，AC5(勾股定理)又SABCABBCACBE，BE2.4练习1. 如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点试说明BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系 (第1题) (第2题)2. 如图，在矩形ABCD中，AOB60， AB3.6，试求AC与AD的长(精确到0.1)2. 菱形试一试将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢?这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形(rhombus)如图16.2.5，菱形是一组邻边相等的平行四边形。 图16.2.5 图16.2.6如图16.2.6，菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，
10、对称轴为它的对角线所在的直线这样，菱形具有以下的性质：菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角例3如图16.2.7，在菱形ABCD中，BAD2B，试求出B的度数，并说明ABC是等边三角形图16.2.7解(1) 在菱形ABCD中，B+BAD180(两直线平行，同旁内角互补)又BAD2B，B60(2) 在菱形中，（菱形的四条边都相等）， 在中，（等边对等角）又B+BAC+BCA180(三角形内角和等于180)，BACBCAB60ABBCAC(等角对等边)，即ABC是等边三角形菱形的应用非常广泛现在流行一种新式的衣帽架，可以根据需要将它伸缩，形成各种形状的菱形，固定在
11、墙上，既美观又实用 可伸缩的衣帽架练习练习1. 如图，在菱形ABCD中，AB5， OA4，求这一菱形的周长与两条对角线的长度(第1题)2. 试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半例4如图16.2.8，已知菱形ABCD的边长为2cm，BAD120，对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长图16.2.8解(1) 在菱形ABCD中，BAOBAD60(菱形的每一条对角线平分一组对角)又在ABC中，ABBC，BCABAC60(等边对等角)，ABC180-BCA-BAC60，ABC为等边三角形，ACAB2(cm)(2) 在菱形中，（菱形的对角线互相垂直）， 为直角三角形，
12、 (勾股定理)， (cm)练习1. 如图，已知菱形ABCD的边AB长5cm，一条对角线长6cm，求这个菱形的周长和它的面积 (第1题) (第2题)2. 如图，已知菱形ABCD的一条对角线BD恰好与其边AB的长相等，求这个菱形的各个内角的度数3. 正方形正方形(square)是我们早就熟悉的平面图形，如图16.2.9，在正方形ABCD中，四条边都相等，四个角都是直角所以正方形可以看作为：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形正方形是中心对称图形，也是轴对称图形 图16.2.9 图16.2.10例5如图16.2.10，在正方形 ABCD 中，求ABD、DAC、DOC的度数解 由于正方形是一个角
13、为直角的菱形，每一条对角线平分一组对角，且对角线互相垂直平分， ABDDAC901/245，DOC90正方形还有许多有趣的性质例如，如果要用给定长度的篱笆围成一个最大面积的四边形区域，那么应当把这区域的形状选成正方形练习1. 在下列图中，有多少个正方形?有多少个矩形? （）（）2. 已知正方形ABCD的边AB长2cm，求这个正方形的周长、对角线长和它的面积习题16.21. 如图，已知矩形ABCD的一条对角线AC长8cm，两条对角线的一个交角AOB60求这个矩形的周长(精确到0.1cm) (第1题) (第2题)2. 如图，已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD分别长6cm和8cm，求这个菱形的周长和它
