《复化梯形公式和复化Simpson公式PDF.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复化梯形公式和复化Simpson公式PDF.pdf（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、书 山 有 路 1 数值计算方法上机题目 3 一 计算定积分的近似值 2 2 1 x exe dx 要求 1 若用复化梯形公式和复化 Simpson 公式计算 要求误差限 7 10 2 1 分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估 计 2 分别利用复化梯形公式和复化 Simpson 公式计算定积分 3 将计算结果与精确解比较 并比较两种算法的计算量 1 复化梯形公式 程序 程序 1 求 f x 的 n 阶导数 syms syms x x f x exp x f x exp x 定义函数定义函数f f x x n n input input 输入所求导数阶数输入所求导数阶数 f f2 2
2、 diff f x n diff f x n 求求f x f x 的的n n阶导数阶导数 结果1 输入 n 2 f2 2 exp x x exp x 程序 2 clc 书 山 有 路 2 clear syms x 定义自变量x f inline x exp x x 定义函数f x x exp x 换函数时只需换该函数表达式 即可 f2 inline 2 exp x x exp x x 定义f x 的二阶导数 输入程序1里求出的 f2即可 f3 2 exp x x exp x 因fminbnd 函数求的是表达式的最小值 且要求表 达式带引号 故取负号 以便求最大值 e 5 10 8 精度要求值
3、a 1 积分下限 b 2 积分上限 x1 fminbnd f3 1 2 求负的二阶导数的最小值点 也就是求二阶导数的最大值 点对应的x值 for n 2 1000000 求等分数n Rn b a 12 b a n 2 f2 x1 计算余项 if abs Rn e 用余项进行判断 break 符合要求时结束 end end h b a n 求h Tn1 0 for k 1 n 1 求连加和 xk a k h Tn1 Tn1 f xk end Tn h 2 f a 2 Tn1 f b z exp 2 R Tn z 求已知值与计算值的差 fprintf 用复化梯形算法计算的结果 Tn disp Tn
4、 fprintf 等分数 n disp n 输出等分数 fprintf 已知值与计算值的误差 R disp R 输出结果显示 用复化梯形算法计算的结果 Tn 7 3891 等分数 n 7019 已知值与计算值的误差 R 2 8300e 008 书 山 有 路 3 2 Simpson 公式 程序 程序 1 求 f x 的 n 阶导数 syms x f x exp x 定义函数f x n input 输入所求导数阶数 f2 diff f x n 求f x 的n阶导数 结果1 输入 n 4 f2 4 exp x x exp x 程序 2 clc clear syms x 定义自变量x f inlin
5、e x exp x x 定义函数f x x exp x 换函数时只需换该函数表达式 即可 f2 inline 4 exp x x exp x x 定义f x 的四阶导数 输入程序1里求 出的f2即可 f3 4 exp x x exp x 因fminbnd 函数求的是表达式的最小值 且要 求表达式带引号 故取负号 一边求最大值 e 5 10 8 精度要求值 a 1 积分下限 b 2 积分上限 x1 fminbnd f3 1 2 求负的四阶导数的最小值点 也就是求四阶导数的 最大值点对应的x值 for n 2 1000000 求等分数n Rn b a 180 b a 2 n 4 f2 x1 计算余
6、项 if abs Rn 8 error 为了保证 NewtonCotes 积分的稳定性 最多只能 有 9 个等距节点 elseif nn 2 error fun 构成应为 第一列为 x 第二列为 y 并且个数 为小于 10 的等距节点 end xk fun 1 fk fun 2 a min xk b max xk n mm 1 elseif nargin 4 xk linspace a b n 1 if isa fun function handle fx fun xk else error fun 积分函数的句柄 且必须能够接受矢量输入 end else 书 山 有 路 6 error 输入
7、参数错误 请参考函数帮助 end Ck cotescoeff n Ak b a Ck y Ak fx 2 function Ck cotescoeff n for i 1 n 1 k i 1 Ck i 1 n k factorial k factorial n k n quadl t int fun t n k 0 n end 3 function f intfun t n k f 1 for i 0 k 1 k 1 n f f t i end 代码解释 function y Ck Ak NewtonCotes fun a b n y NewtonCotes fun a b n 牛顿 科特斯数
8、值积分公式 书 山 有 路 7 参数说明 fun 积分表达式 这里有两种选择 1 积 分 函 数 句 柄 必 须 能 够 接 受 矢 量 输 入 比 如 fun x sin x cos x 2 x y 坐标的离散点 第一列为 x 第二列为 y 必须等距 且 节点的个数小于 9 比如 fun 1 8 sin 1 8 如果 fun 的表采用第二种方式 那么只需要输入第一个参数即可 否则还要输入 a b n 三个参数 a 积分下限 b 积分上限 n 牛顿 科特斯数公式的阶数 必须满足 1 n 8 时 不能保证公式的稳定性 1 n 1 即梯形公式 2 n 2 即辛普森公式 3 n 4 即科特斯公式 y
9、 数值积分结果 Ck 科特斯系数 Ak 求积系数 Example fun1 x sin x 必须可以接受矢量输入 fun2 0 0 1 0 5 sin 0 0 1 0 5 最多 8 个点 必须等距 书 山 有 路 8 y1 NewtonCotes fun1 0 0 5 6 y2 NewtonCotes fun2 if nargin 1 mm nn size fun if mm 8 error 为了保证 NewtonCotes 积分的稳定性 最多只 能有 9 个等距节点 elseif nn 2 error fun 构成应为 第一列为 x 第二列为 y 并且 个数为小于 10 的等距节点 end
10、xk fun 1 fk fun 2 a min xk b max xk n mm 1 elseif nargin 4 计算积分节点 xk 和节点函数值 fx xk linspace a b n 1 if isa fun function handle fx fun xk else 书 山 有 路 9 error fun积分函数的句柄 且必须能够接受矢量输入 end else error 输入参数错误 请参考函数帮助 end 计算科特斯系数 Ck cotescoeff n 计算求积系数 Ak b a Ck 求和算积分 y Ak fx function Ck cotescoeff n 由于科特斯系
11、数最多 7 阶 为了方便我们可以直接使用 省 得每次都计算 A1 1 1 2 A2 1 4 1 6 A3 1 3 3 1 8 A4 7 32 12 32 1 90 A5 19 75 50 50 75 19 288 A6 41 216 27 272 27 216 41 840 书 山 有 路 10 A7 751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 751 17280 当时为了体现公式 我们使用程序计算 n 阶科特斯系数 for i 1 n 1 k i 1 Ck i 1 n k factorial k factorial n k n quadl t intfun t n k 0 n end function f intfun t n k 科特斯系数中的积分表达式 f 1 for i 0 k 1 k 1 n f f t i end 输出结果 fun x exp x a 1 b 1 n 4 NewtonCotes fun a b n 书 山 有 路 11 ans 2 3505 二 三点数值微分
