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1、书 山 有 路 1 中考中考数学数学几何最值问题解法几何最值问题解法 在平面几何的动态问题中 当某几何元素在给定条件变动时 求某几何量 如线段的长度 图形的周 长或面积 角的度数以及它们的和与差 的最大值或最小值问题 称为最值问题 解决平面几何最值问题的常用的方法有 1 应用两点间线段最短的公理 含应用三角形的三边关系 求最值 2 应用垂线段最短的性质求最值 3 应用轴对称的性质求最值 4 应用二次函数求最值 5 应用其它知识求最值 下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法 应用两点间线段最短的公理 含应用三角形的三边关系 求最值应用两点间线段最短的公理 含应用三角形的三边关系 求最值 典型例
2、典型例题 题 例例 1 1 20122012 山东济南山东济南 3 3 分 分 如图 MON 90 矩形 ABCD 的顶点 A B 分别在边 OM ON 上 当 B 在边 ON 上运动时 A 随之在边 OM 上运动 矩形 ABCD 的形状保持不变 其中 AB 2 BC 1 运动过程中 点 D 到 点 O 的最大距离为 A 21 B 5 C 145 5 5 D 5 2 答案 答案 A 考点 考点 矩形的性质 直角三角形斜边上的中线性质 三角形三边关系 勾股定理 分析 分析 如图 取 AB 的中点 E 连接 OE DE OD OD OE DE 当 O D E 三点共线时 点 D 到点 O 的距离最
3、大 此时 AB 2 BC 1 OE AE 1 2 AB 1 DE 2222 ADAE112 OD 的最大值为 21 故选 A 例例 2 2 20122012 湖北鄂州湖北鄂州 3 3 分 分 在锐角三角形 ABC 中 BC 24 ABC 45 BD 平分 ABC M N 分别是 BD BC 上的动点 则 CM MN 的最小值是 书 山 有 路 2 答案 答案 4 考点 考点 最短路线问题 全等三角形的判定和性质 三角形三边关系 垂直线段的性质 锐角三角函数定 义 特殊角的三角函数值 分析 分析 如图 在 BA 上截取 BE BN 连接 EM ABC 的平分线交 AC 于点 D EBM NBM
4、在 AME 与 AMN 中 BE BN EBM NBM BM BM BME BMN SAS ME MN CM MN CM ME CE 又 CM MN 有最小值 当 CE 是点 C 到直线 AB 的距离时 CE 取最小值 BC 4 2 ABC 45 CE 的最小值为4 2sin45 0 4 CM MN 的最小值是 4 例例 3 3 20112011 四川凉山四川凉山 5 5 分 分 如图 圆柱底面半径为2cm 高为9 cm 点 A B 分别是圆柱两底面圆周 上的点 且 A B 在同一母线上 用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B 求棉线最短为 cm 答案 答案 15 考点 考点 圆柱的展开
5、 勾股定理 平行四边形的性质 分析 分析 如图 圆柱展开后可见 棉线最短是三条斜线 第一条斜线与底面 圆周长 1 3 高组成直角三角形 由周长公式 底面圆周长为4 cm 1 3 高为 3 cm 根据勾股定理 得斜线长为5 cm 根据平行四边形的性质 棉线 最短为15 cm 例例 4 4 20122012 四川眉山四川眉山 3 3 分 分 在 ABC 中 AB 5 AC 3 AD 是 BC 边上的中线 则 AD 的取值范围是 书 山 有 路 3 答案 答案 1 AD 4 考点 考点 全等三角形的判定和性质 三角形三边关系 分析 分析 延长 AD 至 E 使 DE AD 连接 CE 根据 SAS
6、证明 ABD ECD 得 CE AB 再根据三角形的三边关系即可求解 延长 AD 至 E 使 DE AD 连接 CE BD CD ADB EDC AD DE ABD ECD SAS CE AB 在 ACE 中 CE AC AE CE AC 即 2 2AD 8 1 AD 4 练习题 练习题 1 1 20112011 湖北荆门湖北荆门 3 3 分 分 如图 长方体的底面边长分别为 2cm和 4cm 高为 5cm 若一只蚂蚁从 P 点 开 始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点 则蚂蚁爬行的最短路径长为 A 13cm B 12cm C 10cm D 8cm 2 2 20112011 四川广安四川广安
7、 3 3 分 分 如图 圆柱的底面周长为 6cm AC 是底面圆的直径 高 BC 6cm 点 P 是母线 BC 上一点 且 PC 2 3 BC 一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是 A 6 4 B 5cm C 3 5 D 7cm 3 3 20112011 广西广西贵港贵港 2 2 分分 如图所示 在边长为 2 的正三角形 ABC 中 E F G 分别为 AB AC BC 的中点 点 P 为线段 EF 上一个动点 连接 BP GP 则 BPG 的周长的最小值是 书 山 有 路 4 二 应用垂线段最短的性质求最值 二 应用垂线段最短的性质求最值 典型例题 典型例题 例例
8、 1 1 20122012 山东莱芜山东莱芜 4 4 分 分 在 ABC 中 AB AC 5 BC 6 若点 P 在边 AC 上移动 则 BP 的最小值是 答案 答案 24 5 考点 考点 动点问题 垂直线段的性质 勾股定理 分析 分析 如图 根据垂直线段最短的性质 当 BP AC 时 BP 取得最小值 设 AP x 则由 AB AC 5 得 CP 5 x 又 BC 6 在 Rt AB P 和 Rt CBP 中应用勾股定理 得 222222 BPABAPBPBCCP 2222 ABAPBCCP 即 2 222 5x66x 解得 7 x 5 2 2 757624 BP5 5255 即 BP 的最
9、小值是 24 5 例例 2 2 20122012 浙江浙江台州台州 4 4 分 分 如图 菱形 ABCD 中 AB 2 A 120 点 P Q K 分别为线段 BC CD BD 上的任意一点 则 PK QK 的最小值为 A 1 B 3 C 2 D 3 1 答案 答案 B 考点 考点 菱形的性质 线段中垂线的性质 三角形三边关系 垂直线段的性质 矩形的判定和性质 锐角 三角函数定义 特殊角的三角函数值 书 山 有 路 5 分析 分析 分两步分析 1 若点 P Q 固定 此时点 K 的位置 如图 作点 P 关于 BD 的对 称点 P1 连接 P1Q 交 BD 于点 K1 由线段中垂线上的点到线段两
10、端距离相等的性质 得 P1K1 P K1 P1K PK 由三角形两边之和大于第三边的性质 得 P1K QK P1Q P1K1 Q K1 P K1 Q K1 此时的 K1就是使 PK QK 最小的位置 2 点 P Q 变动 根据菱形的性质 点 P 关于 BD 的对称点 P1在 AB 上 即不论点 P 在 BC 上任一 点 点 P1总在 AB 上 因此 根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质 得 当 P1Q AB 时 P1Q 最短 过点 A 作 AQ1 DC 于点 Q1 A 120 DA Q1 30 又 AD AB 2 P1Q AQ1 AD cos300 3 23 3 综上所述 PK
11、QK 的最小值为3 故选 B 例例 3 3 20122012 江苏江苏连云港连云港 1212 分 分 已知梯形 ABCD AD BC AB BC AD 1 AB 2 BC 3 问题 1 如图 1 P 为 AB 边上的一点 以 PD PC 为边作平行四边形 PCQD 请问对角线 PQ DC 的长能否相 等 为什么 问题 2 如图 2 若 P 为 AB 边上一点 以 PD PC 为边作平行四边形 PCQD 请问对角线 PQ 的长是否存在最 小值 如果存在 请求出最小值 如果不存在 请说明理由 问题 3 若 P 为 AB 边上任意一点 延长 PD 到 E 使 DE PD 再以 PE PC 为边作平行
12、四边形 PCQE 请探 究对角线 PQ 的长是否也存在最小值 如果存在 请求出最小值 如果不存在 请说明理由 问题 4 如图 3 若 P 为 DC 边上任意一点 延长 PA 到 E 使 AE nPA n 为常数 以 PE PB 为边作平行四 边形 PBQE 请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值 如果存在 请求出最小值 如果不存在 请说明理 由 书 山 有 路 6 答案 答案 解 问题 1 对角线 PQ 与 DC 不可能相等 理由如下 四边形 PCQD 是平行四边形 若对角线 PQ DC 相等 则四边形 PCQD 是矩形 DPC 90 AD 1 AB 2 BC 3 DC 22 设 PB x
13、则 AP 2 x 在 Rt DPC 中 PD 2 PC2 DC2 即 x2 32 2 x 2 12 8 化简得 x2 2x 3 0 2 2 4 1 3 8 0 方程无解 不存在 PB x 使 DPC 90 对角线 PQ 与 DC 不可能相等 问题 2 存在 理由如下 如图 2 在平行四边形 PCQD 中 设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G 则 G 是 DC 的中点 过点 Q 作 QH BC 交 BC 的延长线于 H AD BC ADC DCH 即 ADP PDG DCQ QCH PD CQ PDC DCQ ADP QCH 又 PD CQ Rt ADP Rt HCQ AAS AD HC AD
14、 1 BC 3 BH 4 当 PQ AB 时 PQ 的长最小 即为 4 问题 3 存在 理由如下 如图 3 设 PQ 与 DC 相交于点 G PE CQ PD DE DGPD1 GCCQ2 G 是 DC 上一定点 作 QH BC 交 BC 的延长线于 H 同理可证 ADP QCH Rt ADP Rt HCQ ADPD1 CHCQ2 AD 1 CH 2 BH BG CH 3 2 5 当 PQ AB 时 PQ 的长最小 即为 5 问题 4 如图 3 设 PQ 与 AB 相交于点 G PE BQ AE nPA PAAG1 BQBGn 1 G 是 DC 上一定点 书 山 有 路 7 作 QH PE 交
15、 CB 的延长线于 H 过点 C 作 CK CD 交 QH 的延长线于 K AD BC AB BC D QHC DAP PAG QBH QBG 90 PAG QBG QBH PAD ADP BHQ ADPA1 BHBQn 1 AD 1 BH n 1 CH BH BC 3 n 1 n 4 过点 D 作 DM BC 于 M 则四边形 ABND 是矩形 BM AD 1 DM AB 2 CM BC BM 3 1 2 DM DCM 45 KCH 45 CK CH cos45 2 2 n 4 当 PQ CD 时 PQ 的长最小 最小值为 2 2 n 4 考点 考点 反证法 相似三角形的判定和性质 一元二次
16、方程根的判别式 全等三角形的判定和性质 勾股 定理 平行四边形 矩形的判定和性质 等腰直角三角形的判定和性质 分析 分析 问题 1 四边形 PCQD 是平行四边形 若对角线 PQ DC 相等 则四边形 PCQD 是矩形 然后利用矩 形的性质 设 PB x 可得方程 x 2 32 2 x 2 1 8 由判别式 0 可知此方程无实数根 即对角线 PQ DC 的长不可能相等 问题2 在平行四边形PCQD中 设对角线PQ与DC相交于点G 可得G是DC的中点 过点Q作QH BC 交 BC 的延长线于 H 易证得 Rt ADP Rt HCQ 即可求得 BH 4 则可得当 PQ AB 时 PQ 的长最小 即 为 4 问题 3 设 PQ 与 DC 相交于点 G PE CQ PD DE 可得 DGPD1 GCCQ2 易证得 Rt ADP Rt HCQ 继而求得 BH 的长 即可求得答案 问题4 作QH PE 交CB的延长线于H 过点C作CK CD 交QH的延长线于K 易证得 ADPA1 BHBQn 1 与 ADP BHQ 又由 DCB 45 可得 CKH 是等腰直角三角形 继而可求得 CK 的值 即可求
