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1、4 1正弦量的基本概念4 2正弦量的有效值4 3正弦量的相量表示法4 4正弦电路中的电阻元件4 5正弦电路中的电感元件4 6正弦电路中的电容元件4 7基尔霍夫定律的相量形式4 8复阻抗 复导纳及其等效变换4 9RLC 串联电路4 10RLC 并联电路4 11正弦交流电路的相量分析法4 12正弦交流电路的功率4 13功率因数的提高4 14谐振 第4章正弦交流电路 第4章正弦交流电路4 1正弦量的基本概念4 1 1正弦交流电的三要素1 振幅值 最大值 正弦量瞬时值中的最大值 叫振幅值 也叫峰值 用大写字母带下标 m 表示 如Um Im等 2 角频率 角频率 表示正弦量在单位时间内变化的弧度数 即
2、4 1 图4 1交流电的波形 4 2 3 初相 上式中的 t 是反映正弦量变化进程的电角度 可根据 t 确定任一时刻交流电的瞬时值 把这个电角度称为正弦量的 相位 或 相位角 把t 0时刻正弦量的相位叫做 初相 用字母 表示 规定 不超过 弧度 图4 2初相不为零的正弦波形 图4 3几种不同计时起点的正弦电流波形 4 5 4 6 4 7 例4 2在选定的参考方向下 已知两正弦量的解析式为u 200sin 1000t 200 V i 5sin 314t 30 A 试求两个正弦量的三要素 解 1 u 200sin 1000t 200 200sin 1000t 160 V所以电压的振幅值Um 200
3、V 角频率 1000rad s 初相 u 160 2 i 5sin 314t 30 5sin 314t 30 180 5sin 314t 150 A所以电流的振幅值Im 5A 角频率 314rad s 初相 i 150 例4 3已知选定参考方向下正弦量的波形图如图4 4所示 试写出正弦量的解析式 解 图4 4例4 3图 4 1 2相位差两个同频率正弦量的相位之差 称为相位差 用字母 表示 4 8 相位差 下面分别加以讨论 12 1 2 0且 12 弧度 2 12 1 2 0且 12 弧度 3 12 1 2 0 称这两个正弦量同相 4 12 1 2 称这两个正弦量反相 5 12 1 2 称这两个
4、正弦量正交 图4 5同频率正弦量的几种相位关系 例4 4已知求u和i的初相及两者间的相位关系 解 所以电压u的初相角为 125 电流i的初相角为45 表明电压u滞后于电流i170 例4 5分别写出图4 6中各电流i1 i2的相位差 并说明i1与i2的相位关系 图4 6例4 5图 解 a 由图知 1 0 2 90 12 1 2 90 表明i1滞后于i290 b 由图知 1 2 12 1 2 0 表明二者同相 c 由图知 1 2 表明二者反相 d 由图知 1 0 表明i1越前于 例4 6已知试分析二者的相位关系 解u1的初相为 1 120 u2的初相为 2 90 u1和u2的相位差为 12 1 2
5、 120 90 210 考虑到正弦量的一个周期为360 故可以将 12 210 表示为 12 150 0 表明u1滞后于u2150 4 2正弦量的有效值 4 2 1有效值的定义交流电的有效值 交流电的有效值是根据它的热效应确定的 交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相等 则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值 用大写字母表示 如I U等 4 2 2正弦量的有效值 例4 7电容器的耐压值为250V 问能否用在220V的单相交流电源上 解因为220V的单相交流电源为正弦电压 其振幅值为311V 大于其耐压值250V 电容可能被击穿 所
6、以不能接在220V的单相电源上 各种电器件和电气设备的绝缘水平 耐压值 要按最大值考虑 例4 8一正弦电压的初相为60 有效值为100V 试求它的解析式 解因为U 100V 所以其最大值为则电压的解析式为 4 3正弦量的相量表示法4 3 1复数及四则运算1 复数在数学中常用A a bi表示复数 其中a为实部 b为虚部 称为虚单位 在电工技术中 为区别于电流的符号 虚单位常用j表示 图4 7复数在复平面上的表示 图4 8复数的矢量表示 2 复数的四种形式 复数的代数形式 2 复数的三角形式 3 复数的指数形式 4 复数的极坐标形式 例4 9写出复数A1 4 j3 A2 3 j4的极坐标形式 解A
7、1的模辐角则A1的极坐标形式为A1 5 36 9 在第四象限 辐角 在第二象限 则A2的极坐标形式为 A2的模 例4 10写出复数A 100 30 的三角形式和代数形式 解三角形式A 100 cos30 jsin30 代数形式A 100 cos30 jsin30 86 6 j50 3 复数的四则运算 1 复数的加减法设 则 4 16 图4 9复数相加减矢量图 2 复数的乘除法 例4 11求复数A 8 j6 B 6 j8之和A B及积A B 解A B 8 j6 6 j8 14 j2 A B 8 j6 6 j8 10 36 9 10 53 1 100 16 2 4 3 2正弦量的相量表示法 图4
8、10正弦量的复数表示 例4 12已知同频率的正弦量的解析式分别为 i 10sin t 30 写出电流和电压的相量 并绘出相量图 解由解析式可得 相量图如图4 11所示 图4 11例4 12图 例4 13已知工频条件下 两正弦量的相量分别为试求两正弦电压的解析式 解由于 所以 4 4正弦电路中的电阻元件4 4 1电阻元件上电压与电流的关系 图4 13纯电阻电路 电阻元件上电流和电压之间的瞬时关系2 电阻元件上电流和电压之间的大小关系 若 其中 则 3 电阻元件上电流和电压之间的相位关系 图4 14电阻元件上电流与电压之间的关系 4 4 2电阻元件上电压与电流的相量关系 4 4 3电阻元件的功率交
9、流电路中 任一瞬间 元件上电压的瞬时值与电流的瞬时值的乘积叫做该元件的瞬时功率 用小写字母p表示 即 工程上都是计算瞬时功率的平均值 即平均功率 用大写字母P表示 周期性交流电路中的平均功率就是其瞬时功率在一个周期内的平均值 即 功率的单位为瓦 W 工程上也常用千瓦 kW 即 例4 14一电阻R 100 R两端的电压 求 1 通过电阻R的电流IR和iR 2 电阻R接受的功率PR 3 作的相量图 解 1 因为 所以 3 相量图如图4 16所示 例4 15一只额定电压为220V 功率为100W的电烙铁 误接在380V的交流电源上 问此时它接受的功率为多少 是否安全 若接到110V的交流电源上 它的
10、功率又为多少 解由电烙铁的额定值可得 当电源电压为380V时 电烙铁的功率为 此时不安全 电烙铁将被烧坏 当接到110V的交流电源上 此时电烙铁的功率为 此时电烙铁达不到正常的使用温度 4 5正弦电路中的电感元件 4 5 1电感元件上电压和电流的关系1 瞬时关系 2 大小关系 设 XL称为感抗 当 的单位为1 s L的单位为H XL的单位为 3 相位关系 图4 19电感元件上电流和电压的波形图 4 5 2电感元件上电压和电流的相量关系 图4 20电感元件电流和电压的相量图 4 5 3电感元件的功率 瞬时功率设通过电感元件的电流为 则 图4 21电感元件的功率曲线 2 平均功率 3 无功功率我们
11、把电感元件上电压的有效值和电流的有效值的乘积叫做电感元件的无功功率 用 L表示 QL 0 表明电感元件是接受无功功率的 无功功率的单位为 乏 var 工程中也常用 千乏 kvar 1kvar 1000var 例4 16已知一个电感L 2H 接在 的电源上 求 1 XL 2 通过电感的电流iL 3 电感上的无功功率QL 1 2 3 解 例4 17已知流过电感元件中的电流为 测得其无功功率QL 500var 求 1 XL和L 2 电感元件中储存的最大磁场能量WLm 解 1 2 4 6正弦电路中的电容元件4 6 1电容元件上电压和电流的关系1 瞬时关系 图4 22纯电容电路 2 大小关系 设 其中
12、XC称为容抗 当 的单位为1 s C的单位为F时 XC的单位为 3 相位关系 图4 23电容元件上电流和电压的波形图 4 6 2电容元件上电压与电流的相量关系 4 6 3电容元件的功率 1 瞬时功率 图4 25电容元件功率曲线 2 平均功率 3 无功功率 我们把电容元件上电压的有效值与电流的有效值乘积的负值 称为电容元件的无功功率 用QC表示 即 QC 0表示电容元件是发出无功功率的 QC和QL一样 单位也是乏 var 或千乏 kvar 例4 18已知一电容C 50 F 接到220V 50Hz的正弦交流电源上 求 1 XC 2 电路中的电流IC和无功功率 3 电源频率变为1000Hz时的容抗
13、解 1 2 3 例4 19一电容C 100 F 接于的电源上 求 1 流过电容的电流IC 2 电容元件的有功功率PC和无功功率QC 3 电容中储存的最大电场能量WCm 4 绘电流和电压的相量图 1 2 3 4 相量图如图4 26所示 图4 26例4 19图 表4 1各元件上电压与电流的比较 4 7基尔霍夫定律的相量形式4 7 1相量形式的基尔霍夫电流定律 4 7 2相量形式的基尔霍夫电压定律 例4 20如图4 27 a b 所示电路中 已知电流表A1 A2 A3都是10A 求电路中电流表A的读数 图4 27例4 20图 解设端电压 1 选定电流的参考方向如图 a 所示 则 与电压同相 滞后于电
14、压90 电流表A的读数为 注意 这与直流电路是不同的 总电流并不是20A 2 选定电流的参考方向如图 b 所示 则 超前于电压90 由KCL 电流表A的读数为10A 例4 21如图4 28 a b 所示电路中 电压表V1 V2 V3的读数都是50V 试分别求各电路中V表的读数 解设电流为参考相量 即a 选定i u1 u2 u的参考方向如图 a 所示 则 与电流同相 超前于电流90 由KVL 所以电压表V的读数为 b 选定i u1 u2 u3的参考方向如图 b 所示 则 滞后于电流90 由KCL 电流表A的读数为50V 4 8复阻抗 复导纳及其等效变4 8 1复阻抗与复导纳 1 复阻抗 把式中Z
15、称为元件的阻抗 图4 29正弦交流电路的复阻抗 Z是一个复数 所以又称为复阻抗 Z 是阻抗的模 为阻抗角 复阻抗的图形符号与电阻的图形符号相似 复阻抗的单位为 Z称为该电路的阻抗 Z的实部为R 称为 电阻 Z的虚部 为X 称为 电抗 它们之间符合阻抗三角形 图4 30阻抗三角形 2 复导纳 复阻抗的倒数叫复导纳 用大写字母Y表示 即 在国际单位制中 Y的单位是西门子 用 S 表示 简称 西 由于Z R jX 所以 复导纳Y的实部称为电导 用G表示 复导纳的虚部称为电纳 用B表示 由上式可知 复导纳的极坐标形式为 Y 为复导纳的模 为复导纳的导纳角 所以有 4 53 3 复阻抗与复导纳的关系 4
16、 8 2复阻抗与复导纳的等效变换 将复阻抗等效为复导纳 式 4 53 就是由复阻抗等效为复导纳的参数条件 2 将复导纳等效为复阻抗 图4 31复阻抗与复导纳的等效变换 例4 22已知加在电路上的端电压为u 311sin t 60 V 通过电路中的电流为 求 Z 阻抗角 和导纳角 解电压的相量为 所以 例4 23如图4 31 a 所示 已知电阻R 6 X 8 试求其等效复导纳 解由已知条件 由式 4 53 可知 4 9RLC串联电路4 9 1电压与电流的关系 4 9 2电路的性质 1 电感性电路 XL XC 此时X 0 UL UC 阻抗角 2 电容性电路 XL XC 此时X 0 UL UC 阻抗角 0 3 电阻性电路 XL XC 此时X 0 UL UC 阻抗角 0 图4 33RLC串联电路的相量图 4 9 3阻抗串联电路 图4 34多阻抗串联 例4 24有一RLC串联电路 其中R 30 L 382mH C 39 8 F 外加电压 试求 1 复阻抗Z 并确定电路的性质 2 3 绘出相量图 所以此电路为电感性电路 1 2 3 相量图如图4 35所示 图4 36例4 25图 例4 25用电感降
