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1、书 山 有 路 1 2015 中考数学必做压轴题 1 某班甲 乙 丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课 题学习活动 活动情境 如图 2 将边长为 8cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EG 折叠 折痕 EG 分别与 AB DC 交于点 E G 使点 B 落在 AD 边上的点 F 处 FN 与 DC 交于点 M 处 连接 BF 与 EG 交于点 P 所得结论 当点 F 与 AD 的中点重合时 如图 1 甲 乙 丙三位同学各得到如下一个正确 结论 或结果 甲 AEF 的边 AE cm EF cm 乙 FDM 的周长为 16 cm 丙 EG BF 你的任务 小题 1 填充甲同学所得
2、结果中的数据 小题 2 写出在乙同学所得结果的求解过程 小题 3 当点 F 在 AD 边上除点 A D 外的任何一处 如图 2 时 试问乙同学的结果是否发生变化 请证明你的结论 丙同学的结论还成立吗 若不成立 请说明理由 若你认为成立 先证明 EG BF 再求出 S S 为四边形 AEGD 的面积 与 x AF x 的函数关系式 并问 当x为何值时 S最大 最大值是多少 答案解析 小题 1 AE 3 cm EF 5 cm 设 AE x 则 EF 8 x AE 4 A 90 x 3 AE 3 cm EF 5 cm 小题 2 解 如答图 1 MFE 90 DFM AFE 90 又 A D 90 A
3、FE DMF AEF DFM 又 AE 3 AF DF 4 EF 5 书 山 有 路 2 FMD 的周长 4 16 小题 3 乙的结果不会发生变化 理由 如答图 2 设 AF x EF 8 AE AE 4 同上述方法可得 AEF DFM x 8 FD 8 x 则 16 丙同学的结论还成立 证明 如答图 2 B F 关于 GE 对称 BF EG 于 P 过 G 作 GK AB 于 K FBE KGE 在正方形 ABCD 中 GK BC AB A EKG 90 AFB KEG FB GK 由上述可知 AE 4 AFB KEG AF EK x AK AE EK AF AE 4 x S 8 0 5 8
4、 AE AK 4 4 4 x S 0 x 8 当x 4 即F与AD的中点重合时 24 书 山 有 路 3 2 如图 已知抛物线与 x 轴的交点为 A D A 在 D 的右侧 与 y 轴的交点为 C 1 直接写出 A D C 三点的坐标 2 在抛物线的对称轴上找一点 M 使得 MD MC 的值最小 并求出点 M 的坐 标 3 设点 C 关于抛物线对称的对称点为 B 在抛物线上是否存在点 P 使得以 A B C P 四点为顶点的四边形为梯形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请 说明理由 答案解析 1 A 4 0 D 2 0 C 0 3 2 连接 AC 则 AC 与抛物线的对称轴交点 M 即为
5、 所求 M 1 3 存在 2 0 或 6 6 试题分析 1 在中令 解得 A 4 0 D 2 0 在中令 得 C 0 3 2 连接 AC 根据轴对称的性质 AC 与抛物线的对称轴交点 M 即为所求 从而应用待定系 数法求出 AC 的解析式 再求出抛物线的对称轴 即可求得点 M 的坐标 3 分 BC 为梯形的底边和 BC 为梯形的腰两种情况讨论即可 试题解析 1 A 4 0 D 2 0 C 0 3 2 如图 连接 AC 则 AC 与抛物线的对称轴交点 M 即为所求 书 山 有 路 4 设直线 AC 的解析式为 则 解得 直线 AC 的解析式为 的对称轴是直线 把 x 1 代入得 M 1 3 存在
6、 分两种情况 如图 当 BC 为梯形的底边时 点 P 与 D 重合时 四边形 ADCB 是梯形 此时点 P 为 2 0 如图 当 BC 为梯形的腰时 过点 C 作 CP AB 与抛物线交于点 P 点 C B 关于抛物线对称 B 2 3 设直线 AB 的解析式为 则 解得 书 山 有 路 5 直线 AB 的解析式为 CP AB 可设直线 CP 的解析式为 点 C 在直线 CP 上 直线 CP 的解析式为 联立 解得 P 6 6 综上所述 在抛物线上存在点 P 使得以 A B C P 四点为顶点的四边形为梯形 点 P 的坐 标为 2 0 或 6 6 书 山 有 路 6 3 如图 1 在等腰梯形 A
7、BCD 中 AD BC E 是 AB 的中点 过点 E 作 EF BC 交 CD 于点 F AB 4 BC 6 B 60 1 求点 E 到 BC 的距离 2 点 P 为线段 EF 上的一个动点 过点 P 作 PM EF 交 BC 于 M 过 M 作 MN AB 交折线 ADC 于 N 连结 PN 设 EP x 当点 N 在线段 AD 上时 如图 2 PMN 的形状是否发生改变 若不变 求 出 PMN 的周长 若改变 请说明理由 当点 N 在线段 DC 上时 如图 3 是否存在点 P 使 PMN 为等腰三角形 若 存在 请求出所有满足条件的 x 的值 若不存在 请说明理由 图 1 图 2 图 3
8、 E 点做辅助线垂直 BC 交 BC 于 G 点 EG 即为 E 点到 BC 的距离 EG BE sin B 1 2AB sin60 3 2 不变 PM EG MN AB 做辅助线 NH EF 交 EF 于 H 点 设 N 交 EF 于 K 点 可以得出 PMK HNK PK KH PM EF PM PK MK BE 4 PK 1 PN NH PH EG 2PK 3 4 7 PN 7 PMN 的周长 PN PM MN 7 3 4 辅助线 NO BC 交 BC 于 O 点 MN 于 EF 交于 K 点 NO 与 EF 交于 H 点 依题意 PN PM 3 AB 4 BC 6 B 60 AD 2
9、EF 4 MN AB MN NC PMC 90 NMC 60 PMN PNM 30 KH HF PK EF KH HF EP PK MK sin PMN 2 1 2 1 PMN PNM 30 MNO 30 PNO 60 PH PN sin60 3 2 KH PH PK 3 2 1 1 2 书 山 有 路 7 x EF PH FH 4 3 2 1 2 2 P 点位 EF 的中点 4 2012 福州 21 满分 13 分 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动 动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点
10、 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动 过点 P 作 PD BC 交 AB 于点 D 连接 PQ 点 P Q 分别从点 A C 同时出发 当其中一点到达端点时 另一点也随之停止运动 设运动时间为 t 秒 t 0 1 直接用含 t 的代数式分别表示 QB PD 2 是否存在 t 的值 使四边形 PDBQ 为菱形 若存在 求出 t 的值 若不存在 说明理由 并探究如何改变点 Q 的速度 匀速运动 使四边形 PDBQ 在某一时刻 为菱形 求点 Q 的速度 3 如图 在整个运动过程中 求出线段 PQ 中点 M 所经过的路径长 答案解析 考点 相似三角形的判定与性质 一次函数综合题 勾股定理 菱形的判定
11、与性 质 专题 代数几何综合题 分析 1 根据题意得 CQ 2t PA t 由 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 PD BC 即可得 则可求得 QB 与 PD 的值 2 易得 APD ACB 即可求得 AD 与 BD 的长 由 BQ DP 可得当 BQ DP 时 四边形 PDBQ 是平行四边形 即可求得此时 DP 与 BD 的长 由 DP BD 可 判定四边形 PDBQ 不能为菱形 然后设点 Q 的速度为每秒 v 个单位长度 由要使 四边形 PDBQ 为菱形 则 PD BD BQ 列方程即可求得答案 3 设 E 是 AC 的中点 连接 ME 当 t 4 时 点 Q 与点 B 重合
12、 运动停止 设 此时 PQ 的中点为 F 连接 EF 由 PMN PQC 利用相似三角形的对应边成 比例 即可求得答案 解答 解 1 QB 8 2t PD 2 不存在 在 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 书 山 有 路 8 AB 10 PD BC APD ACB 即 BD AB AD BQ DP 当 BQ DP 时 四边形 PDBQ 是平行四边形 DP BD PDBQ 不能为菱形 设点 Q 的速度为每秒 v 个单位长度 则 BQ 8 vt PD BD 要使四边形 PDBQ 为菱形 则 PD BD BQ 当 PD BD 时 即 解得 当 PD BQ 时 时 即 解得 3 解法一
13、如图 2 以 C 为原点 以 AC 所在直线为 x 轴 建立平面直角坐标系 依题意 可知 0 t 4 当 t 0 时 点 M1 的坐标为 3 0 当 t 4 时 点 M2 的坐标为 1 4 设直线 M1M2 的解析式为 y kx b 解得 直线 M1M2 的解析式为 y 2x 6 点 Q 0 2t P 6 t 0 书 山 有 路 9 在运动过程中 线段 PQ 中点 M3 的坐标为 把 代入 y 2x 6 得 点 M3 在直线 M1M2 上 过点 M2 作 M2N x 轴于点 N 则 M2N 4 M1N 2 M1M2 2 线段 PQ 中点 M 所经过的路径长为 2 单位长度 解法二 如图 3 设
14、 E 是 AC 的中点 连接 ME 当 t 4 时 点 Q 与点 B 重合 运动停止 设此时 PQ 的中点为 F 连接 EF 过点 M 作 MN AC 垂足为 N 则 MN BC PMN PDC MN t 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 平行四边形的判定与性质 菱形的 判定与性质以及一次函数的应用 此题综合性很强 难度较大 解题的关键是注 意数形结合思想的应用 书 山 有 路 10 5 1 如图 是抛物线图象上的三点 若三点的横坐标从左至右依 次为 1 2 3 求的面积 2 若将 1 问中的抛物线改为和 其他条件不变 请 分别直接写出两种情况下的面积 3 现有一抛物线组 依据变化规律
15、请你写出抛物线组第 n 个式子的函数解析式 现在 x 轴上 有三点 经过向 x 轴作垂线 分别交抛物线组 于 记为 为 为 试求的值 4 在 3 问条件下 当时有的值不小于 请探求此条 件下正整数是否存在最大值 若存在 请求出此值 若不存在 请说明理由 书 山 有 路 11 答案解析 1 2 3 由规律知 或写成 由 1 2 知 4 存在由上知 书 山 有 路 12 解得 又 存在 n 的最大值 其值为 6 在平面直角坐标系中 已知抛物线 b c 为常数 的顶点为 P 等 腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为 0 1 C 的坐标为 4 3 直角顶点 B 在 第四象限 1 如图 若该抛物线
16、过 A B 两点 求 b c 的值 2 平移 1 中的抛物线 使顶点 P 在直线 AC 上滑动 且与直线 AC 交于另一点 Q 点 M 在直线 AC 下方 且为平移前 1 中的抛物线上的点 当以 M P Q 三点 为顶点的三角形是以 PQ 为腰的等腰直角三角形时 求点 M 的坐标 取 BC 的中点 N 连接 NP BQ 当取最大值时 点 Q 的坐标为 书 山 有 路 13 答案解析 1 2 4 1 2 7 试题分析 1 先求出点 B 的坐标 然后利用待定系数法求即可求得 b c 的值 2 首先求出直线 AC 的解析式和线段 PQ 的长度 作为后续计算的基础 当以 M P Q 三点为顶点的三角形是以 PQ 为腰的等腰直角三角形时 点 M 到 PQ 的距离为 此时 将 直线 AC 向右平移 4 个单位后所得直线 y x 5 与抛物线的交点 即为所求之 M 点 由 可知 PQ 为定值 因此当 NP BQ 取最小值时 有最大值 如答图 2 所示 作点 B 关 于直线 AC 的对称点 B 由分析可知 当 B Q F AB 中点 三点共线时 NP BQ 最小 进而求出点 Q 的坐标 试题解析 1
