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1、书 山 有 路 1 中考压轴题专题几何 辅助线 中考压轴题专题几何 辅助线 图中有角平分线 可向两边作垂线 图中有角平分线 可向两边作垂线 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线平行线 等腰三角形来添 线段垂直平分线 常向两端把线连 线段垂直平分线 常向两端把线连 要证线段倍与半 延长缩短可试验 要证线段倍与半 延长缩短可试验 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线加一倍 三角形中有中线 延长中线加一倍 梯等式子比例换 寻找相似很关键 梯等式子比例换 寻找相似很关键 直接证明有困难 等量代换少麻烦 直接证明有困难 等量代换少麻烦 斜边上面作高
2、线 弦高公式是关键 斜边上面作高线 弦高公式是关键 计算半径与弦长 弦心距来站中间 计算半径与弦长 弦心距来站中间 圆上若有一切线 切点圆心半径连 圆上若有一切线 切点圆心半径连 要想证明是切线 半径垂线仔细辨 要想证明是切线 半径垂线仔细辨 是直径 成半圆 想成直角径连弦 是直径 成半圆 想成直角径连弦 弧有中点圆心连 垂径定理弧有中点圆心连 垂径定理要记全 要记全 圆周角边两条弦 直径和弦端点连 圆周角边两条弦 直径和弦端点连 要想作个外接圆 各边作出中垂线 要想作个外接圆 各边作出中垂线 还要作个内切圆 内角平分线梦园 还要作个内切圆 内角平分线梦园 如果遇到相交圆 不要忘作公共弦 如果
3、遇到相交圆 不要忘作公共弦 若是添上连心线 切点肯定在上面 若是添上连心线 切点肯定在上面 辅助线 是虚线 画图注意勿改变 辅助线 是虚线 画图注意勿改变 假如图形较分散 对称旋转去实验假如图形较分散 对称旋转去实验 切勿盲目乱添线 方法灵活应多变 切勿盲目乱添线 方法灵活应多变 精选精选 1 1 如图 Rt ABC 中 ABC 90 DE 垂直平分 AC 垂足为 O AD BC 且 AB 3 BC 4 则 AD 的长为 精选精选 2 2 如图 ABC 中 C 60 CAB 与 CBA 的平分线 AE BF 相交于点 D 求证 DE DF 精选精选 3 3 已知 如图 O 的直径 AB 8cm
4、 P 是 AB 延长线上的一点 过点 P 作 O 的切线 切点为 C 连接 AC 1 若 ACP 120 求阴影部分的面积 2 若点 P 在 AB 的延长线上运动 CPA 的平分线交 AC 于点 M CMP 的大小是否发生变化 若变化 请说明理 由 若不变 求出 CMP 的度数 D A B C E F 书 山 有 路 2 精选精选 4 4 如图 1 Rt ABC 中 ACB 90 AC 3 BC 4 点 O 是斜边 AB 上一动点 以 OA 为半径作 O 与 AC 边交于点 P 1 当 OA 时 求点 O 到 BC 的距离 2 如图 1 当 OA 时 求证 直线 BC 与 O 相切 此时线段
5、AP 的长是多少 3 若 BC 边与 O 有公共点 直接写出 OA 的取值范围 4 若 CO 平分 ACB 则线段 AP 的长是多少 精选精选 5 5 如图 已知 ABC 为等边三角形 BDC 120 AD 平分 BDC 求证 BD DC AD 精选精选 6 已知矩形 ABCD 的一条边 AD 8 将矩形 ABCD 折叠 使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处 第 6 题图 1 如图 1 已知折痕与边 BC 交于点 O 连结 AP OP OA 求证 OCP PDA 若 OCP 与 PDA 的面积比为 1 4 求边 AB 的长 2 若图 1 中的点 P 恰好是 CD 边的中点 求 OAB 的
6、度数 3 如图 2 擦去折痕 AO 线段 OP 连结 BP 动点 M 在线段 AP 上 点 M 与点 P A 不重合 动点 N 在线段 AB 的延长线上 且 BN PM 连结 MN 交 PB 于点 F 作 ME BP 于点 E 试问当点 M N 在移动过程中 线段 EF 的长度是否发生变化 若变化 说明理由 若不变 求出线段 EF 的长度 E C A D B 书 山 有 路 3 精选精选 7 如图 四边形 ABCD 是边长为 2 一个锐角等于 60 的菱形纸片 小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点 与该菱形顶点 D 重合 按顺时针方向旋转三角形纸片 使它的两边分别交 CB BA 或它们的延长线
7、于点 E F EDF 60 当 CE AF 时 如图 1 小芳同学得出的结论是 DE DF 1 继续旋转三角形纸片 当 CE AF 时 如图 2 小芳的结论是否成立 若成立 加以证明 若不成立 请说明 理由 2 再次旋转三角形纸片 当点 E F 分别在 CB BA 的延长线上时 如图 3 请直接写出 DE 与 DF 的数量关系 3 连 EF 若 DEF 的面积为 y CE x 求 y 与 x 的关系式 并指出当 x 为何值时 y 有最小值 最小值是多少 书 山 有 路 4 精选精选 8 等腰 Rt ABC 中 BAC 90 点 A 点 B 分别是 x 轴 y 轴两个动点 直角边 AC 交 x
8、轴于点 D 斜边 BC 交 y 轴于点 E 1 如图 1 若 A 0 1 B 2 0 求 C 点的坐标 2 如图 2 当等腰 Rt ABC 运动到使点 D 恰为 AC 中点时 连接 DE 求证 ADB CDE 3 如图 3 在等腰 Rt ABC 不断运动的过程中 若满足 BD 始终是 ABC 的平分线 试探究 线段 OA OD BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系 并说明理由 精选精选 9 如图 正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线 1 l 2 l 3 l 4 l上 这四条直线中相邻两条之间的距 离依次为 1 h 2 h 3 h 123 000 hhh 1 求证 31 hh 2 设正方
9、形ABCD的面积为S 求证 22 121 Shhh 3 若 12 3 1 2 hh 当 1 h变化时 说明正方形ABCD的面积 S随 1 h的变化情况 l1 l2 l3 l4 h3 h2 h1 A C D B 第题图 书 山 有 路 5 参考答案参考答案 精选精选 1 解 Rt ABC 中 ABC 90 AB 3 BC 4 AC 5 DE 垂直平分 AC 垂足为 O OA AC AOD B 90 AD BC A C AOD CBA 即 解得 AD 故答案为 精选精选 2 证明 在 AB 上截取 AG 使 AG AF 易证 ADF ADG SAS DF DG C 60 AD BD 是角平分线 易
10、证 ADB 120 ADF ADG BDG BDE 60 易证 BDE BDG ASA DE DG DF 精选精选 3 解 1 连接 OC PC 为 O 的切线 PC OC PCO 90 度 ACP 120 ACO 30 OC OA A ACO 30 度 BOC 60 OC 4 S阴影 S OPC S扇形BOC 2 CMP 的大小不变 CMP 45 由 1 知 BOC OPC 90 PM 平分 APC D A B C E F G 书 山 有 路 6 APM APC A BOC PMC A APM BOC OPC 45 精选精选 4 解 1 在 Rt ABE 中 1 分 过点 O 作 OD BC
11、 于点 D 则 OD AC ODB ACB 点 O 到 BC 的距离为 3 分 2 证明 过点 O 作 OE BC 于点 E OF AC 于点 F OEB ACB 直线 BC 与 O 相切 5 分 此时 四边形 OECF 为矩形 AF AC FC 3 OF AC AP 2AF 7 分 3 9 分 4 过点 O 作 OG AC 于点 G OH BC 于点 H 则四边形 OGCH 是矩形 且 AP 2AG 又 CO 平分 ACB OG OH 矩形 OGCH 是正方形 10 分 设正方形 OGCH 的边长为 x 则 AG 3 x OG BC AOG ABC AP 2AG 12 分 书 山 有 路 7
12、 精选精选 5 证法证法 1 截长 如图 截 DF DB 易证 DBF 为等边三角 然后证 BDC BFA 即可 证法证法 2 截长 如图 截 DF DC 易证 DCF 为等边三角 然后证 BDC AFC 即可 证法证法 3 补短 如图 延长 BD 至 F 使 DF DC 此时 BD DC BD DF BF 易证 DCF 为等边 再证 BCF ACD 即可 证法证法 4 四点共圆 两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆 设 AB AC BC a 根据 圆内接四边形 托勒密定理 CD a BD a AD a 得证 F F F 精选精选 6 解 1 如图 1 四边形 ABCD 是矩形 AD BC D
13、C AB DAB B C D 90 由折叠可得 AP AB PO BO PAO BAO APO B APO 90 APD 90 CPO POC D C APD POC OCP PDA OCP 与 PDA 的面积比为 1 4 PD 2OC PA 2OP DA 2CP AD 8 CP 4 BC 8 设 OP x 则 OB x CO 8 x 在 Rt PCO 中 C 90 CP 4 OP x CO 8 x x2 8 x 2 42 解得 x 5 AB AP 2OP 10 边 AB 的长为 10 书 山 有 路 8 2 如图 1 P 是 CD 边的中点 DP DC DC AB AB AP DP AP D
14、 90 sin DAP DAP 30 DAB 90 PAO BAO DAP 30 OAB 30 OAB 的度数为 30 3 作 MQ AN 交 PB 于点 Q 如图 2 AP AB MQ AN APB ABP ABP MQP APB MQP MP MQ MP MQ ME PQ PE EQ PQ BN PM MP MQ BN QM MQ AN QMF BNF 在 MFQ 和 NFB 中 MFQ NFB QF BF QF QB 书 山 有 路 9 EF EQ QF PQ QB PB 由 1 中的结论可得 PC 4 BC 8 C 90 PB 4 EF PB 2 在 1 的条件下 当点 M N 在移动
15、过程中 线段 EF 的长度不变 长度为 2 精选精选 7 解 1 DF DE 理由如下 如答图 1 连接 BD 四边形 ABCD 是菱形 AD AB 又 A 60 ABD 是等边三角形 AD BD ADB 60 DBE A 60 EDF 60 ADF BDE 在 ADF 与 BDE 中 ADF BDE ASA DF DE 2 DF DE 理由如下 如答图 2 连接 BD 四边形 ABCD 是菱形 AD AB 又 A 60 书 山 有 路 10 ABD 是等边三角形 AD BD ADB 60 DBE A 60 EDF 60 ADF BDE 在 ADF 与 BDE 中 ADF BDE ASA DF
16、 DE 3 由 2 知 ADF BDE 则 S ADF S BDE AF BE x 依题意得 y S BEF S ABD 2 x xsin60 2 2sin60 x 1 2 即 y x 1 2 0 该抛物线的开口方向向上 当 x 0 即点 E B 重合时 y最小值 精选精选 8 1 解 过点 C 作 CF y 轴于点 F AFC 90 CAF ACF 90 ABC 是等腰直角三角形 BAC 90 AC AB CAF BAO 90 AFC BAC ACF BAO 在 ACF 和 ABO 中 书 山 有 路 11 ACF ABO AAS CF OA 1 AF OB 2 OF 1 C 1 1 2 证明 过点 C 作 CG AC 交 y 轴于点 G ACG BAC 90 AGC GAC 90 CAG BAO 90 AGC BAO ADO DAO 90 DAO BAO 90 ADO BAO AGC ADO 在 ACG 和 ABD 中 ACG ABD AAS CG AD CD ACB ABC 45 DCE GCE 45 在 DCE 和 GCE 中 DCE GCE SAS CDE G ADB CDE
