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1、书 山 有 路 1 2018 年中考二次函数压轴题汇编 2 如图 1 已知抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两 点 与 y 轴交于 C 点 点 P 是抛物线上在第一象限内的一个动点 且点 P 的横 坐标为 t 1 求抛物线的表达式 2 设抛物线的对称轴为 l l 与 x 轴的交点为 D 在直线 l 上是否存在点 M 使得四边形 CDPM 是平行四边形 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 请说 明理由 3 如图 2 连接 BC PB PC 设 PBC 的面积为 S 求 S 关于 t 的函数表达式 求 P 点到直线 BC 的距离的最大值 并求出此时点 P 的坐标
2、 3 如图 抛物线 y a x 1 x 3 a 0 与 x 轴交于 A B 两点 抛物线 上另有一点 C 在 x 轴下方 且使 OCA OBC 1 求线段 OC 的长度 2 设直线 BC 与 y 轴交于点 M 点 C 是 BM 的中点时 求直线 BM 和抛物线 书 山 有 路 2 的解析式 3 在 2 的条件下 直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P 使得四边形 ABPC 面积最大 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 4 如图 抛物线 y ax2 bx a 0 过点 E 10 0 矩形 ABCD 的边 AB 在 线段 OE 上 点 A 在点 B 的左边 点 C D 在抛物线上
3、 设 A t 0 当 t 2 时 AD 4 1 求抛物线的函数表达式 2 当 t 为何值时 矩形 ABCD 的周长有最大值 最大值是多少 3 保持 t 2 时的矩形 ABCD 不动 向右平移抛物线 当平移后的抛物线与矩 形的边有两个交点 G H 且直线 GH 平分矩形的面积时 求抛物线平移的距离 5 如图 点 P 为抛物线 y x2上一动点 书 山 有 路 3 1 若抛物线 y x2是由抛物线 y x 2 2 1 通过图象平移得到的 请 写出平移的过程 2 若直线 l 经过 y 轴上一点 N 且平行于 x 轴 点 N 的坐标为 0 1 过点 P 作 PM l 于 M 问题探究 如图一 在对称轴
4、上是否存在一定点 F 使得 PM PF 恒成立 若 存在 求出点 F 的坐标 若不存在 请说明理由 问题解决 如图二 若点 Q 的坐标为 1 5 求 QP PF 的最小值 6 已知直线 y x 3 与 x 轴 y 轴分别相交于 A B 两点 抛物线 y x2 bx c 经过 A B 两点 点 M 在线段 OA 上 从 O 点出发 向点 A 以每秒 1 个单位的 速度匀速运动 同时点 N 在线段 AB 上 从点 A 出发 向点 B 以每秒个单位 的速度匀速运动 连接 MN 设运动时间为 t 秒 1 求抛物线解析式 2 当 t 为何值时 AMN 为直角三角形 3 过 N 作 NH y 轴交抛物线于
5、 H 连接 MH 是否存在点 H 使 MH AB 若存在 求出点 H 的坐标 若不存在 请说明理由 书 山 有 路 4 7 如图 抛物线经过原点 O 0 0 点 A 1 1 点 1 求抛物线解析式 2 连接 OA 过点 A 作 AC OA 交抛物线于 C 连接 OC 求 AOC 的面积 3 点 M 是 y 轴右侧抛物线上一动点 连接 OM 过点 M 作 MN OM 交 x 轴于点 N 问 是否存在点 M 使以点 O M N 为顶点的三角形与 2 中的 AOC 相似 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 说明理由 8 如图 已知二次函数 y ax2 1 a 0 a 为实数 的图象过点 A 2 2
6、 一次函数 y kx b k 0 k b 为实数 的图象 l 经过点 B 0 2 1 求 a 值并写出二次函数表达式 2 求 b 值 3 设直线 l 与二次函数图象交于 M N 两点 过 M 作 MC 垂直 x 轴于点 C 试证明 MB MC 4 在 3 的条件下 请判断以线段 MN 为直径的圆与 x 轴的位置关系 并 说明理由 书 山 有 路 5 9 如图 已知抛物线 y ax2 x 4 的对称轴是直线 x 3 且与 x 轴相交于 A B 两点 B 点在 A 点右侧 与 y 轴交于 C 点 1 求抛物线的解折式和 A B 两点的坐标 2 若点 P 是抛物线上 B C 两点之间的一个动点 不与
7、 B C 重合 则是否 存在一点 P 使 PBC 的面积最大 若存在 请求出 PBC 的最大面积 若不存 在 试说明理由 3 若 M 是抛物线上任意一点 过点 M 作 y 轴的平行线 交直线 BC 于点 N 当 MN 3 时 求 M 点的坐标 10 已知 如图 抛物线 y ax2 bx c 与坐标轴分别交于点 A 0 6 B 6 0 C 2 0 点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点 1 求抛物线的解析式 2 当点 P 运动到什么位置时 PAB 的面积有最大值 3 过点 P 作 x 轴的垂线 交线段 AB 于点 D 再过点 P 做 PE x 轴交抛物线 书 山 有 路 6 于点 E 连结
8、 DE 请问是否存在点 P 使 PDE 为等腰直角三角形 若存在 求 出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 11 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 x 4 与 x 轴交于 A B 两 点 点 A 在点 B 左侧 与 y 轴交于点 C 1 求点 A B C 的坐标 2 点 P 从 A 点出发 在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向 B 点运动 同时 点 Q 从 B 点出发 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动 当其中一个点到达终点时 另一个点也停止运动 设运动时间为 t 秒 求运动时 间 t 为多少秒时 PBQ 的面积 S 最大 并求出其最大面积 3 在
9、2 的条件下 当 PBQ 面积最大时 在 BC 下方的抛物线上是否存在 点 M 使 BMC 的面积是 PBQ 面积的 1 6 倍 若存在 求点 M 的坐标 若不 存在 请说明理由 12 综合与探究 书 山 有 路 7 如图 抛物线 y x 4 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴交于点 C 连接 AC BC 点 P 是第四象限内抛物线上的一个动点 点 P 的 横坐标为 m 过点 P 作 PM x 轴 垂足为点 M PM 交 BC 于点 Q 过点 P 作 PE AC 交 x 轴于点 E 交 BC 于点 F 1 求 A B C 三点的坐标 2 试探究在点 P 运动的过
10、程中 是否存在这样的点 Q 使得以 A C Q 为 顶点的三角形是等腰三角形 若存在 请直接写出此时点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 3 请用含 m 的代数式表示线段 QF 的长 并求出 m 为何值时 QF 有最大值 13 已知抛物线 y ax2 bx c 过点 A 0 2 1 若点 0 也在该抛物线上 求 a b 满足的关系式 2 若该抛物线上任意不同两点 M x1 y1 N x2 y2 都满足 当 x1 x2 0 时 x1 x2 y1 y2 0 当 0 x1 x2时 x1 x2 y1 y2 0 以 原点 O 为心 OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为 B C 且 ABC 有一个 内角
11、为 60 求抛物线的解析式 若点 P 与点 O 关于点 A 对称 且 O M N 三点共线 求证 PA 平分 MPN 14 如图 已知抛物线 y ax2 bx 与 x 轴分别交于原点 O 和点 F 10 0 与 书 山 有 路 8 对称轴 l 交于点 E 5 5 矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴正半轴上 且 AB 1 边 AD BC 与抛物线分别交于点 M N 当矩形 ABCD 沿 x 轴正方向平移 点 M N 位于对称轴 l 的同侧时 连接 MN 此时 四边形 ABNM 的面积记为 S 点 M N 位于对称轴 l 的两侧时 连接 EM EN 此时五边形 ABNEM 的面积 记为 S 将
12、点 A 与点 O 重合的位置作为矩形 ABCD 平移的起点 设矩形 ABCD 平移的长度为 t 0 t 5 1 求出这条抛物线的表达式 2 当 t 0 时 求 S OBN的值 3 当矩形 ABCD 沿着 x 轴的正方向平移时 求 S 关于 t 0 t 5 的函数表 达式 并求出 t 为何值时 S 有最大值 最大值是多少 15 如图 已知抛物线经过点 A 1 0 B 4 0 C 0 2 三点 点 D 与点 C 关于 x 轴对称 点 P 是 x 轴上的一个动点 设点 P 的坐标为 m 0 过点 P 做 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q 交直线 BD 于点 M 1 求该抛物线所表示的二次函数的表达
13、式 2 已知点 F 0 当点 P 在 x 轴上运动时 试求 m 为何值时 四边形 DMQF 是平行四边形 3 点 P 在线段 AB 运动过程中 是否存在点 Q 使得以点 B Q M 为顶点 的三角形与 BOD 相似 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 书 山 有 路 9 16 如图 抛物线 y ax2 5ax c 与坐标轴分别交于点 A C E 三点 其中 A 3 0 C 0 4 点 B 在 x 轴上 AC BC 过点 B 作 BD x 轴交抛物线 于点 D 点 M N 分别是线段 CO BC 上的动点 且 CM BN 连接 MN AM AN 1 求抛物线的解析式及点 D 的坐标
14、 2 当 CMN 是直角三角形时 求点 M 的坐标 3 试求出 AM AN 的最小值 17 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y ax2 bx 3 经过点 A 1 0 B 3 0 两点 且与 y 轴交于点 C 1 求抛物线的表达式 2 如图 用宽为 4 个单位长度的直尺垂直于 x 轴 并沿 x 轴左右平移 直 尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 P Q 两点 点 P 在点 Q 的左侧 连 接 PQ 在线段 PQ 上方抛物线上有一动点 D 连接 DP DQ 书 山 有 路 10 1 若点 P 的横坐标为 求 DPQ 面积的最大值 并求此时点 D 的坐标 直尺在平移过程中 DPQ 面积
15、是否有最大值 若有 求出面积的最大值 若没有 请说明理由 18 在平面直角坐标系 xOy 中 已知抛物线的顶点坐标为 2 0 且经过点 4 1 如图 直线 y x 与抛物线交于 A B 两点 直线 l 为 y 1 1 求抛物线的解析式 2 在 l 上是否存在一点 P 使 PA PB 取得最小值 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 知 F x0 y0 为平面内一定点 M m n 为抛物线上一动点 且点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等 求定点 F 的坐标 19 在平面直角坐标系中 点 O 0 0 点 A 1 0 已知抛物线 y x2 mx 2m m 是常
16、数 顶点为 P 当抛物线经过点 A 时 求顶点 P 的坐标 书 山 有 路 11 若点 P 在 x 轴下方 当 AOP 45 时 求抛物线的解析式 无论 m 取何值 该抛物线都经过定点 H 当 AHP 45 时 求抛物线的 解析式 20 如图所示 将二次函数 y x2 2x 1 的图象沿 x 轴翻折 然后向右平移 1 个单位 再向上平移 4 个单位 得到二次函数 y ax2 bx c 的图象 函数 y x2 2x 1 的图象的顶点为点 A 函数 y ax2 bx c 的图象的顶点为点 B 和 x 轴的交点为点 C D 点 D 位于点 C 的左侧 1 求函数 y ax2 bx c 的解析式 2 从点 A C D 三个点中任取两个点和点 B 构造三角形 求构造的三角形 是等腰三角形的概率 3 若点 M 是线段 BC 上的动点 点 N 是 ABC 三边上的动点 是否存在以 AM 为斜边的 Rt AMN 使 AMN 的面积为 ABC 面积的 若存在 求 tan MAN 的值 若不存在 请说明理由 21 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 经过点 A 3 0 B 1 0 C 0 3
