《2020年中考数学压轴解答题04 因动点产生的面积问题（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年中考数学压轴解答题04 因动点产生的面积问题（教师版）（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、压轴解答题直面高考备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题04 因动点产生的面积问题【类型综述】面积是平面几何中一个重要的概念,关联着平面图形中的重要元素边与角,由动点而生成的面积问题,是抛物线与直线形结合的觉形式,常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算,解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型,此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几
2、何法确定存在性,再列方程求解,后检验方程的根二是先假设关系存在,再列方程,后根据方程的解验证假设是否正确【方法揭秘】解决动点产生的面积问题,常用到的知识和方法,如下：如图1,如果三角形的某一条边与坐标轴平行,计算这样“规则”的三角形的面积,直接用面积公式如图2,图3,三角形的三条边没有与坐标轴平行的,计算这样“不规则”的三角形的面积,用“割”或“补”的方法图1 图2 图3计算面积长用到的策略还有：如图4,同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等如图5,同底三角形的面积比等于高的比如图6,同高三角形的面积比等于底的比图4 图5 图6【典例分析】【例1】如图,抛物线yax2bxc（a0）与x
3、轴交于A(1, 0),B(4, 0)两点,与y轴交于点C(0, 2)点M(m, n)是抛物线上一动点,位于对称轴的左侧,并且不在坐标轴上过点M作x轴的平行线交y轴于点Q,交抛物线于另一点E,直线BM交y轴于点F（1）求抛物线的解析式,并写出其顶点坐标；（2）当SMFQSMEB13时,求点M的坐标思路点拨1设交点式求抛物线的解析式比较简便2把MFQ和MEB的底边分别看作MQ和ME,分别求两个三角形高的比,底边的比（用含m的式子表示）,于是得到关于m的方程3方程有两个解,慎重取舍解压轴题时,时常有这种“一石二鸟”的现象,列一个方程,得到两个符合条件的解满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(1, 0
4、),B(4, 0)两点,设ya(x1)(x4)代入点C(0, 2),得24a解得所以顶点坐标为考点伸展第（2）题SMFQSMEB13,何需点M一定要在抛物线上？从上面的解题过程可以看到,MFQ与MEB的高的比与n无关,两条底边的比也与n无关如图3,因此只要点E与点M关于直线x对称,点M在直线的左侧,且点M不在坐标轴上,就存在SMFQSMEB13,点M的横坐标为1（如图3）或12（如图4）图3 图4【例2】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx3（a0）与x轴交于点A（2,0）、B（4,0）两点,与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度
5、的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当PBQ存在时,求运动多少秒使PBQ的面积最大,最大面积是多少？（3）当PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使SCBK：SPBQ=5：2,求K点坐标思路点拨（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于系数a、b的解析式,通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t秒利用三角形的面积公式列出SPBQ与t的函数关系式SPBQ=（t1）2+利用二次函数的图象性质进行解答；（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x3由二次函数图象上点的坐标特征可
6、设点K的坐标为（m,m2m3）如图2,过点K作KEy轴,交BC于点E结合已知条件和（2）中的结果求得SCBK=则根据图形得到：SCBK=SCEK+SBEK=EKm+EK（4m）,把相关线段的长度代入推知：m2+3m=易求得K1（1,）,K2（3,）满分解答（1）把点A（2,0）、B（4,0）分别代入y=ax2+bx3（a0）,得,解得,所以该抛物线的解析式为：y=x2x3；（2）设运动时间为t秒,则AP=3t,BQ=tPB=63t由题意得,点C的坐标为（0,3）在RtBOC中,BC=5如图1,过点Q作QHAB于点HQHCO,BHQBOC,即,HQ=tSPBQ=PBHQ=（63t）t=t2+t=
7、（t1）2+当PBQ存在时,0t2当t=1时,SPBQ最大=答：运动1秒使PBQ的面积最大,最大面积是；（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k0）把B（4,0）,C（0,3）代入,得,解得,直线BC的解析式为y=x3点K在抛物线上设点K的坐标为（m,m2m3）如图2,过点K作KEy轴,交BC于点E则点E的坐标为（m,m3）EK=m3（m2m3）=m2+m当PBQ的面积最大时,SCBK：SPBQ=5：2,SPBQ=SCBK=SCBK=SCEK+SBEK=EKm+EK（4m）=4EK=2（m2+m）=m2+3m即：m2+3m=解得 m1=1,m2=3K1（1,）,K2（3,）【例3】如图,在平
8、面直角坐标系中,直线与抛物线yax2bx3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合）,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PDAB于点D（1）求a、b及sinACP的值；（2）设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值； 连结PB,线段PC把PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为910？若存在,直接写出m的值；若不存在,请说明理由思路点拨1第（1）题由于CP/y轴,把ACP转化为它的同位角2第（2）题中,PDPCsinACP,第（1）题已经做好了铺垫3PCD与PCB是同底
9、边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比4两个三角形的面积比为910,要分两种情况讨论满分解答（1）设直线与y轴交于点E,那么A(2,0),B(4,3),E(0,1)在RtAEO中,OA2,OE1,所以所以因为PC/EO,所以ACPAEO因此将A(2,0)、B(4,3)分别代入yax2bx3,得解得,考点伸展第（3）题的思路是：PCD与PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比而,BM4m当SPCDSPCB910时,解得当SPCDSPCB109时,解得【例4】如图,在RtABC中,C=90,A=30,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点
10、B运动过点P作PDAC于点D（点P不与点A、B重合）,作DPQ=60,边PQ交射线DC于点Q设点P的运动时间为t秒（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时,求t的值；（3）设PDQ与ABC重叠部分图形的面积为S,求S与t之间的函数关系式；（4）当线段PQ的垂直平分线经过ABC一边中点时,直接写出t的值思路点拨（1）先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论；（2）利用AD+DQ=AC,即可得出结论；（3）分两种情况,利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；（4）分三种情况,利用锐角三角函数,即可得出结论满分解答（1）在RtABC中,A=30,AB=4,AC=2,PDA
11、C,ADP=CDP=90,在RtADP中,AP=2t,DP=t,AD=APcosA=2t=t,CD=ACAD=2t（0t2）；（2）在RtPDQ中,DPC=60,PQD=30=A,PA=PQ,PDAC,AD=DQ,点Q和点C重合,AD+DQ=AC,2t=2,t=1；（3）当0t1时,S=SPDQ=DQDP=tt=t2,当1t2时,如图2,CQ=AQAC=2ADAC=2t2=2（t1）,在RtCEQ中,CQE=30,CE=CQtanCQE=2（t1）=2（t1）,S=SPDQSECQ=tt2（t1）2（t1）=t2+4t2,S=；（4）当PQ的垂直平分线过AB的中点F时,如图3,PGF=90,P
12、G=PQ=AP=t,AF=AB=2,A=AQP=30,FPG=60,PFG=30,PF=2PG=2t,AP+PF=2t+2t=2,t=；当PQ的垂直平分线过AC的中点M时,如图4,QMN=90,AN=AC=,QM=PQ=AP=t,在RtNMQ中,NQ=,AN+NQ=AQ,+=2t,t=,当PQ的垂直平分线过BC的中点时,如图5,BF=BC=1,PE=PQ=t,H=30,ABC=60,BFH=30=H,BH=BF=1,在RtPEH中,PH=2PE=2t,AH=AP+PH=AB+BH,2t+2t=5,t=,即：当线段PQ的垂直平分线经过ABC一边中点时,t的值为秒或秒或秒【例5】如图,直线l经过点
13、A(1,0),且与双曲线(x0)交于点B(2,1)过点(p1)作x轴的平行线分别交曲线(x0)和(x0)于M、N两点（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y2上,求证：PMBPNA；（3）是否存在实数p,使得SAMN4SAMP？若存在,请求出所有满足条件的p的值；若不存在,请说明理由思路点拨1第（2）题准确画图,点的位置关系尽在图形中2第（3）题把SAMN4SAMP转化为MN4MP,按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论满分解答由P(3,2)、N(1,2)、A(1,0)三点的位置关系,可知PNA为等腰直角三角形所以PMBPNA图2 图3 图4考点伸展在本题情景下,AMN能否成为直角三角形？情形一,如图5,AMN90,此时点M的坐标为（1,2）,点P的坐标为（3,2）情形二,如图6,MAN90,此时斜边MN上的中线等于斜边的一半不存在ANM90的情况图5 图6【例6】如图（1）,在平面直角坐标系中
