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1、管理类联考初数（一）整除1、数的整除整除的定义：当整数a除以非零整数b，商正好是整数而余数为零时，则称a能被b整除，或b能整除a，记作ba。 当ba时，称a是b的倍数，b是a的约数（因数）。 0能被任何整数整除，1能整除任何整数。整除的性质：1、 传递性：若ab，bc，则ac2、 可加可减性：若ab，ac，则a（bc）3、 可乘性，若ab，则amb4、 可拆性：若abc，则ac，bc5、 互质可除性：若amb，且（a，m）=1，则ab （注：（a，m）即两数的最大公因数，（a，m）=1代表两数互质。关于最大公因数和互质的知识将在后面介绍，如果同学们已经遗忘可以翻到相应篇章进行学习。）例1：若a
2、b，bc，则当m=（ ）时，mc。（A） （B）（C）（D）（E）解析：令例2：是一个整数。 （1） 是一个整数，且也是一个整数； （2） 是一个整数，且也是一个整数。解析：利用整除性质做题条件（一）是一个整数，143n，由于（14，3）=1，所以14n条件（二）是一个整数，n7，根据整除性质无法推出n14。所以选（A）整除的特征（用处：快速判别某数能否被常用数整除或快速分解质因数） 能被2/5整除的数：个位能被2/5整除； 能被3/9整除的数：各数位数字之和必能被3/9整除； 能被4/25整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4/25整除； 能被11整除的数：奇数位之和与偶数位之和的差能被
3、11整除。 能被7、11、13整除的数（末三位法）：将后三位与前几位做差（大减小），判断差能否能被7/11/13整除。 例3：数A能被11整除。（1） A是形如abcabc的数（a是19的整数，b、c均为09的整数）；（2） A=解析：直接利用整除特征做题条件（1），利用末三位法，abcabc=0，110，所以abcabc是11的倍数；条件（2）利用奇偶数位和做差法，奇数位之和：310+1=31，偶数位之和210=20，差为3120=11，是11的倍数，所以（2）也充分答案选（D）例4：一个班的同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则这班的人数 （ ）（A）一定是
4、4的倍数 （B）不一定是4的倍数 （C） 一定不是4的倍数（D） 一定是2的倍数，不一定是4的倍数 （E）以上均不正确解析：通过分析具体的情境判断数的性质设有同学A1，和他（她）同性的仍记为A2，异性的记为B，则A两侧的排列应该是A2A1B1B2，说明在这些同学中，任取相邻的四个人都是两男两女，所以必是四的倍数。选A。连续n个数乘积可被n整除原则。连续n个正整数之积一定是n的倍数。推广：连续n个数乘积一定是n！的倍数。例5：若是一个大于100的整数，则一定有约数 （ ） （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （E）以上均不正确解析：利用连续n个数乘积可被n！整除原则。 =，有定理：连续个数的
5、乘积一定能被整除。所以既能被2整除，又能被3整除，故选B。练习题：1.从1到120的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（ ）个。（A）64 （B）48 （C）56 （D）46 （E）552. 如果是3的倍数，是2的倍数，那么必然是（）的倍数。（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （E）93. 。（1） 且；（2） 且。4. 一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是（ ）（A）858 （B）855 （C）852 （D）849 （E）8685. 是整数。（1） 若（p，q是互质的正整数），是一个整数；（2） 若（p，q是互质的正整数），是
6、一个整数。6、若，则（ ）（A） 必然是2的倍数（B） 必然是3的倍数（C） 必然至少是6的倍数（D） 必然不能被任何数整除（E） 不一定是某个数的倍数 7、有（ ）个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的各位数字都能整除它本身。（A）10 （B）7 （C）8 （D）5 （E）68、下面说法中有（ ）是正确的。（1）0可以被任何整数整除；（2） 如果则；（3） 一个数是4的倍数，必然是2的倍数；（4） 如果1078是7的倍数，3647也是7的倍数，那么必然也是7的倍数。（是正整数）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4练习题讲评：1、 前120个正整数中
7、，能被3整除的数有40个，能被5整除的数有24个，能同时被3和5整除的数（即能被15整除）有8个。 根据容斥原理（后文将有介绍），要求的应该是40+248=56个。选（C）2、 显然m必然是2和3的倍数，即是6的倍数。选（C）。3、 两个数互为倍数，这两个数必然相等，条件（1）充分；条件（2）显然也充分，选（D）4、 17的两位数倍数最大是85，个位最大是8时，组成的三位数能被3整除。选（A）5、 条件（1），当时，显然结论不成立，条件（1）不充分；条件（2），当时，显然结论不成立。 条件（1）（2）联合起来，既是14的倍数，又是16的倍数，既是9的约数又是7的约数，可见=1，是112的倍数。
8、显然是28的倍数。选（C）6、 显然当n为奇数时，m是个奇数，不能被2整除。再看一下能否被3整除，此时n除以3的结果只有三种可能：整除、余1、余2，逐一验证发现三种情况下，m都能被3整除，选（B）。7、 奇数共有1、3、5、7、9五个，无论选哪四个，都必然会有3或9，说明这个四位数必然能被3整除，则这四个数之和必然能被3整除。这样的四个数可以是1、3、5、9（大家可以验证其它都不可以）。由于有5存在，个位必须是5。前三位共有6种排法。选（E）8、 （1）显然当除数为0时不成立；（2）当时，显然不成立。所以整除的可拆性不可逆。（3）根据整除的传递性，成立。（4）根据整除的可乘可加性，成立。选（C
9、）。2.奇数和偶数概念与知识点偶数：能被2整除的整数叫做偶数（双数）。如2，0，2，4，6，奇数：不能被2整除的整数叫做奇数（单数）。如1，1，3，23，显然有： 。奇数与偶数的运算性质： 奇数奇数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数； 奇数奇数=奇数，奇数偶数=偶数，偶数偶数=偶数； 奇数个奇数之和还是奇数，奇数个偶数之和还是偶数，偶数个奇数之和是偶数，偶数个偶数之和还是偶数。 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数； 在整数的加减运算中，加减号互变，结果的奇偶性不变。 一般设2n是偶数，设（2n1）或（2n+1）是奇数。（nZ） 两个相邻的数必定一奇一偶。 ，当n是奇数时，x可以
10、为任意实数；当n是偶数时，x只能是非负数。 体验奇偶数“交叉排列”的含义*。基本做题思路：例1：有偶数位来宾。 （根据12年第20题改编） （1）聚会时所有来宾都被安排坐在一圆桌周围，且每位来宾与其邻座性别不同。 （2）所有来宾坐成一排，每位来宾与其邻座性别不同。例2：m为偶数（1） 设n为整数，m=n（n+1）（2） 在1，2，3，1988这1988个自然数中每相邻两个数之间任意添加一个加号或减号，设这样组成的运算式的结果是m。例3：象棋中的“马”每次走棋总是沿“日”字的对角线 进行，那么经过n次过后，“马”有可能跳回到最初的位置。（1）n=3（2）n=4例4：如果有理数m1，N为非完全平方
11、数），从质数2开始用不同的质数试除N，如果能被某质数整除，则说明N是合数，否则继续用下一个质数试除；如果试到质数P，发现P2N时，无需再试，N为质数。例1：三名小孩中有一名学龄前儿童（年龄不足6岁），他们的年龄都是质数，且依次相差4岁，他们的年龄之和为 （ ） （A）21 B）27 （C）33 （D）39 （E）51解析：考察30以的具体质数 最小的质数小于6，可能是2、3或者5，如果是2或5的话都不符合题意，答案只能是3、7、11。选（C）。例2：已知三个质数，满足，那么（ ）（A）36 （B）38 （C）39 （D）40 （E）72解析：利用质数的奇偶性做题。如果a、b、c全是奇数的话，原
12、式不可能成立。所以这三个数中必有一个为2。验证后发现只有b可以为2，所以原式=36+2=38。选（B）。例3：已知三个质数满足，那么的值等于（ ）。（A）30 （B）31 （C）32 （D）33 （E）34解析：连续利用质数的奇偶性做题。如果a、b、c全是奇数的话，原式不可能等于奇数。所以这三个数至少有一个为2，不妨设是a=2。原式=2+b+c+2bc=99，可以看出b、c应该是一奇一偶，不妨设b=2，可以求出c=19。选（E）。例4：有几个质数（素数）的乘积为770，则他们的和为（ ）（14年第9题）（A）85 （B）84 （C）28 （D）26 （E）25解析：利用分解质因数做题将770分解质因数，得770=25711，可知这几个数分别是2、5、7、11。所以选E例5：m是质数，满足m=n2+4n5（n为正整数），则m+ n=（ ）（A
