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1、高一数学期中考试复习材料之知识梳理第一章 集合一 集合的概念和性质1.集合元素的性质：确定性，无序性，互异性备注：互异性提醒解完题后要检验啊2.元素和集合的关系：（两者只具其一） 3.集合的表示方法;(1)列举法，例如（2）描述法。例如 你知道它们的区别吗 ？（3）韦恩图4.空集：不含任何元素的集合，符号为： 备注：空集很特殊，是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。在很多条件的处理中，要单独讨论，你知道哪些条件吗？列举出来吧。4.常见的数集符号：自然数集 整数集 正整数集 实数集 有理数集二集合之间的基本关系定义符号图示子集如果任意的真子集相等备注：（1）（2）集合A中有n个元素，那么集
2、合A有个子集，有个真子集，有个非空真子集三 集合的运算定义图示运算法则交集并集补集备注：（1）熟悉集合的几种等价形式（2）德摩根率四 几点说明：1. 集合语言要准确的翻译，特别是描述法给出的集合形式2. 注意空集的特殊性，很多题目中的单独讨论3. 数形结合思想的使用，例如数集的交并补的运算要借助数轴，点集的问题可借助图形，还有就是韦恩图的使用4. 集合的好多题目要进行题后的检验，你知道为什么吗？5. 可以写出你学习集合的感受，以便在今后的做题中带来帮助。 第二章函数一映射1.定义：设A,B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f,对集合A中的每一个元素x在集合B中都有唯一的元素y与之对应，则称这
3、个对应为A到B的映射，其中x叫原象，y叫象。2.一一映射，如果映射f是A到B的映射，并且集合B中的人意元素，在集合A中都有唯一的原象，则f为A到B的一一映射。备注：判断是不是映射看两点：（1）A中的每一个元素是不是都有象（2）象是不是唯一。二 函数1. 定义：函数是建立在数集上的特殊的映射2. 函数的表示方法：列表法，解析式，图像3.函数三要素：定义域，对应法则，值域备注：三要素是判断是不是同一个函数的标准。4. 函数定义域（使得函数解析式有意义的x的取值范围）：5.（1）具体函数求定义域： （2）抽象函数求定义域：已知f(x)的定义域是a,b,求f(g(x)的定义域即不等式的解集已知f(g(
4、x)的定义域a,b，求f(x)的定义域即求值域备注：f(g(x)的定义域a,b中，a,b是x的取值范围。（3）实际问题下的定义域要根据实际问题情境决定。（4）已知函数的定义域求参数的取值范围，你能列举一个这样的题目吗？5.函数解析式的求法：（1）换元法（配凑法）已知f(g(x)的表达式求f(x)的表达式（2）待定系数法已知函数模型，例如一次，二次。（3）列方程消元法（4）赋值法山东省实验中学高一复习材料必修一第二章 函数部分复习（一）知识汇总一、映射与函数：（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：二、函数的三要素： ， ， 。相同函数的判断方法： ； (两点必须同时具备)（1）函
5、数解析式的求法：定义法（拼凑）：换元法：待定系数法：赋值法： （2）函数定义域的求法：，则 ； 则 ；，则 ； 4.复合函数求定义域的方法：已知的定义域为，则的定义域为_已知的定义域为，则的定义域为_含参问题的定义域要分类讨论；如：已知函数的定义域是，求的定义域。对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 ；定义域为 。（3）函数值域的求法：配方法：转化为二次函数利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，
6、型如：；换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；如单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 如数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。（同学熟记一次函数二次函数指对、函数幂函数的图象）如 求下列函数的值域：（2种方法）；（2种方法）；（2种方法）；三、函数的性质：函数的单调性、奇偶性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）复合函数法和图像法。应用：比较大小，证明不等式，解不等式。奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) f(-x)=0 f(x) =f(-x) f
7、(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为奇函数。判别方法：定义法，图像法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。常见图像变化规律：（注意平移变化能够用替换的语言解释）平移变换y=f(x)y=f(x+a),y=f(x)+b注意：有系数，要先提取系数。如：把函数()经过平移得到函数()的图象。对称变换y=f(x)y=f(x),关于轴对称y=f(x)y=f(x) ,关于轴对称y=f(x)y=f|x|,把轴上方的图象保留，轴下方的图象关于轴对称y=f(x)y=|f(x)|把轴
8、右边的图象保留，然后将轴右边部分关于轴对称。（注意：它是一个偶函数）一个重要结论：若f(ax)f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；如：的图象如图，作出下列函数图象：xOyy=f(x)(2,0)(0,-1)（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。五、反函数：（1）定义：（2）函数存在反函数的条件： ；（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；（4）求反函数的步骤：将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；将互换，得；写出反函数的定义域（即的值域）。（5）互为反函数的图象间的关系： ；（6）原函数与反函数具有相同的单调性；（7）原函数为奇
9、函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。如：求下列函数的反函数：；七、常用的初等函数：（1）一元一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；（2）一元二次函数：一般式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；两点式：；对称轴方程是 ；与轴的交点为 ；顶点式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；一元二次函数的单调性： 当时： 为增函数； 为减函数；当时： 为增函数； 为减函数；二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，、若顶点的横坐标在给定的区间上，则时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；、若顶点的横坐
10、标不在给定的区间上，则时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 有三个类型题型：(1)顶点固定，区间也固定。如：(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程的两根为；则：根的情况等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根充要条件注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。（3）反比例函数：（4）指数函数：指数运算法则： ； ； 。指数函数：y= (ao,a1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a1和0ao,a1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a1和0a1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。注意：（1）与的图象关系是 ；（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。（3）已知函数的定义域为，求的取值范围。已知函数的值域为，求的取值范围。
