第六章系统的频率特性分析(第二讲)

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1、要精确地计算和绘制极坐标图 一般来说比较麻烦 因此采用频率特性的另一种图示法 对数坐标图 Bode图 它不但计算简单 绘图容易 而且一般能直观地表明开环增益 时间常数等参数变化对系统的影响 Bode图由两张图组成 即 1 幅值与频率的关系 幅频特性曲线 2 相位与频率的关系 相频特性曲线 6 3频率响应的对数坐标图 对数频率特性 Bode图在工程实际中 常常将频率特性画成对数坐标图形式 这种对数频率特性曲线又称Bode图 由对数幅频特性和对数相频特性组成 Bode图的横坐标按lg 分度 10为底的常用对数 即对数分度 单位为弧度 秒 rad s 对数幅频曲线的纵坐标按线性分度 单位是分贝 dB

2、 对数相频曲线纵坐标按 线性分度 单位是度 由此构成的坐标系称为半对数坐标系 对数分度和线性分度 图5 1对数分度和线性分度 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上 使用同一个横坐标 频率轴 当幅频特性值用分贝值表示时 通常将它称为增益 幅值和增益的关系为 注意 横坐标以频率的对数值进行分度 但坐标上显示的数值仍然是原来值 0不可能在横坐标上表示出来 使用对数坐标图的优点 可以展宽频带 频率是以10倍频表示的 因此可以清楚的表示出低频 中频和高频段的幅频和相频特性 可以将乘法运算转化为加法运算 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线 渐进线 近似表示 对实验所得的频率特性用对数坐标表示 并用分

3、段直线近似的方法 可以很容易的写出它的频率特性表达式 令T 1 则用MATLAB画出上述RC电路的伯德图如图所示 num 01 den 11 bode num den 幅频特性 对数幅频特性和相频特性 比例环节的bode图 6 3 1典型环节的伯德图 1比例环节 相频特性 图5 7比例环节的Bode图 积分环节的Bode图 2积分环节 对数幅频特性为一条斜率为 20dB dec的直线 此线通过L 0 1的点 二重积分 n重积分 对数幅频特性为一条斜率为 40dB dec的直线 此线通过L 0 1的点 对数幅频特性为一条斜率为 20 ndB dec的直线 此线通过L 0 1的点 3惯性环节 对数

4、幅频特性和相频特性为 低频段 高频段 1 T是两条渐近线的交点 称为交接频率 或叫转折频率 转角频率 这是一个很重要的概念 惯性环节的Bode图 图中 红 绿线分别是低频 高频渐近线 蓝线是实际曲线 惯性环节对数幅频特性曲线为图示的渐近线 低通滤波特性 Matlab绘制的惯性环节的Bode图 惯性环节的Bode图 伯德图误差分析 实际频率特性和渐近线之间的误差 当时 误差为 当时 误差为 最大误差发生在处 为 相频特性 作图时先用计算器计算几个特殊点 由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于 w0 45 点是斜对称的 这是对数相频特性的一个特点 当时间常数T变化时 对数幅频特性和对数相频特

5、性的形状都不变 仅仅是根据转折频率1 T的大小整条曲线向左或向右平移即可 而当增益改变时 相频特性不变 幅频特性上下平移 惯性环节的波德图 Matlab绘制的惯性环节的Bode图 当增益改变时 相频特性不变 幅频特性上下平移 讨论时的情况 频率特性为 4振荡环节 要重视 低频段 高频段 二阶振荡环节的对数幅频特性可作如下简化 不考虑阻尼比 二阶振荡环节Bode图可用上述低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示 低频段和高频段的两条直线相交处的交接频率为 1 T 称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率 在交接频率附近 对数幅频特性与渐近线存在一定的误差 其值取决于阻尼比 的值 阻尼比越小 则误差越大

6、 对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于 0 90 点是斜对称的 对数幅频特性曲线有峰值 该频率称为谐振峰值频率 可见 当时 当时 无谐振峰值 当时 有谐振峰值 谐振频率 谐振峰值 因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差 对求导并令等于零 可解得的极值对应的频率 当 振荡环节的伯德图 左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图 上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线 二阶振荡环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差 dB 微分环节有三种 纯微分 一阶微分和二阶微分 传递函数分别为 频率特性分别为 微分环节的频率特性 5微分环

7、节 纯微分环节的伯德图 纯微分环节 其对数幅频特性为一条斜率为20dB dec的直线 它与0dB线交于 1点 一阶微分环节 相频特性 几个特殊点如下 相角的变化范围从0到 对数幅频特性 用渐近线近似 一阶微分环节的伯德图 高频放大 抑制噪声能力的下降 一阶微分环节的伯德图 一阶微分环节伯德图 一阶惯性环节伯德图 一阶微分环节的Bode图与惯性环节的Bode图关于横轴对称 幅频和相频特性为 二阶微分环节 低频渐进线 高频渐进线 转折频率为 高频段的斜率 40dB Dec 二阶微分环节的频率特性 二阶微分环节的波德图 二阶微分环节伯德图 二阶振荡环节伯德图 传递函数 频率特性 幅频特性 延迟环节的

8、伯德图 6延迟环节 对数幅频特性 相频特性 小结 比例环节和积分环节的频率特性惯性环节的频率特性 低频 高频渐进线 斜率 20 转折频率振荡环节的频率特性 伯德图 低频 高频渐进线 斜率 40 转折频率微分环节的频率特性 有三种形式 纯微分 一阶微分和二阶微分 分别对应积分 一阶惯性和振荡环节延迟环节的频率特性 系统开环传函由多个典型环节相串联 系统开环对数频率特性曲线的绘制 系统开环对数幅值等于各环节的对数幅值之和 相位等于各环节的相位之和 开环对数幅频曲线及相频曲线分别由各串联环节对数幅频曲线和相频曲线叠加而成 典型环节的对数渐近幅频曲线为不同斜率的直线或折线 故叠加后的开环渐近幅频特性曲

9、线仍为不同斜率的线段组成的折线 例5 1已知系统的开环传递函数 试绘制系统的开环Bode图 系统开环包括了五个典型环节 2 2rad s 4 0 5rad s 5 10rad s 例5 2绘制开环传递函数的零型系统的Bode图 解系统开环对数幅频特性和相频特性分别 例5 5的Bode图 因此 首先确定低频起始段的斜率和位置 然后确定线段交接频率 转折频率 以及转折后线段斜率的变化 那么 就可绘制出由低频到高频的开环对数渐近幅频特性曲线 实际上 在熟悉了对数幅频特性的性质后 不必先一一画出各环节的特性 然后相加 而可以采用更简便的方法 由上例可见 零型系统开环对数幅频特性的低频段为20lgK的水

10、平线 随着 的增加 每遇到一个交接 转折 频率 对数幅频特性就改变一次斜率 依据传递函数确定各环节的交接频率 并将交接频率由低到高依次标注到半对数坐标纸横轴上 不妨设为 1 2 3 系统开环对数频率特性曲线的绘制 控制系统一般由多个环节组成 在绘制系统Bode图前 应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式 低频段特性取决于 直线斜率为 20 dB dec 为获得低频段 还需要确定该直线上的一点 可以采用以下三种方法 A 在内任选一点 0 计算其值 若采用此法 推荐取 0 1 B 取特定频率 0 1 则 C 取为特殊值0 则 低频起始段的绘制 20 dB dec 1 1 1 0型系统的低频起始

11、段的绘制 当处于低频段时0型系统传递函数低频段高度H 20lgK dB 2 I型系统的低频起始段的绘制 当处于低频段时I型系统传递函数系统Bode图的低频段渐近线斜率为 20dB dec低频段渐近线或其延长线与横轴相交 交点处频率 K低频段渐近线或其延长线在 1时的幅值为20lgK 3 II型系统的低频起始段的绘制 当处于低频段时II型系统传递函数系统Bode图低频段渐近线的斜率为 40dB dec低频段渐近线或其延长线与横轴相交 交点处频率低频段或低频段的延长线在 1时的幅值为20lgK 按交接频率由低频到高频的顺序 在低频渐近线的基础上 每遇到一个交接频率 根据环节的性质改变渐近线斜率 绘

12、制渐近线 直到绘出交接频率最高的环节为止 惯性环节 斜率改变 振荡环节 斜率改变 一阶微分环节 斜率改变 二阶微分环节 斜率改变 如需要绘制精确对数幅频特性曲线 则可在各交接频率处加以修正 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得 低频段 高频段 注意 对数幅频特性曲线上一定要标明斜率 例 11 5 20dB dec 40dB dec 17 7 4 3 135 2 低频渐进线 斜率为 过点 1 20 3 伯德图如下 8 红线为渐进线 蓝线为实际曲线 解 1 2 低频渐进线斜率为 过 1 60 点 4 画出伯德图如下页 3 高频渐进线斜率为 例4 3 具有延迟环节的开环频率特性为 试画出伯德图 解

13、 可见 加入了延迟环节的系统其幅频特性不变 相位特性滞后了 最小相位系统 非最小相位系统 若系统传递函数的所有零点和极点均在 s 平面的左半平面 则该系统称为最小相位系统 若系统传递函数的有零点或极点在 s 平面的右半平面 则该系统称为非最小相位系统 最小相位系统和非最小相位系统 6 3 3最小相位系统与非最小相位系统 对于最小相位系统 其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定 对于非最小相位系统则不是这种情况 图4 18最小相位系统和非最小相位系统的零 极点分布图 最小相位系统和非最小相位系统 非最小相位系统 最小相位系统 图4 19 的相角特性 相同的幅值特性 和 最小相位系统和非最小相位系统

14、在具有相同幅值特性的系统中 最小相位传递函数 系统 的相角范围 在所有这类系统中是最小的 任何非最小相位传递函数的相角范围 都大于最小相位传递函数的相角范围 最小相位系统 幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系 这意味着 如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定 则相角曲线被唯一确定 这个结论对于非最小相位系统不成立 反之亦然 最小相位系统和非最小相位系统 最小相位系统和非最小相位系统 例 有五个系统的传递函数如下 系统的幅频特性相同 最小相位系统和非最小相位系统 设 可计算出下表 其中为对数坐标中与的几何中点 由图可知最小相位系统是指在具有相同幅频特性的一类系统中 当w从0变化

15、至 时 系统的相角变化范围最小 且变化的规律与幅频特性的斜率有关系 如j1 w 而非最小相位系统的相角变化范围通常比前者大 如j2 w j3 w j5 w 或者相角变化范围虽不大 但相角的变化趋势与幅频特性的变化趋势不一致 如j4 w 最小相位系统和非最小相位系统 最小相位系统和非最小相位系统 最小相位系统特点 它的对数相频特性和对数幅频特性间存在着确定的对应关系 即一条对数幅频特性曲线 只能有一条对数相频特性与之对应 因此 利用Bode图对系统进行分析时 对于最小相位系统 往往只画出它的对数幅频特性曲线就够了 并且对于最小相位系统 只需根据其对数幅频特性曲线就能写出其传递函数 非最小相位系统

16、存在着过大的相位滞后 不仅影响系统的稳定性 也影响系统响应的快速性 延迟环节就是一个典型的非最小相位环节 6 4由频率特性曲线求系统传递函数 实际上 许多系统的物理模型很难抽象的很准确 其传递函数很难用纯数学分析的方法求出 对于这类系统 可以通过实验的方法测得系统的频率特性曲线 进而求出系统的传递函数 6 4由频率特性曲线求系统传递函数 基本思路 对待测系统 在感兴趣的频率范围内施加正弦激励信号 测量足够多频率上系统输出与输入的幅值比和相位差 绘制Bode图 根据Bode图的渐近线确定转折频率及各典型环节 得到系统的传递函数 由Bode图确定系统的传递函数 由Bode图确定系统传递函数 与绘制系统Bode图相反 即由实验测得的Bode图 经过分析和测算 确定系统所包含的各个典型环节 从而建立起被测系统的数学模型 最小相位系统 步骤 对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理 即用斜率为 20dB dec整数倍的直线段来近似测量到的曲线 当某 处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时 此 即为某个环节的交接频率 此环节依据斜率的变化来确定 系统最低频率段的斜率由开环积分环节的个数决定 低频