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1、数学学习中的学法指导【内容综述】本讲就数学学法中常用的几个策略作了介绍，第一就是要不断掌握有用的先进武器数学公式、定理；第二，要加强对数学概念的学习理解，在一些利用概念分析，可能减少计算一的试题中，应尽量减少计长算量，提高解题效率；第三，提供了一个面对较难试题的思维策略：反客为主，欲擒故纵第四，其它【要点讲解】1. 武器精,巧解题若能不断掌握一些有用的课外公式,无论是解高考试题,还是解数竞试题都是有用的，尤其是高考现今强调创新，出活题考能力；而高中数竞一试又往高考靠，并且数竞从来就是在出活题考能力（当然它要求的知识面更广，基础更坚深），二者关系极为密切，这一节，我们介绍两个课外的有用公式实理，
2、供大家参考。1等差数列中， 证明 例1.设等差数列满足且Sn为其前n项之和，求Sn中最大者。 （1995高中全国数竞赛题）分析：若等差数列中，满足则Sn最大。或当Sn=Sm时，取最大值解： 由题设： 得 故由等差数列前n项和是二次函数，可见是最大和说明 本题若用常规解法，就需由题设，求得再去解 求得n=20.计算量较大。例2.等差数列，的前n项和分别为Sn与Tn，若（1995年全国高考试题）分析 本题若按解答题做，推理、论证计算相当繁杂，但若利用公式就非常简单解 例3.设等差数列的前n 项和为Sn,已知 , 求公差d的取值范围.解: 即 又 故 2三面角余弦公式在如图三面角OABC中。设面角A
3、OB=Q, AOC=Q1，BOC=Q2, 二面角AOCB 大小为，则有公式，称为三面角余弦公式或三射线定理。当时，就是主几课本中复习题的公式。它的证明可在如图的基础上，作CA、CB分别垂直OC、于C、连AB，分别在AOB、AOC、BOC得用三角函数可分别将AB、BC、AC用Q、Q1、Q2及OC的关系表出，最后再在ABC中利用余弦定理求得公式本公式无论在高考试题还是竞赛试题,多有应用。例4.已知二面角MABN是直二面角，P是棱上一点，PX、PY分别在平面M、N内，且。求大小?(1964,北京赛题)解:利用三面角余弦公式得 例5.已知四面体SABC中，设以SC为棱的二面角为，求与、关系。解：由三面
4、角余弦公式及题设，得，故有 解之，得 例6.已知正四棱锥PABCD的侧面与底面夹角为L，相邻两侧面的夹角为,求证： （1981 上海竞赛题）证：设PO是棱锥的高，O是底面ABCD的对角线交点作OEAD，则PEAD， 从而PEO是侧面与底面所成角；作BFPC，连DF，易证DFB即两侧面间所成二面角的平面角.设侧棱长为a，底面边长为b。则侧高为，则由三面角余弦公式有 = = =又由三面角PBCD知 例7.如图正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成面角，则异面直线AD 与BF所成角的余弦是_。（1996年全国高考试题）解 AD，BF所成角，即BC与BF所成角，由三面角余弦公式，有 说明：由
5、上面几道在高中竞赛或全国高考试题解答中，显然课外的公式，担供了极其简捷的解法，若不用这二公式，尽管问题也能解决，但要繁杂得多这里我们才给了两个课外的有用公式，在本教程的其它章节，更介绍了许多有用的方法和公式定理，也希望同学们在今后的解题实践中，不断总结，发现更多更好的解题方法，策略和武器，为不好数学，争取得更大成绩而努力，2 大概念 小计算要学好数学，一定要重视概念的学习例8.已知集合的值。（1987全国赛题改编）分析：根据集合元素的互异性，由N知X，Y皆不为0，又由M=N，故知可见，从而xy=1，进而x、y可求解：由题设知x、y且xy=1，且M=N，解方程组得x=y=-1，舍去x=y=1(与
6、元素互异矛盾)代入原式=-2+2-2+-2= -2.说明：这时重在概念分析，计算量较小。也可发先就x、y是否为1讨论后得出原式=4002或；进而去求x、y的值，舍去4002-解，得出-2的正确结论。例9.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，求的值 （2000年全国高考）分析：本题若按解答题作，需对一般情况进行计算，比较繁杂，而若概念清楚，再结合抛物线道径长，可见令p=q即可迅速求解。解 令p=q，则由抛物线，可见，根据通径长为，应选C。例10 如图, OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分。求母线与轴的夹
7、角的余弦值分析 若能洞察旋转体体积求法真谛，本题从题设可转化为以PO原圆锥体积之半，于是可轻松地得出方程解 设原圆锥母线长为1，则底半径经，（为圆锥顶角之半），高，设ADPO于D，则于是 由 ，得解得 ， 应选C说明：在这一节中，我们主要介绍了解题中减少计算量的一种方法，希望同学们加强概念理解，尽量通过多思，找到巧解妙算解决问题的办法。在今后的章节中，我们还会介绍更多的不同于课内知识的数学概念和方法，希望大家能够认真学习，掌握各类问题的解法。3 反客为主，欲擒故纵数学习题的解决，往往都不是一帆风顺而是充满艰险的。例11.若试求的值分析 欲求有关的下弦，要先去求有关的函数关系(),然后再消去从而
8、得出的欲求值,这种策略,不妨称之为“反客为主，欲擒故纵，”在很我场合这种策略行之有效。解 由得 由得 .于是 化简得 (已舍绝对值1的另根)例12.已知求证： 分析 题设中有的三角函数，并有参数a、b、c。但题断中不含的三角函数，可见应设法消去，为此应先求出关于a、b、c的关系，再设法消去。证：由已知易得 由可见 代入，再化简即得 说明：这一节，我们介绍了一种遇到疑难问题时，可能采用的解决问题的思想方法，也即是战争中的正面强改不下时，就考虑迂回进攻的战略战术，在数学竞赛试题的解决中，应时刻准备应予这种情况的出现。例13.当x=-1, x=0, x=1, x=2时，多项式取整数值，求证：对于所有
9、整数X，这个多项式都取整数值。（1988 俄）证：注意到 （）由题设知d=p(0), a+b+c+d=p(1), 都是整数，故a+b+c也是整数。又p(-1)=2b-(a+b+c)+d是整数，故2b也是整数，而p(2)=6a+2b+2(a+b+c)+d是整数，可见6a也是整数。又易证是整数，从而由（）可证各P(x)是整数。说明 为证P（x）是整数，就需证明a、b、c、d是整数系数，这里借助于构造式,转证6a、2b，a+b+c，d为整数，从而证出p（x）是整数，这也是迂回证法，竞赛数字中采用的方法很多，希望大家认真,能认真坚持学习。【同步达纲练习】1试通过已知锥体,台体公式，概括出一般的拟柱体公式其中分别表示上、下底面积，表示中截面积。 用上述公式求解若三棱柱ABC中，若E、F分别为AB，AC中点，平面EF将三棱柱分成体积为，的两部分,则：=_.（1990年全国高考题）2.设|m|2，试求关于x的不等式 恒成立的x取值范围 3.关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围.参考答案【同步达纲练习】1注意利用； 特殊化原三棱柱为边长为2的正三棱柱，易求得，代入拟柱体公式，得2构造函数，求系数x范围。()当|x|1时, ()当|x|1时, ()|x|=1 时, X=1综上，原命题成立。3解关于a的方程，得()当()时, 当()又由可见时 故用心 爱心 专心
