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1、74 第 6 讲 目标班 教师版 考点 1 指数式与对数式的互化 到底什么是对数呢 其实对数式与指数式是相生相伴的 比如我们知道指数式 b aN 那问你 3 2 等于多 少 1 2 4 等于多少 这些我们可能都会算 我们把这种运算就叫做指数运算 但是 现在出现另外一种运 算 比如问你 2 等于4 3 等于 1 3 这些可能我们还会算 但是若问你 3 等于2 这个我们就不知道 了 那我们就把这种求指数的运算叫做对数运算 事实上 在数学历史上 对数先于指数 对数是先出 现的 对数产生的背景是在当时航海和天文要求庞大的计算基础上产生的 当时有一个很出名的书叫 常 用对数表 这个小册子当时在欧洲连续2
2、年销量第一 那对数的概念到底是什么呢 我们怎么运算呢 下面我们就来看一下对数的概念 1 对数的概念 一般地 如果 b aN 0a 且1 a 那么我们把b 叫做以 a 为底N的对数 记作logabN 其中 a 叫做对数的底数 N叫做真数 关系式abN 指数式 b aN 底数 0 1 aa指数 bR幂 值 N R 对数式logaNb底数 0 1 aa对数 bR真数 NR 教师备案 常用符号 log 是拉丁字 logarithm 的缩写 由于正数的任何次幂都是正数 即0 0 b aa 故0 b Na 因此对数符号logaN 0a且a 1 只有0N时才有意义 例如 2 log 0 2 log 2 无意
3、义 对数式loga bN 是指数式 b Na的另一种表达形式 其本质相同 对数式中的真数N就 是指数式中的幂N 而对数式中的b 是指数式中的指数b 利用对数式与指数式这一关 系 可以把指数与对数进行互化 从而使问题顺利地得到解决 求某些对数值就可把 它转化为指数问题 如 2 log 3 就相当于 3 2 8 3 1 log 2 就相当于 1 2 3 3 log 0 a 就相当于 0 1a 49 1 log 2 就相当于 1 2 49 7 8 4 log 3 就相当 于 4 3 8 16 在我们刚刚讲的对数中 底都是以 238 等为底的 如果是以10为底的 那应该怎么写呢 是 10 logN 吗
4、 下面我们就来看一下常用的对数和自然对数 2 常用对数与自然对数 对数 logaN 0a且1a 当底数 10a时 叫做常用对数 记做lg N 知识点睛 6 1 对数的相关概念 75 第 6 讲 目标班 教师版 如 lg0 01 就是代表 100 01 所以我们很快能够算出lg0 012 或者 lg0 0001 就是代表 100 0001 所以我们依然很快算出lg0 00014 另外 我们在初中学过一个无理数 那高中阶段我们依然要介绍一个无理数 下面我们就来看一 下这个无理数 ea时 叫做自然对数 记做ln N e为无理数 e2 71828 e的奥秘 e是一个奇妙有趣的无理数 它取自瑞士数学家欧
5、拉 Euler 的英文首字母 欧拉首先发 现此数并称之为自然数e 但是 这种所谓的自然数与常见正整数123L 截然不同 确切地讲 e应称为 自然对数 e log N 的底数 无理数 e值是 x 无限增大时 1 1 x x 的极限 通常书写为 1 lim1e x x x 或 1 0 lim 1e x x x 欧 拉 认 为 一 切 函 数 均 可 展 开 为 无 穷 级 数 而 指 数 函 数 ex可 写 为 23 e1 1 2 3 n xxxxx n LL 当1x时 有 1111 e1 1 2 3 n LL 理解了牛 顿和莱布尼茨的微积分后 就会更明白e的奥秘 这个问题等上高二以后再详细说明
6、另外 初中我们学了一个无理数 现在又学了一个无理数e 等到高二我们还会学一个 复数 i 这三者均为数学上至关重要的数 且三者之间还有一种密切的关系 i e10 这个式子也被称为数学史上最漂亮的式子之一 因为数学上最重要的5个数都在其中 0ei 1 教师备案 老师在讲完自然对数以后 只需让学生知道 e是无理数 2 5e3 e loglnN N 教师备案 老师在讲完对数的概念和常用对数与自然对数以后就可以让学生做例1 和例 2 例 1 主要 是将指对进行互化 例2 主要就是求值 在刚开始对数求值时 我们主要讲对数转换为 指数的形式 例 1 将下列指数式化为对数式 对数式化为指数式 4 5625 6
7、1 2 64 1 5 73 3 m 1 2 log 16 4 lg0 012 ln102 303 解析 5 log 6254 2 1 log6 64 1 3 log 5 73m 4 1 16 2 2 100 01 2 303 e10 例 2 求下列各式中x 的值 64 2 log 3 x log 86 x 8 log 16x 3 3 log 27 x 3 9 3 log 27 x 56 loglog0 x 2 1 log322x 解析 1 16 x 2x 4 3 x 5x 5 3 x 6x 2x 对数式与指数式的互化是在解决对数问题时运用化归思想的桥梁 因此 在刚开始学习对数 经典精讲 76
8、第 6 讲 目标班 教师版 问题时 我们可以把它转化为指数问题 利用分数指数幂的有关运算性质及其方法技巧来解 决问题 反过来我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题 从而使问题得到 解决 在指数中我们发现有一些恒等式 比如 0 01aa 那在对数中有没有一些恒等式呢 如果有那应该 是什么呢 对数又有什么样的性质呢 下面我们就来看一下对数恒等式和它的性质 考点 2 对数恒等式及对数性质 1 对数恒等式 根据对数的定义 可以得到下面的对数恒等式 logaN aN 证明过程 设 b aN 则logabN 两边同时取以a为底的指数 得 logaNb aa 又 b aN logaN aN 教师
9、备案 例如 3 log 12 312 10 log1000 101000 注意 当幂的底数和对数的底数相同时 对数恒等式 logay ay 才适用 2 根据对数的定义 对数logaN 0a且1a 具有下列性质 零和负数没有对数 即0N 1 的对数为零 即log 10 a 底的对数等于1 即 log1 aa 教师备案 老师在讲完对数恒等式以后就可以让学生做例3 例 3 主要是考察对数恒等式和性质 学 生应该很轻松的就能够做完 例 3 下列等式中正确的是 A 3 log 5 325B 4 log 3 33C 3 log 1 33D 3 log 2012 32012 求下列各值 lg1 3 log3
10、 3 log 5 3 7 log 5 7 3 log 5 9 3 log3 3 9 log 5 3 2 log 3 1 2 2 log 5 1 8 解析 D lg10 3 log31 3 log 5 35 7 log 5 75 3 log 5 925 3 log3 39 9 log 5 35 2 log 3 11 23 2 log 5 11 8125 经典精讲 知识点睛 77 第 6 讲 目标班 教师版 已知 2 3 log 3 1 x xx 求实数x的值 解析 1 易错分析 错解 由对数的性质可得 2 33xxx解得 1x或3x 错解分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1 这点在解题
11、中忽略了 在上一讲我们讲了指数的运算法则 如 mnm n aaa m m n n a a a n mmn aa等 那对数有什么样的 运算法则呢 下面我们就来看一下对数的运算法则 考点 3 对数的运算性质 对数的运算性质 如果0a 且100aMN 那么 性质 引入 在17 世纪 没有计算机 需要大量运算 不管你是天文学家 还是什么学家 把时间 花在大量的计算上都不好 下面我们来做一个简单的对数表 2log x0123456789101112131415 x1 248 16326412825651210242048409681921638432768 比如 你要算 7815 12825622232
12、768 即 2222 log 128log 256log 32768log128256 log loglog aaa MNMN 积的对数等于对数的和 推广 1212log logloglogakaaakNNNNNNLL 推导过程 设 logaM p logaNq 根据对数的定义 可得 p Ma q Na 由 pq MNaa p q a log loglog aaa MNpqMN logloglog aaa M MN N 商的对数等于对数的差 推导过程 设 logaM p logaNq 根据对数的定义 可得 p Ma q Na 由 p p q q Ma a Na log loglog aaa M
13、 pqMN N 性质 引入 有人说 对数的发明极大地延长了数学家 航海家 天文学家的寿命 并且伽利略说 如 果给我时间 空间和对数 我将创造这个宇宙 为什么伽利略这么说 主要是因为对 知识点睛 6 2 对数的运算 78 第 6 讲 目标班 教师版 数能够将乘除运算转化为加减运算 从而减少运算量 比如 lg101 lg100 2 lg10003等 自变量扩大10倍 函数值才往上爬一格 loglog aa MMR 幂的对数等于底数的对数乘以幂指数 推导过程 设logaMp 根据对数的定义 可得 p Ma pp Maa loglogaaMpM 教师备案 对数表的强大作用在于它能在那个时代去化简运算
14、比如 2 222 log 25log 52log5 它 可以把极大地式子化简为小的式子 所以 对运算我们也是有优先级的 比如加 减 乘 除 指数就是一个优先级逐渐升高的过程 或者我们必修3还会讲到算法 对算法中我们 也有时间的运算级 这里可以给学生简单介绍一下 比如 O n 表示100个数算100次 1000个数算1000次 数越大算的花的时间越长 2 O n表示10个数算100次 100个数 算10000次 数越大 你心里越难承受 很多算法是这个级别 比如排序算法 那最优秀的 级别是什么呢 是lgOn 表示10个数算 1 次 100个数算2次 效率非常高 最烂的级 别是什么呢 是 2 n O
15、 我们前面也讲过指数爆炸 指数级别的增长速度很快 教师备案 这些运算法则的意义在于可以把大的式子化成小的式子运算 如 3 2222222 log 24log38log 3log 8log 3log 23log 3 32 22222222 11111 log72log 72log89log 8log 9log 2log 332log 3 22222 lg12 34lg 1 23410lg1 234 1 12 34 lg1 234lglg12 341 10 333 1 log 2loglog 10 2 3 log 2与 3 1 log 2 互为相反数 教师备案 老师在讲完对数的运算法则以后 就可以
16、让学生做例4 例 4 主要是锻炼学生的运算法则 例 4 用 log ax logay logaz表示下列各式 logaxyz 2 3 loga x y 3 loga xy z loga x yz 计算下列各式 22 log 10log 5 lg5lg 2 77 1 log 3log 3 33log 5log 15 lg27lg8lg1000 lg1 2 333 32 2log 2loglog 8 9 解析 logloglog aaa xyz 2log3log aa xy 经典精讲 79 第 6 讲 目标班 教师版 11 logloglog 23 aaa xyz 1 logloglog 2 aaa xyz 1 1 0 1 3 2 2 在实际应用中 如果不用对数表 如何求对数呢 例如 已知 lg50 6990 lg30 4771 如何求 3 log 5 我们可以根据对数的性质 利用常用对数来计算 设 3 log 5x 写成指数形式 得35 x 两边取常用 对数 得 lg3lg5x 所以 lg50 6990 1 465 lg30 4771 x 即 3log 51 465 所以 我们发现上面的
