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1、48 第 4 讲 目标班 教师版 奇偶性的引入 直观 直观 特殊的对称性 初中学过中心对称和轴对称 奇偶性正是反映这两个对称的问题的 有些函数关于y轴对称 2 yx y x 2 1 y x O x y x y O y Ox 像这样的关于y轴对称的函数叫做偶函数 还有一类函数呈现标准的中心对称 即关于原点的中心对称 yx 1 y x 3 yx 3 yx O y xO y xO y x O y x 象这样的关于原点中心对称的函数叫做奇函数 例 根据图象判断以下函数的奇偶性 11 O y x O y x O y x O y xO y x 偶偶非奇非偶不是函数奇函数 注意 不是偶函数 偶函数中y轴相当
2、于一个镜子 对着镜子照 发现你有钮扣 镜子里没有 或者 你带着手表 一照镜子 镜子里没有 像这种情况只有在 大家来找茬 里才有 下面我们要从直观中寻找数学表达 先通过一些例子来总结总结规律 例 直观判断下列函数的奇偶性 可以利用图象 或取值代入等方式 4 fxx 1 fx x 3fx 0fx 1 fx x 2 fx x 答案 偶 偶 偶 既奇又偶 非奇非偶 奇 4 1 函数奇偶性的定义与判别 49 第 4 讲 目标班 教师版 先看偶函数的数学表达 总结 可以用数字验证 取一对相反数 若它们的值总是一样的 大概猜它是一个偶函数 这就是我 们总结出来的规律 那么怎么判断一个函数是偶函数呢 换言之
3、我们看什么情况下这个函数 是偶函数 任取 x 在它对称的地方取x 看它们函数值是否相等 若相等就是偶函数 从而得到偶函数的数学表达 yfx 定义域为D D关于原点对称 任意xD 有xD 如上面的图形 对应的函数就不可能是偶函数 任意xD fxfx 称 fx 为偶函数 再看奇函数的数学表达 任取一点 x 存在另x 使 fx 与 fx 互为相反数 这就是关于原点中心对称 对于奇函数有fxfx 如果 fxfx fxfx 则是非奇非偶函数 考点 1 函数奇偶性的定义与判定 1 奇函数 如果对于函数 yf x 的定义域D内任意一个x 都有xD 且 fxf x 那么 函数 f x 就叫做奇函数 2 偶函数
4、 如果对于函数 yg x 的定义域D内任意一个x 都有xD 且 gxg x 那么函 数 g x 就叫做偶函数 3 图象特征 如果一个函数是奇函数 则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 反之 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇 函数 如果一个函数是偶函数 则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 反之 如果一个 函数的图象关于y轴对称 则这个函数是偶函数 练习 1 证明 4 2 1 1fxx x 是偶函数 证明 31 g xx x 是奇函数 答案 先看定义域 定义域为00U 4 4 2 2 11 11fxxxfx x x fx 为偶函数 先看定义
5、域 定义域为00U 3311 gxxxg x xx g x 为奇函数 判断一个函数的奇偶性先看定义域是否对称 定义域 10 01 U R都是对称的定义 域 而 0 11 就不是对称的定义域 这样的函数一定是非奇非偶的 在一个函数的定义域是对称的基础上考查每个x 看 f x 与 fx 是否相等或互为相反 数 函数的奇偶性是整体性 这与单调性截然不同 知识点睛 50 第 4 讲 目标班 教师版 铺垫 判断下列函数的奇偶性 3f xx 31f xx 4 1f xx 1 f xx x 2 1f xxx 2 1f xxx 解析 奇 非奇非偶 偶 奇 非奇非偶 偶 例 1 将下列函数按照奇偶性分类 2 1
6、1f xxx 011f xx 1 1 f x x 11f xxx 22 11f xxx 3 2 1 xx f x x 2 1 2 2 x fx x 1 1 1 x f xx x 10 10 x f x x 10 10 xx fx xx 是奇函数但不是偶函数的有 是偶函数但不是奇函数的有 既不是奇函数也不是偶函数的有 既是奇函数又是偶函数的有 填相应函数的序号 解析 看函数先看定义域 定义域不对称的一定是非奇非偶函数 如 与 的定义域比较隐蔽 如果不注意定义域 直接化简 就会掉到坑里 如 定义域 1 0 1 x x 110 xx 且1x 11x 非奇非偶 如果直接化简 得到 2 1fxx就会误以
7、为是偶函数 掉到坑里 这里学生化简可能会遇到困难 遇到0a 有 1 aa a 从而得结果 对 2 1 2 2 x fx x 的定义域为1 00 1 222 111 2 2 22 xxx fx xxx 是奇函数 对 通过图象直接得到奇偶性是比较明智的 也可以取特殊点看 从这里可以引申出三个结论 结论一 如果一个奇函数 在0 x处有定义 则一定有00f 因为在 0 x 处 要关于00 对称 又不可能同一个x 对应两个y 只能是00f 也可以根据fxfx 有0000fff 当然 奇函数可能在0 x处无定义 如 1 f x x 这样的就不用管 只要有定义 一定有 00f 对于偶函数有这样的结论吗 没有
8、 如偶函数 2 1f xx 结论二 既奇又偶的函数有穷多个 这些函数的值域都为 0 请别忘记 定义域不同的函数就是不同的函数 如0fx xR 0fx 11x 经典精讲 51 第 4 讲 目标班 教师版 0fx 11x 0fx 0 x 图象为一个点它也是既奇又偶的函数 结论三 已知 5432 f xaxbxcxdxexf 系数 abcdefR 为常数 若 f x 是奇函数 则系数满足0bdf 若 f x 是偶函数 则系数满足0ace 对于一个多项式函数来说 若它是奇函数 则一定只有奇次项 若它是偶函数 则一定只有 偶次项 一般情况下认为 偶函数与x 2 x 4 x 2 1 x 常数 a相关 由以
9、上东西加加减减 得到的多为偶函数 若是与x 1 x 3 x 5 x 相关基本上会觉得是奇函数 若都有 如1x 2 1xx 就是非奇非偶函数 讲完结论三 就可以秒例2 了 拓展 函数 2 9 4 3 x y xx 的图象关于 A x轴对称B y轴对称C 原点对称D 直线0 xy对称 解析 B 例 2 若函数 2 2 1 3f xkxkx是偶函数 则 f x 的递减区间是 已知函数 22 1 1 2f xmxmxn 当 m n 时 f x 是奇函数 解析 0 当12mn 时 f x 是奇函数 例 3 已知函数 f x 是定义在R上的奇函数 g x 是定义在R上的偶函数 且 23 1f xg xxx
10、 则 g x 的解析式为 A 2 1xB 2 22xC 2 1xD 2 22x 解析 C 本题可以推广到任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数 的和 我们在秋季再展开讲 例 4 已知 f xg x 都是定义在 R上的函数 下列说法正确的是 A 若 f x 为奇函数 g x 为奇函数 则 f xg x 为奇函数 B 若 f x 为奇函数 g x 为奇函数 则 f xg x 为奇函数 C 若 f x 为奇函数 g x 为奇函数 则 f g x为偶函数 D 若 f x 为奇函数 g x 为偶函数 则 f g x为奇函数 设函数 3 1 f xxxxa 是奇函数 则a 解析
11、 B 1 拓展 复合函数的奇偶性也会由每一层的奇偶性决定 一个函数是奇的还是偶的 到底产生了什 么样的变化 换言之 要判断函数是奇还是偶 把x 取x 看结果前是否有负号 如 要判断yfg h rx的奇偶性 x 相当于小人 r h g f 相当于 4 个守关 boss 来看一下每个 boss 的属性 52 第 4 讲 目标班 教师版 偶 fxfx 对于 的态度是坚决消灭 也就是 闯不过偶函数这一关 奇 fxfx 对 可以闯过去 令 xx 看小人x 闯关 逐层分析 能否过关取决于是否有偶函数 如果每层函 数都具有奇偶性 则只要某层为偶函数 复合后一定为偶函数 只有所有层都为奇函数的 情况下 复合后
12、才是奇函数 如果某层出现非奇非偶函数 则没有固定的结论 例 判断函数 2 2 3 1fxx的奇偶性 答案 偶函数 最内层 2 1ux为偶函数 即可判定fx 为偶 不需要再考虑 2 vu 与 3 yv 的奇偶性 只要遇到偶函数 则一定为偶 函数运算之后的奇偶性也可以直接通过定义去验证 奇函数的和 或差 仍为奇函数 偶 函数的和 或差 仍为偶函数 奇函数与偶函数的积 考虑奇函数的个数 有奇数个奇函 数则为奇函数 有偶数个奇函数则为偶函数 考点 2 函数奇偶性的简单应用 与奇偶性相关的几个问题 奇偶性在图象范围是一种对称性的体现 如果告诉你一个函数是偶函数 已知右半边的图象 你 能否画出左边的 可以
13、随手给个图形为例 若已知一个函数是奇函数 给出左边图象 能否画右边 的 可以随手给个图形为例 那这个过程能解决什么问题 若一个函数是奇 偶函数 且告诉你它在一半区间上的特点 就能反 推到另一半特点 比如已知左边单调性 与x 轴交点 最大值 最小值 你就能知道另一半什么样 就好有一个镜子 你照一半 就知道另一半什么样 如 已知 fx 是偶函数 且13f 则 1 3f 若 f x 是奇函数 其它条件不变 则有13f 再比如已知fx是奇 偶函数 给出 f x 在0 x 或0 x 的解析式 就可以得到另一半的解析式 练习 2 fx 是偶函数 且在0 上 21fxx 则在0 上 f x 答案 21fxx
14、 可以通过图象的对称性得到 或者通过两点得到 例 5 fx 是偶函数 在0 上 2 43fxxx 则在0 上 f x fx 是偶函数 在0 上 31 fxx x 则在0 上 fx 已知函数 f x 为R上的奇函数 且当 0 x 时 2 1 f xx x 求函数 f x 的解析式 解析 2 43fxxx 画图解决 可以画出图象的问题 知一半求一半可以直接通过图形得到 经典精讲 知识点睛 53 第 4 讲 目标班 教师版 当给出的一半的解析式不能画图时怎么办 有什么统一的方法 统一方法 以 为例 设0 x 0 x 2 43fxxxfx 目的求fx x 在左边取 而 fx 要由对称的点求 即fxfx
15、 先求fx 用此方法可以求出 的解析式 31 f xx x 2 2 1 0 00 1 0 xx x f xx xx x 所有跟奇偶性相关的问题实质上就是一个问题 告诉你一半区间上的性质 让你去求另一半性质 单调性 若一个偶函数在0 上单调递增 则在0 上单调递减 若一个奇函数在0 上单调递增 则在0 上单调递增 说明 偶函数在对应区间上单调性相反 奇函数在对应区间上单调性相同 奇函数与偶函数的单调性可以通过单调性的定义去证明 由此可以得到奇 或偶 函数的值域与 最值的一些相关结论 如偶函数在0 上的值域与它在0 上的值域相同 而奇函数在 0 上的值域若为34 则它在0 上的值域为43 偶函数在
16、0 上的最值与 它在0 上的最值相同 奇函数在0 上的最大值的相反数是它在0 上的最小值 奇函 数在0 上的最小值的相反数是它在0 上的最大值 这些通过图象都很容易得到 练习 3 已知 1 fxx x 它是奇函数 已知它在01 上单调递减 在1 上单调递增 那么 可以得到它在 0 上的单调情况为 答案 在10 上单调递减 在1 上单调递增 例 6 定义在R上的偶函数 f x 满足在 0 上单调递增 则 A 3 2 1 fffB 1 2 3 fff C 2 1 3 fffD 3 1 2 fff 设 f x 是定义在R上的偶函数 且在 0 上是增函数 则 1 f与 2 23 f aa aR 的大小关系是 4 2 单调性与奇偶性综合 经典精讲 知识点睛 54 第 4 讲 目标班 教师版 fx 是偶函数 在0 上单调递增 且10f 解不等式 2 20f x fx 是奇函数 在0 上单调递增 且10f 解不等式 2 20fx 解析 2 23 1 f aaf 3113U 321123UU 注意 知道一个奇函数在 0 上单调增 只能得到它在 0 上也单调增 不能得 到它在R上单调增 即使在0 x有定
