数学建模培训－微分方程模型Tt整理.ppt

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1、数学建模 微分方程模型 关晓飞同济大学数学科学学院 一 什么是微分方程 最最简单的例子 引例一曲线通过点 1 2 且在该曲线任一点M x y 处的切线的斜率为2x 求该曲线的方程 解 因此 所求曲线的方程为 若设曲线方程为 又因曲线满足条件 根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式 对 1 式两端积分得 代入 3 得C 1 回答什么是微分方程 建立关于未知变量 未知变量的导数以及自变量的方程 二 微分方程的解法 积分方法 分离变量法 可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程 解法 为微分方程的解 分离变量法 例1求解微分方程 解 分离变量 两端积分 典型例题 过定点的积分曲线 一阶 二阶 过

2、定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题 例2 解初值问题 解 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得C 1 C为任意常数 故所求特解为 练习题 练习题答案 三 建立微分方程数学模型 1 简单的数学模型 2 复杂的数学模型 1 简单的数学模型 利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是 1 分析问题 设所求未知函数 建立微分方程 确定初始条件 2 求出微分方程的通解 3 根据初始条件确定通解中的任意常数 求出微分方程相应的特解 实际问题需寻求某个变量y随另一变量t的变化规律 y y t 直接求很困难 建立关于未知变量 未知变量的导数以及自变量的方

3、程 建立变量能满足的微分方程 哪一类问题 在工程实际问题中 改变 变化 增加 减少 等关键词提示我们注意什么量在变化 关键词 速率 增长 衰变 边际的 常涉及到导数 建立方法常用微分方程 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法 机理分析法 建立微分方程模型时 应用已知物理定律 可事半功倍 一 运用已知物理定律 例1铀的衰变规律问题 放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子变成其他元素 铀的含量不断的减少 这种现象称为衰变 由原子物理学知道 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t 0时刻铀的含量为 求在衰变过程中铀的含量M t 随时间t的变化规律 铀的衰变速度就是

4、对时间t的导数 解 因此 由于衰变速度与其含量成正比 可知未知函数满足关系式 对上式两端积分得 是衰变系数 且初始条件 分离变量得 代入初始条件得 所以有 这就是铀的衰变规律 例2一个较热的物体置于室温为180c的房间内 该物体最初的温度是600c 3分钟以后降到500c 想知道它的温度降到300c需要多少时间 10分钟以后它的温度是多少 一 运用已知物理定律 牛顿冷却 加热 定律 将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时 T的变化速率正比于T与周围介质的温度差 分析 假设房间足够大 放入温度较低或较高的物体时 室内温度基本不受影响 即室温分布均衡 保持为m 采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似

5、 建立模型 设物体在冷却过程中的温度为T t t 0 T的变化速率正比于T与周围介质的温度差 翻译为 数学语言 建立微分方程 其中参数k 0 m 18 求得一般解为 ln T m kt c 代入条件 求得c 42 最后得 T t 18 42 t 0 结果 T 10 18 42 25 870 该物体温度降至300c需要8 17分钟 另一个例子 已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比 设有一瓶热水 水温原来是100 空气的温度是20 经过20小时以后 瓶内水温降到60 求瓶内水温的变化规律 例3 已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比 设有一瓶热水 水温原来

6、是100 空气的温度是20 经过20小时以后 瓶内水温降到60 求瓶内水温的变化规律 解 可以认为在水的冷却过程中 空气的温度是不变的 由题意 得 其中k是比例系数 k 0 由于是单调减少的 即 设瓶内水的温度与时间之间的函数关系为 则水的冷却速率为 1 所以 1 式右边前面应加 负号 初始条件为 对 1 式分离变量 得 于是方程 1 的特解为 两边积分 得 即 把初始条件代入上式 求得C 80 其中比例系数k可用问题所给的另一条件来确定 即 解得 因此瓶内水温与时间的函数关系为 二 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性 如封闭区域内的能量 货币量等 利用变量间的平衡

7、与增长特性 可分析和建立有关变量间的相互关系 解 例1某车间体积为12000立方米 开始时空气中含有的 为了降低车间内空气中的含量 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出 问鼓风机开动6分钟后 车间内的百分比降低到多少 设鼓风机开动后时刻的含量为 在内 的通入量 的排出量 6分钟后 车间内的百分比降低到 二 利用平衡与增长式 例2简单人口增长模型 对某地区时刻t的人口总数N t 除考虑个体的出生 死亡 再进一步考虑迁入与迁出的影响 在很短的时间段 t内 关于N t 变化的一个最简单的模型是 t时间内的人口增长量 t内出生人口数 t内死亡人

8、口数 t内迁入人口数 t内迁出人口数 t时间内的净改变量 t时间内输入量 t时间内输出量 般化更一 基本模型 三 微元法 基本思想 通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况 例一个高为2米的球体容器里盛了一半的水 水从它的底部小孔流出 小孔的横截面积为1平方厘米 试求放空容器所需要的时间 对孔口的流速做两条假设 1 t时刻的流速v依赖于此刻容器内水的高度h t 2 整个放水过程无能量损失 分析 放空容器 容器内水的体积为零 容器内水的高度为零 模型建立 由水力学知 水从孔口流出的流量Q为通过 孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率 即 S 孔口横截面积 单位 平方厘米 h t 水面

9、高度 单位 厘米 t 时间 单位 秒 当S 1平方厘米 有 h t h h r1 r2 水位降低体积变化 在 t t t 内 水面高度h t 降至h h h 0 容器中水的体积的改变量为 令 t0 得 dV r2dh 2 比较 1 2 两式得微分方程如下 积分后整理得 0 h 100 令h 0 求得完全排空需要约2小时58分 另一个例子 有高为1米的半球形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面积为1平方厘米 如图 开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h 水面与孔口中心间的距离 随时间t的变化规律 解 由力学知识得 水从孔口流出的流量为 设在微小的时间间隔 水面的高度由h降

10、至 比较 1 和 2 得 即为未知函数的微分方程 可分离变量 所求规律为 四 分析法 基本思想 根据对现实对象特性的认识 分析其因果关系 找出反映内部机理的规律 例 独家广告模型 广告是调整商品销售的强有力的手段 广告与销售量之间有什么内在联系 如何评价不同时期的广告效果 分析广告的效果 可做如下的条件假设 1 商品的销售速度会因广告而增大 当商品在市场上趋于饱和时 销售速度将趋于一个极限值 2 商品销售率 销售加速度 随商品销售速度的增高而降低 3 选择如下广告策略 t时刻的广告费用为 建模记S t t时刻商品的销售速度 M 销售饱和水平 即销售速度的上限 0 衰减因子 广告作用随时间的推移

11、而自然衰减的速度 直接建立微分方程 称p为响应系数 表征A t 对S t 的影响力 模型分析 是否与前三条假设相符 改写模型 假设1 市场 余额 假设2 销售速度因广告作用增大 同时又受市场余额的限制 2 复杂的数学模型 背景 世界人口增长概况 中国人口增长概况 研究人口变化规律 控制人口过快增长 人口增长模型 常用的计算公式 今年人口x0 年增长率r k年后人口 指数增长模型 马尔萨斯提出 1798 x t 时刻t的人口 基本假设 人口 相对 增长率r是常数 即单位时间内人口的增长量与人口成正比 且比例系数为r 随着时间增加 人口按指数规律无限增长 根据假设 在到时间段内 人口的增长量为 模

12、型检验 据估计1961年地球上人口总数为 在以后7年中 人口总数以每年的数度增长 这样 也就是说到2670年 地球上将有36000亿人口 非常荒谬 这个公式非常准确地反映了1700 1961年世界人口的总数 但是 指数增长模型的应用及局限性 阻滞增长模型 Logistic模型 人口增长到一定数量后 增长率下降的原因 资源 环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假定 r 固有增长率 x很小时 xm 人口容量 资源 环境能容纳的最大数量 阻滞增长模型 Logistic模型 x t S形曲线 x增加先快后慢 模型的参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报 必须先估计

13、模型参数r或r xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例 美国人口数据 单位 百万 专家估计 模型检验 用模型预报1990年美国人口 与实际数据比较 实际为251 4 百万 模型应用 人口预报 用美国1790 1990年人口数据重新估计参数 Logistic模型在经济领域中的应用 如耐用消费品的售量 1 指数增长模型 马尔萨斯人口模型 英国人口学家马尔萨斯 Malthus1766 1834 于1798年提出 2 阻滞增长模型 Logistic模型 3 更复杂的人口模型随机性模型 考虑人口年龄分布的模型等 可见数学模型总是在不断的修改 完善使之能符合实际情况的变化 小结 两方军队交战 希望为这场

14、战斗建立一个数学模型 应用这个模型达到如下目的 战争模型 2 Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X方军队a名士兵 平衡式 附 微分方程模型汇总 1传染病模型2经济增长模型3正规战与游击战4药物在体内的分布与排除5香烟过滤嘴的作用6人口预测和控制7烟雾的扩散与消失8万有引力定律的发现 动态模型 描述对象特征随时间 空间 的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 微分方程建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程 1传染病模型 问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报

15、传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律 用机理分析方法建立模型 已感染人数 病人 i t 每个病人每天有效接触 足以使人致病 人数为 模型1 假设 若有效接触的是病人 则不能使病人数增加 建模 模型2 区分已感染者 病人 和未感染者 健康人 假设 1 总人数N不变 病人和健康人的比例分别为 2 每个病人每天有效接触人数为 且使接触的健康人致病 建模 日接触率 SI模型 模型2 tm 传染病高潮到来时刻 日接触率 tm 病人可以治愈 t tm di dt最大 模型3 传染病无免疫性 病人治愈成为健康人 健康人可再次被感染 增加假设 SIS模型 3 病人每天治愈的比例为

16、 日治愈率 建模 日接触率 1 感染期 一个感染期内每个病人的有效接触人数 称为接触数 模型3 接触数 1 阈值 感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数 模型2 SI模型 如何看作模型3 SIS模型 的特例 模型4 传染病有免疫性 病人治愈后即移出感染系统 称移出者 SIR模型 假设 1 总人数N不变 病人 健康人和移出者的比例分别为 2 病人的日接触率 日治愈率 接触数 建模 需建立的两个方程 模型4 SIR模型 模型4 SIR模型 相轨线的定义域 在D内作相轨线的图形 进行分析 模型4 SIR模型 相轨线及其分析 s t 单调减 相轨线的方向 P1 s0 1 i t 先升后降至0 P2 s0 1 i t 单调降至0 1 阈值 模型4 SIR模型 预防传染病蔓延的手段 日接触率 卫生水平 日治愈率 医疗水平 传染病不蔓延的条件 s0 1 的估计 降低s0 提高r0 提高阈值1 模型4 SIR模型 被传染人数的估计 记被传染人数比例 小 s0 1 提高阈值1 降低被传染人数比例x s0 1 2经济增长模型 增加生产发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 建立产值与资金 劳动力之