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1、槡 槡 槡 槡 年北京市中学生数学竞赛 高一年级初赛试题及参考解答 一 选择题 满分 分 设集合 则 中的元素个数为 如 图 在 的 正 方 形 网 格 中 点 都是格点 与 相交于点 则 的值等 于 答 解由 得 因为 又 且 与 同奇偶 所以只有 答 六组有正整数解 若二次函数 的图像经过原点 且对任意 的 都有 恒 成 立 则 的解析式为 图 图 解如图 取格点 连接 则 所以 所以 易见 槡 槡 槡 槡 因此 槡 烄 已知 函数 烅 不等式 答 烆 解依题意可设 其中 为常数 在 上恒成立 则实数 因为 所以 化简得 烄 的取值范围是 对比系数可得烅 烆 答 于是 所以 解由题意可知
2、函数 在 上单调递减 要想 使 不等式 在 上恒成 立 只需 时 总成立 即 于是 只需 所以 答 二次三项式 具有两个实根 解设 则 和 甲将 的一次项系数变为 将常数项变为 构成二次三项式 乙将 的一次项系数 即 变为 将常数项变为 构成二次三项式 则 具有实根 没有实根 没有实根 具有实根 具有实根 具有实根 没有实根 没有实根 长方形 的面积 所以 而 所以当 时 有最 大 值 记 求 答 解根据韦达定理 由 是二次三项式 的 两 个 实 根 有 则 方 程 的判别式 为 这意味 具有 实根 的值 答案 解 而 方程 的判别式为 这意味 着 具有实根 如图 在 中 在 的平分线 的反
3、已知函数 又 向 延 长 线 上取 点 使 得 求线段 的长 则 的整数部分是 答 解记 图 解由 得 则 所以 由此得 考虑到 所以 因此 所以 所以 槡 槡 正数 满足 确定 的值 因此 的整数部分 是 二 填空题 满分 分 在 直角梯形 中 如 图 求内接 长 方形 的最大面积 图 答 解由第一个方程可以得出 数 是直角为 的直角三角形 的 直 角 边 和 斜 边 由 第 二 个 方 程 得 出 数 和 是直角为 的直角三角形 的直角 边和斜边 由 第 三 个 方 程 得 出 数 是数 和 的比例 中项 根据在直角三角形中比例线段的逆定理 得 答 槡 是直角 上述关系可以构成图 则 一方
4、面 另一方面 写出数 的 数 字 和 图 再写出数 的数字和 依次这样写下去 直写到 所以 的数字和 是一位数 为止 确定 的 值 所以与 最接近的整数 答 解注意到对自然数 和它的数字和 满足 方法 所以 方法 由于 因此 所以 由正五边形 的 对角线相交构成新的正五边形 如 图 正五边 形 的面积为 平方厘 如图 已知动点 在边长 为 的正方形 内 部 包括 边界 且 满足 试 确定点 的轨迹与正方形的边所 围成的较小一块图形的面积 槡 图 解 若 在边 上的 点 则 由条件 对于 总有 即 是 的平分线 又 因 为 的内 外 角平 分 线 的 夹 角为 画 出 的外角平分线交直线 于点 则 米 试确定正五边形 且有 得 即 是定点 的面积是多少平方厘米 答 槡 于是点 在以 为直 图 径 的 圆 上 所以 点 的轨 解设五边形 的边长为 五边形 的边长为 易得 且 得 即 迹为 的中点 的圆心 半径为 的圆在正方形内的 弧段 与 正 方 形 围成 的 较 小 一块图形的面积就是图 中 解得 槡 图 阴影部分的面积 综上 槡 槡 当点 运动到 时 由于 所以 因为 所以 槡 一串数 满 足 因此 扇 形 的面积是半径 的圆面积的 试确定与 最接近的整数 因此所求图形面积 扇形 的面积 的 答 解 面积 槡 槡 答
