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1、 第十三讲梁的挠曲线方程与积分解法湖南理工学院 曾纪杰 梁的挠度和转角 1 度量弯曲变形的两个量 1 挠度 梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移 称为挠度 工程上的一般忽略水平线位移 2 转角 梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移 称为转角 一弯曲变形的量度及符号规定 梁的挠度和转角 2 挠度的符号规定 向上为正 向下为负 2 符号规定 1 坐标系的建立 坐标原点一般设在梁的左端 并规定 以变形前的梁轴线为x轴 向右为正 以y轴代表曲线的纵坐标 挠度 向上为正 3 转角的符号规定 逆时针转向的转角为正 顺时针转向的转角为负 W 1 挠曲线 在平面弯曲的情况下 梁变形
2、后的轴线在弯曲平面内成为一条平面曲线 这条曲线称为挠曲线 弯曲后梁的轴线 挠曲线 力学公式 数学公式 横力弯曲 l h 5 2 挠曲线的近似微分方程 1 曲率与弯矩 抗弯刚度的关系 小挠度情形下 此即弹性曲线的小挠度近似微分方程 1 max 0 01 0 001 l 2 2 挠曲线近似微分方程符号及近似解释 近似解释 1 忽略了剪力的影响 2 由于小变形 略去了曲线方程中的高次项 2 2 3 选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程 1 积分法 基本方法利用积分法求梁变形的一般步骤 1 建立坐标系 一般 坐标原点设在梁的左端 求支座反力 分段列弯矩方程 分段的原则 凡载荷有突变处 包括中间支座 应
3、作为分段点 凡截面有变化处 或材料有变化处 应作为分段点 中间铰视为两个梁段间的联系 此种联系体现为两部分之间的相互作用力 故应作为分段点 二计算弯曲变形的两种方法 2 分段列出梁的挠曲线近似微分方程 并对其积分两次对挠曲线近似微分方程积分一次 得转角方程 再积分一次 得挠曲线方程 3 利用边界条件 连续条件确定积分常数 积分常数的数目 取决于的分段数M x n段积分常数 2n个举例 分2段 则积分常数2x2 4个 积分常数的确定 边界条件和连续条件 边界条件 梁在其支承处的挠度或转角是已知的 这样的已知条件称为边界条件 连续条件 梁的挠曲线是一条连续 光滑 平坦的曲线 因此 在梁的同一截面上
4、不可能有两个不同的挠度值或转角值 这样的已知条件称为连续条件 边界条件积分常数2n个 2n个连续条件 边界条件 连续条件 列出图示结构的边界条件和连续条件 列出图示结构的边界条件和连续条件 解 边界条件 连续条件 积分常数的物理意义和几何意义 物理意义 将x 0代入转角方程和挠曲线方程 得即坐标原点处梁的转角 它的EI倍就是积分常数C 即坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D 几何意义 C 转角D 挠度 4 建立转角方程和挠曲线方程 5 计算指定截面的转角和挠度值 特别注意和及其所在截面 例题1 悬臂梁受力如图所示 求和 取参考坐标系Axy 解 1 列出梁的弯矩方程 2 积分一次 积分二次
5、1 2 3 确定常数C D 由边界条件 代入 1 得 代入 2 得 代入 1 2 得 与C比较知 与D比较知 常数C表示起始截面的转角 刚度 EI 因此 常数D表示起始截面的挠度 刚度 EI 例题2 一简支梁受力如图所示 试求和 解 1 求支座反力 2 分段列出梁的弯矩方程 BC段 AC段 B BC段 AC段 3 确定常数 由边界条件 1 2 由光滑连续条件 3 4 可解得 则简支梁的转角方程和挠度方程为 BC段 AC段 4 求转角 代入得 代入得 5 求 求得的位置值x 则由 解得 代入得 若则 在简支梁情况下 不管F作用在何处 支承除外 可用中间挠度代替 其误差不大 不超过3 作业 刘鸿文 材料力学 第五版 6 3d 6 4d
