第章气体分子运动论整理.ppt

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1、1 第10章气体分子运动论 Kinetictheoryofgases 1平衡态与理想气体状态方程 2理想气体压强和温度的统计意义 3能量按自由度均分原理理想气体内能 4麦克斯韦速率分布律 5玻尔兹曼分布律 6气体分子的平均碰撞频率平均自由程 7输运过程 8真实气体的范德瓦耳斯方程 作业 练习册选择题填空题计算题 2 宏观法与微观法相辅相成 热学 Heat 热学是研究与热现象有关的规律的科学 热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现 大量分子的无规则运动称为热运动 1 热学的研究方法 宏观法最基本的实验规律 逻辑推理 运用数学 称为热力学 优点 可靠 普遍 缺点 未揭示微观本质 微观法物质的微

2、观结构 统计方法 称为统计其初级理论称为气体分子运动论 气体动理论 优点 揭示了热现象的微观本质 缺点 可靠性 普遍性差 3 2 两种研究方法涉及的物理量 宏观量从整体上描述系统的状态量 一般可以直接测量 如M V E等 可以累加 称为广延量 P T等 不可累加 称为强度量 微观量描述系统内微观粒子的物理量 如分子的质量m 直径d 速度v 动量p 能量 等 宏观量与微观量有一定的内在联系例如 气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果 它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关 4 3分子热运动和统计规律 分子热运动 大量分子做永不停息的无规则运动 基本特征 1 无序性某个分子的运动 是杂乱无章的 无序

3、的 各个分子之间的运动也不相同 即无序性 这正是热运动与机械运动的本质区别 2 统计性但从大量分子的整体的角度看 存在一定的统计规律 即统计性 分子热运动具有无序性与统计性 与机械运动有本质的区别 故不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题 必须兼顾两种特征 应用统计力学方法 5 定义 某一事件i发生的概率为wiNi 事件i发生的次数N 各种事件发生的总次数 统计规律有以下几个特点 1 只对大量偶然的事件才有意义 2 它是不同于个体规律的整体规律 量变到质变 表演实验 伽耳顿板 例 扔硬币 什么是统计规律性 大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性 6 在描写大量分子状态时往往使用统计平均值

4、我们描述的是大量分子的运动 一摩尔气体就有6 022 1023个分子 一个个地说明其速度 位置等既无必要又无可能 因而实际上常用它们的平均值 怎样求平均值呢 以求分子速率的平均值为例 设有一个系统有N个分子且 具有速率v1分子数为n1 出现v1值的概率为n1 N 具有速率v2分子数为n2 出现v2值的概率为n2 N 具有速率vi分子数为ni 出现vi值的概率为ni N 具有速率vm分子数为nm 出现vm值的概率为nm N 故平均值 7 如果速率看作连续分布 设取v值的概率为dw 则 事实上对任一随机量x的平均值可表示为 dw为出现x值的几率 这种利用几率的办法求得的平均值称为统计平均值 8 微

5、观模型与统计方法 理想气体分子的微观假设 2理想气体压强和温度的统计意义 1 理想气体微观模型 1 气体分子当作质点 不占体积 体现气态的特性 2 气体分子的运动遵从牛顿力学的规律 3 分子之间除碰撞的瞬间外 无相互作用力 碰撞为弹性碰撞 一般情况下 忽略重力 气体分子之间的距离 引力可认为是零 看做理想气体 范德瓦耳斯力 无相互作用的弹性质点 9 2 对大量分子组成的气体系统的统计假设 分子的速度各不相同 而且通过碰撞不断变化着 2 分子沿任一方向的运动不比其它方向的运动占有优势 即分子速度在各方向上的分量的各种平均值相等 鉴于气体在平衡状态中 分子的空间分布到处均匀的事实 作如下假设 1

6、容器中任一位置处单位体积内的分子数不比其它位置占有优势 10 设在体积为V的容器中储有N个质量为m的分子组成的理想气体 平衡态下 若忽略重力影响 则分子在容器中按位置的分布是均匀的 分子数密度为n N V dI为大量分子在dt时间内施加在器壁dA面上的平均冲量 3 压强公式的简单推导从微观上看 气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量 有 为讨论方便 将分子按速度分组 第i组分子的速度为vi 严格说在vi附近 分子数为Ni 分子数密度为ni Ni V 并有n n1 n2 ni ni 11 平衡态下 器壁各处压强相等 取直角坐标系 在垂直于x轴的器壁上任取一小面积dA 计

7、算其所受的压强 如右图 单个分子在对dA的一次碰撞中施于dA的冲量为2mvix dt时间内 碰到dA面的第i组分子施于dA的冲量为2mnivix2dtdA 关键在于 在全部速度为vi的分子中 在dt时间内 能与dA相碰的只是那些位于以dA为底 以vixdt为高 以vi为轴线的圆柱体内的分子 分子数为nivixdtdA 12 dt时间内 与dA相碰撞的所有分子施与dA的冲量为 注意 vix 0的分子不与dA碰撞 容器中气体无整体运动 平均来讲vix 0的分子数等于vix 0的分子数 13 平衡态下 分子速度按方向的分布是均匀的 有 所以 或者 显示宏观量与微观量的关系 是力学原理与统计方法相结合

8、得出的统计规律 压强的微观意义 压强是大量分子碰撞器壁的平均作用力 单位面积上 的统计平均值 分子的平均平动动能 14 温度的微观意义比较P nkT和 有 理想气体状态方程的分子形式由 PV RT若分子总数N 则有PV NRT NA定义玻尔兹曼常数 k R NA 1 38 10 23J K 1则PV NkT或P nkT 4理想气体的温度公式 分子的平均平动动能是分子无规则运动激烈程度的定量表示 温度T标志着物体内部分子无规则运动的激烈程度 15 方均根速率 在同一温度下 质量大的分子其方均根速率小 5 方均根速率 气体分子速率平方的平均值的平方根 平均平动动能只与温度有关 温度是统计概念 只能

9、用于大量分子 温度标志物体内部分子无规则运动的剧烈程度 16 1 一定质量的气体 当温度不变时 压强随体积减小而增大 当体积不变时 压强随温度升高而增大 从宏观上说 这两种变化都使压强增大 从微观上说 它们是否有区别 2 两种不同种类的理想气体 压强相同 温度相同 体积不同 试问单位体积内的分子数是否相同 3 两瓶不同种类的气体 分子平均平动动能相同 但气体的分子数密度不同 试问他们的压强是否相同 4 两瓶不同种类的气体 体积不同 但温度和压强相同 问气体分子的平均平动动能是否相同 单位体积中的分子的总平均平动动能是否相同 问题 答案 前者是由于分子碰撞次数增加导致 后者是由于运动加剧导致 答

10、案 相同 答案 不同 答案 相同 相同 17 前面我们研究气体动能时把分子看作无相互作用弹性质点的集合 我们发现当用这一模型去研究单原子气体的比热时 理论与实际吻合得很好 但当我们用这一模型去研究多原子分子时 理论值与实验值相差甚远 1857年克劳修斯提出 要修改模型 而不能将所有分子都看成质点 对结构复杂的分子 我们不但要考察其平动 而且还要考虑分子的转动 振动等 理想气体模型必须修改 18 将理想气体模型稍作修改 即将气体分为单原子分子气体 双原子分子气体 多原子分子气体 这样 气体分子除平动外 还有转动和分子内原子之间的振动 作为统计理论初步 可不考虑分子内部的振动 而认为分子是刚性的

11、为用统计方法计算分子动能 首先介绍自由度的概念 3能量按自由度均分原理理想气体内能 1 自由度 自由度 在力学中 自由度是指决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数 t 平动自由度 r 转动自由度 19 刚性双原子分子t 3r 2 两个被看作质点的原子被一条几何线连接 刚性多原子分子t 3r 3 质心 3x y z c 方位 2 转动 1 单原子分子 自由运动质点 t 3 20 2 能量按自由度均分定理 平方项的平均值 平动自由度 一个分子的平均平动动能为 可得平衡态下 分子的每一个平动自由度的平均动能都等于 推广到转动等其它运动形式 得能量均分定理 21 在温度为T的平衡态下 气体分子每个自

12、由度的平均动能都相等 都等于 是统计规律 只适用于大量分子组成的系统 是气体分子无规则碰撞的结果 经典统计物理可给出严格证明 非刚性双原子分子除平动能 转动能 还有振动能 每个振动自由度s分配平均能量 1个振动自由度还有 22 此结论在与室温相差不大的温度范围内与实验近似相符 i表示一个分子的总自由度N表示气体分子的总数 表示气体总摩尔数分子的平均动能 3 理想气体的内能 内能 热力学系统的全部微观粒子具有的总能量 包括分子热运动的动能 分子间的势能 原子内及核内的能量 这里特指前两种 用E表示 对于刚性分子 不计分子间势能 内能仅包括所有分子的平均动能之和 理想气体的内能只是温度的函数而且与

13、热力学温度成正比 理想气体的内能 23 例1 在标准状态下 若氧气和氦气的体积比为1 2 求其内能之比 解 氧气i1 5和氦气i2 3 例2 设氦气和氮气的质量相等 方均根速率相等 则氦气和氮气的内能之比为多少 解 氦气i1 3和氮气i2 5 24 4麦克斯韦速率分布律 分子运动论从物质微观结构出发 研究大量分子组成的系统的热性质 其中个别分子的运动 在动力学支配下 是无规则的 存在着极大的偶然性 但是 总体上却存在着确定的规律性 对具有统计性的系统来讲 总存在着确定的分布函数 因此 写出分布函数是研究一个系统的关键之处 具有普遍的意义 N个分子组成的理想气体到达平衡态时 分子的速度分布是什么

14、 这是一个非常有实际意义的问题 也是统计物理研究的主要问题之一 25 速率分布函数 dNv表示速率分布在某区间v v dv内的分子数 dNv N表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率 百分比 dNv N还应与区间大小成正比 因此有 或 归一化条件 物理意义 速率在v附近 单位速率区间的分子数占总分子数的比率 一定量的气体分子总数为N dNv N是v的函数 在不同速率附近取相等的区间 此比率一般不相等 26 兰媚尔实验 原理 速率筛每旋转一周 分子通过筛 到达屏上 但不是所有速率的分子都能通过分子速率筛的 只有满足关系 即只有速率为 的分子才能通过 改变 等可让不同速率的分子通过 装置置于真

15、空之中 1 分子速率的实验测定 通过光度法测量沉积层的厚度 可得不同速率的分子数占总分子的百分比 27 下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比 光度法测量沉积层的厚度 28 2 麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦的主要科学贡献在电磁学方面 同时在天体物理学 气体分子运动论 热力学 统计物理学等方面 都作出了卓越的成绩 1858年从理论上推导 29 麦克斯韦速率分布函数 在平衡态下 当气体分子间的相互作用可以忽略时 分布在任一速率区间v v dv的分子数占总分子数的比率为 麦克斯韦速率分布律 一定条件下 速率分布函数的具体形式 30 曲线下面宽度为dv的小窄条面积等于分布在此速率

16、区间内的分子数占总分子数的比率dN N 麦克斯韦速率分布曲线 最概然速率 与f v 极大值对应的速率 物理意义 若把整个速率范围划分为许多相等的小区间 则分布在vP所在区间的分子数比率最大 归一化条件 当v vp时 31 温度越高 速率大的分子数越多 vp随T升高而增大 随m增大而减小 可讨论T和m对速率分布的影响 同一气体不同温度下速率分布比较 32 三者和T m 或 的关系相同 三种速率使用于不同的场合 一般与速率有关物理量g v 的平均值 可由下式决定 33 试用气体的分子热运动说明为什么大气中氢的含量极少 在空气中有O2 N2 Ar H2 C02等分子 其中以H2的摩尔质量最小 从上式可知 在同一温度下H2的的平均速率较大 而在大气中分子速度大于第二宇宙速度11 2公里 秒时 分子就有可能摆脱地球的引力作用离开大气层 H2摩尔质量最小 其速度达到11 2公里 秒的分子数就比O2 Ar C02达到这一速度的分子数多 H2逃逸地球引力作用的几率最大 离开大气层的氢气最多 所以H2在大气中的含量最少 34 速度空间的概念表示分子的速度以其分量vx vy vz为轴可构成一直角坐标系 由