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1、第三一阶动态电路分析 3 1电容元件和电感元件 3 2换路定律及初始值的确定 3 3零输入响应 3 4零状态响应 3 5全响应 3 6求解一阶电路三要素法 返回 学习目标 理解动态元件L C的特性 并能熟练应用于电路分析 深刻理解零输入响应 零状态响应 暂态响应 稳态响应的含义 并掌握它们的分析计算方法 弄懂动态电路方程的建立及解法 熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素分析法 3 1电容元件和电感元件 3 1 1电容元件电容器是一种能储存电荷的器件 电容元件是电容器的理想化模型 斜率为R 图3 1电容的符号 线性非时变电容的特性曲线 当电容上电压与电荷为关联参考方向时 电荷q与u关系
2、为 q t Cu t C是电容的电容量 亦即特性曲线的斜率 当u i为关联方向时 据电流强度定义有 i Cdq dt非关联时 i Cdq dt 电容的伏安还可写成 式中 u 0 是在t 0时刻电容已积累的电压 称为初始电压 而后一项是在t 0以后电容上形成的电压 它体现了在0 t的时间内电流对电压的贡献 由此可知 在某一时刻t 电容电压u不仅与该时刻的电流i有关 而且与t以前电流的全部历史状况有关 因此 我们说电容是一种记忆元件 有 记忆 电流的作用 当电容电压和电流为关联方向时 电容吸收的瞬时功率为 瞬时功率可正可负 当p t 0时 说明电容是在吸收能量 处于充电状态 当p t 0时 说明电
3、容是在供出能量 处于放电状态 对上式从 到t进行积分 即得t时刻电容上的储能为 式中u 表示电容未充电时刻的电压值 应有u 0 于是 电容在时刻t的储能可简化为 由上式可知 电容在某一时刻t的储能仅取决于此时刻的电压 而与电流无关 且储能 0 电容在充电时吸收的能量全部转换为电场能量 放电时又将储存的电场能量释放回电路 它本身不消耗能量 也不会释放出多于它吸收的能量 所以称电容为储能元件 3 1 2电感元件 电感器 线圈 是存储磁能的器件 而电感元件是它的理想化模型 当电流通过感器时 就有磁链与线圈交链 当磁通与电流i参考方向之间符合右手螺旋关系时 磁力链与电流的关系为 图3 2电感元件模型符
4、号及特性曲线 当u i为关联方向时 有 这是电感伏安关系的微分形式 t Li t 电感的伏安还可写成 式中 i 0 是在t 0时刻电感已积累的电流 称为初始电流 而后一项是在t 0以后电感上形成的电流 它体现了在0 t的时间内电压对电流的贡献 上式说明 任一时刻的电感电流 不仅取决于该时刻的电压值 还取决于 t所有时间的电压值 即与电压过去的全部历史有关 可见电感有 记忆 电压的作用 它也是一种记忆元件 当电感电压和电流为关联方向时 电感吸收的瞬时功率为 与电容一样 电感的瞬时功率也可正可负 当p t 0时 表示电感从电路吸收功率 储存磁场能量 当p t 0时 表示供出能量 释放磁场能量 对上
5、式从 到t进行积分 即得t时刻电感上的储能为 因为 所以 由上式可知 电感在某一时刻t的储能仅取决于此时刻的电流值 而与电压无关 只要有电流存在 就有储能 且储能 0 3 2换路定律及初始值的确定 3 2 1换路定律通常 我们把电路中开关的接通 断开或电路参数的突然变化等统称为 换路 我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律 知道了电压 电流的初始值 就能掌握换路后电压 电流是从多大的初始值开始变化的 该定律是指若电容电压 电感电流为有限值 则uC iL不能跃变 即换路前后一瞬间的uC iL是相等的 可表达为 uC 0 uC 0 iL 0 iL 0 必须注意 只有uC iL受换路定律的约束
6、而保持不变 电路中其他电压 电流都可能发生跃变 3 2 2初始值的确定 换路后瞬间电容电压 电感电流的初始值 用uC 0 和iL 0 来表示 它是利用换路前瞬间t 0 电路确定uC 0 和iL 0 再由换路定律得到uC 0 和iL 0 的值 电路中其他变量如iR uR uL iC的初始值不遵循换路定律的规律 它们的初始值需由t 0 电路来求得 具体求法是 画出t 0 电路 在该电路中若uC 0 uC 0 US 电容用一个电压源US代替 若uC 0 0则电容用短路线代替 若iL 0 iL 0 IS 电感一个电流源IS代替 若iL 0 0则电感作开路处理 下面举例说明初始值的求法 例1 在图3 3
7、 a 电路中 开关S在t 0时闭合 开关闭合前电路已处于稳定状态 试求初始值uC 0 iL 0 i1 0 i2 0 ic 0 和uL 0 图3 3例1图 解 1 电路在t 0时发生换路 欲求各电压 电流的初始值 应先求uC 0 和iL 0 通过换路前稳定状态下t 0 电路可求得uC 0 和iL 0 在直流稳态电路中 uC不再变化 duC dt 0 故iC 0 即电容C相当于开路 同理iL也不再变化 diL dt 0 故uL 0 即电感L相当于短路 所以t 0 时刻的等效电路如图3 3 b 所示 由该图可知 2 由换路定理得 因此 在t 0 瞬间 电容元件相当于一个4V的电压源 电感元件相当于一
8、个2A的电流源 据此画出t 0 时刻的等效电路 如图3 3 C 所示 3 在t 0 电路中 应用直流电阻电路的分析方法 可求出电路中其他电流 电压的初始值 即 iC 0 2 2 1 1AuL 0 10 3 2 4 0 例2 电路如图3 4 a 所示 开关S闭合前电路无储能 开关S在t 0时闭合 试求i1 i2 i3 uc uL的初始值 图3 4例2图 解 1 由题意知 2 由换路定理得 因此 在t 0 电路中 电容应该用短路线代替 电感以开路代之 得到t 0 电路 如图3 4 b 所示 3 在t 0 电路中 应用直流电阻电路的分析方法求得 通过以上例题 可以归纳出求初始值的一般步骤如下 1 根
9、据t 0 时的等效电路 求出uC 0 及iL 0 2 作出t 0 时的等效电路 并在图上标出各待求量 3 由t 0 等效电路 求出各待求量的初始值 i3 0 0 uL 0 20 i2 0 20 0 3 6V 当外加激励为零 仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压 称为动态电路的零输入响应 图3 5RC电路的零输入 uR 3 3零输入响应 图3 5 a 所示的电路中 在t0后 电路中无电源作用 电路的响应均是由电容的初始储能而产生 故属于零输入响应 3 3 1RC电路的零输入响应 uR uc 0 而uR iR 代入上式可得 上式是一阶常系数齐次微分方程 其通解形式为uc Aeptt 0 式式中A
10、为待定的积分常数 可由初始条件确定 p为 式对应的特征方程的根 将 式代入 式可得特征方程为RCP 1 0 式 换路后由图 b 可知 根据KVL有 从而解出特征根为 则通解 式 将初始条件uc 0 R0IS代入3式 求出积分常数A为 将代入 式 得到满足初始值的微分方程的通解为 式 放电电流为 t 0 t 0 式 令 RC 它具有时间的量纲 即 故称 为时间常数 这样 两式可分别写为 t 0 t 0 由于 为负 故uc和i均按指数规律衰减 它们的最大值分别为初始值uc 0 R0IS及 当t 时 uc和i衰减到零 图3 6RC电路零输入响应电压电流波形图 画出uc及i的波形如图3 所示 3 3
11、2RL电路的零输入响应 一阶RL电路如图3 7 a 所示 t 0 时开关S闭合 电路已达稳态 电感L相当于短路 流过L的电流为I0 即iL 0 I0 故电感储存了磁能 在t 0时开关S打开 所以在t 0时 电感L储存的磁能将通过电阻R放电 在电路中产生电流和电压 如图3 7 b 所示 由于t 0后 放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的 所以为零输入响应 图3 7RL电路的零输入响应 由图 b 根据KVL有uL uR 0 将 代入上式得 1式 iL Aeptt 0 上式为一阶常系数齐次微分方程 其通解形式为 2式 将2式代入1式 得特征方程为LP R 0 故特征根为 则通解为 若令
12、 是RL电路的时间常数 仍具有时间量纲 上式可写为 t 0 t 0 3式 将初始条件iL 0 iL 0 I0代入3式 求出积分常数A为iL 0 A I0这样得到满足初始条件的微分方程的通解为 t 0 4式 电阻及电感的电压分别是 t 0 t 0 分别作出iL uR和 uL的波形如图3 8 a b 所示 由图3 8可知 iL uR及uL的初始值 亦是最大值 分别为iL 0 I0 uR 0 RI0 uL 0 RI0 它们都是从各自的初始值开始 然后按同一指数规律逐渐衰减到零 衰减的快慢取决于时间常数 这与一阶RC零输入电路情况相同 图3 8RL电路零输入响应iL uR和uL的波形 从以上求得的RC
13、和RL电路零输入响应进一步分析可知 对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路 不仅电容电压 电感电流 而且所有电压 电流的零输入响应 都是从它的初始值按指数规律衰减到零的 且同一电路中 所有的电压 电流的时间常数相同 若用f t 表示零输入响应 用f 0 表示其初始值 则零输入响应可用以下通式表示为 t 0 应该注意的是 RC电路与RL电路的时间常数是不同的 前者 RC 后者 L R 例3 如图3 9 a 所示电路 t 0 时电路已处于稳态 t 0时开关S打开 求t 0时的电压uc uR和电流ic 解由于在t 0 时电路已处于稳态 在直流电源作用下 电容相当于开路 图3 9例3图 所以 由换路定
14、律 得 作出t 0 等效电路如图 b 所示 电容用4V电压源代替 由图 b 可知 换路后从电容两端看进去的等效电阻如图 C 所示 为 时间常数为 A V t 0 t 0 也可以由 求出iC 0 8e tAt 0 V t 0 计算零输入响应 得 3 4零状态响应 在激励作用之前 电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应 3 4 1RC电路的零状态响应图3 10所示一阶RC电路 电容先未充电 t 0时开关闭合 电路与激励US接通 试确定k闭合后电路中的响应 图3 10 a RC电路的零状态响应 在k闭合瞬间 电容电压不会跃变 由换路定律uc 0 uc 0 0 t 0 时电容相当于短路 uR
15、 0 US 故电容开始充电 随着时间的推移 uC将逐渐升高 uR则逐渐降低 iR 等于ic 逐渐减小 当t 时 电路达到稳态 这时电容相当于开路 充电电流ic 0 uR 0 uc Us 由kVLuR uc US 而uR RiR RiC 代入上式可得到以uc为变量的微分方程t 0初始条件为uC 0 0 1式 1式为一阶常系数非齐次微分方程 其解由两部分组成 一部分是它相应的齐次微分方程的通解uCh 也称为齐次解 另一部分是该非齐次微分方程的特解uCP 即uc uch ucp 将初始条件uc 0 0代入上式 得出积分常数A US 故 由于1式相应的齐次微分方程与RC零输入响应式完全相同 因此其通解
16、应为 式中A为积分常数 特解ucp取决于激励函数 当激励为常量时特解也为一常量 可设ucp k 代入1式得 1式的解 完全解 为 ucp k US 由于稳态值uc US 故上式可写成t 02式由2式可知 当t 0时 uc 0 0 当t 时 uc US 1 e 1 63 2 US 即在零状态响应中 电容电压上升到稳态值uc US的63 2 所需的时间是 而当t 4 5 时 uc上升到其稳态值US的98 17 99 3 一般认为充电过程即告结束 电路中其他响应分别为 t 0 t 0 t 0 根据uc ic iR及uR的表达式 画出它们的波形如3 10 b c 所示 其变化规律与前面叙述的物理过程一致 图3 10 b C RC电路零状态响应uc ic iR及uR波形图 3 4 2RL电路的零状态响应 图3 11 a 一阶RL电路的零状态响应 对于图3 11 a 所示的一阶RL电路 US为直流电压源 t 0时 电感L中的电流为零 t 0时开关s闭合 电路与激励US接通 在s闭合瞬间 电感电流不会跃变 即有iL 0 iL 0 0 选择iL为首先求解的变量 由KVL有 uL uR US 将 uR
